Giải Bài Tập 4.19 Trang 26 Sgk Toán 12 Tập 2 - Kết Nối Tri Thức

Giải bài tập 4.19 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Bài tập 4.19 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

Loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập 4.19, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.

Cho tam giác vuông OAB có cạnh \(OA = a\) nằm trên trục Ox và \(\widehat {AOB} = \alpha \left( {0 < \alpha \le \frac{\pi }{4}} \right)\). Gọi \(\beta \) là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox (H.4.31). a) Tính thể tích V của \(\beta \) theo a và \(\alpha \). b) Tìm \(\alpha \) sao cho thể tích V lớn nhất.

Đề bài

Giải bài tập 4.19 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức 1

a) Tính thể tích V của \(\beta \) theo a và \(\alpha \).

b) Tìm \(\alpha \) sao cho thể tích V lớn nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 4.19 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức 2

Sử dụng kiến thức về công thức tính thể tích của khối tròn xoay để tính: Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x \in \left[ {a;b} \right]\) được một hình tròn có bán kính f(x). Thể tích của khối tròn xoay này là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(AB = a\tan \alpha \). Khi quay tam giác AOB quanh trục Ox ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy \(r = AB = a\tan \alpha \) và chiều cao \(h = OA = a\).

Thể tích khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .a.{a^2}{\tan ^2}\alpha = \frac{1}{3}\pi .{a^3}{\tan ^2}\alpha \) .

b) Theo a ta có: \(V = \frac{1}{3}\pi {a^3}{\tan ^2}\alpha \).

Ta có: \(V' = \frac{2}{3}\pi {a^3}\tan \alpha .\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\). Với \(0 < \alpha \le \frac{\pi }{4} \Rightarrow 0 < \tan \alpha < 1\). Do đó, \(V' > 0\) nên hàm số V đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right]} V = V\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{3}\pi {a^3}{\tan ^2}\frac{\pi }{4} = \frac{1}{3}\pi {a^3}\).

Vậy giá trị lớn nhất của V là \(\frac{1}{3}\pi {a^3}\) khi \(\alpha = \frac{\pi }{4}\).

Tự Tin Bứt Phá Kỳ Thi THPT Quốc Gia Môn Toán! Bạn muốn tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán và vào đại học mơ ước? Đừng bỏ lỡ Giải bài tập 4.19 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức đặc sắc thuộc chuyên mục bài tập toán 12 trên nền tảng toán math của chúng tôi! Với bộ lý thuyết toán thpt bài tập được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa quá trình ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả. Nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào cánh cửa đại học mơ ước!

Giải bài tập 4.19 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Đề bài

Bài tập 4.19 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức yêu cầu giải quyết một bài toán liên quan đến việc tìm đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Cụ thể, đề bài thường cho một hàm số và yêu cầu:

Tính đạo hàm của hàm số.
Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số (khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu).
Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết bài tập 4.19 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Quy tắc tính đạo hàm: Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản (hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit) và các quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, hàm tích, hàm thương.
Điều kiện cực trị: Một điểm x₀ được gọi là điểm cực trị của hàm số f(x) nếu đạo hàm f'(x) đổi dấu khi x đi qua x₀.
Khảo sát hàm số: Sử dụng đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu của hàm số.

Ví dụ minh họa (giả định đề bài cụ thể):

Giả sử đề bài yêu cầu khảo sát hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x
Tìm điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến:
- Khi x < 0, f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
- Khi 0 < x < 2, f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
- Khi x > 2, f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.

Lưu ý khi giải bài tập 4.19

Đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán.
Sử dụng đúng các quy tắc tính đạo hàm.
Kiểm tra lại kết quả tính toán.
Vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra lại kết quả khảo sát.

Ứng dụng của đạo hàm trong thực tế

Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

Vật lý: Tính vận tốc, gia tốc của vật chuyển động.
Kinh tế: Tính chi phí biên, doanh thu biên, lợi nhuận biên.
Kỹ thuật: Tối ưu hóa thiết kế, điều khiển hệ thống.

Tài liệu tham khảo thêm

Sách giáo khoa Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Các trang web học Toán online uy tín
Các video hướng dẫn giải bài tập Toán 12

Kết luận

Bài tập 4.19 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.