Giải Bài Tập 4.18 Trang 26 Sgk Toán 12 Tập 2 - Kết Nối Tri Thức

Giải bài tập 4.18 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Bài tập 4.18 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập Toán 12.

Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h\(\left( {0 < h \le R} \right)\) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = R - h,x = R\) xung quanh trục Ox (H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.

Đề bài

Giải bài tập 4.18 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức 1

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 4.18 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức 2

Sử dụng kiến thức về công thức tính thể tích của khối tròn xoay để tính: Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x \in \left[ {a;b} \right]\) được một hình tròn có bán kính f(x). Thể tích của khối tròn xoay này là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết

Thể tích khối chỏm cầu là:

\(V = \pi \int\limits_{R - h}^R {\left( {{R^2} - {x^2}} \right)dx} = \pi \left( {{R^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}R\\R - h\end{array} \right.\)

\( = \pi \left[ {{R^3} - \frac{{{R^3}}}{3} - {R^2}\left( {R - h} \right) + \frac{{{{\left( {R - h} \right)}^3}}}{3}} \right] = \pi {h^2}\left( {R - \frac{h}{3}} \right)\)

Tự Tin Bứt Phá Kỳ Thi THPT Quốc Gia Môn Toán! Bạn muốn tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán và vào đại học mơ ước? Đừng bỏ lỡ Giải bài tập 4.18 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức đặc sắc thuộc chuyên mục đề toán 12 trên nền tảng đề thi toán của chúng tôi! Với bộ toán trung học phổ thông bài tập được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa quá trình ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả. Nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào cánh cửa đại học mơ ước!

Giải bài tập 4.18 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài tập 4.18 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức, tập trung vào ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị của hàm số và giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến tối ưu hóa. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm cách tính đạo hàm, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị, và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Phân tích đề bài và xác định yêu cầu

Trước khi bắt đầu giải bài tập, học sinh cần đọc kỹ đề bài để hiểu rõ yêu cầu của bài toán. Xác định rõ hàm số cần xét, khoảng xác định của hàm số, và mục tiêu của bài toán (ví dụ: tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước).

Các bước giải bài tập 4.18 trang 26 SGK Toán 12 tập 2

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học để tìm đạo hàm f'(x) của hàm số f(x).
Bước 2: Tìm các điểm dừng của hàm số. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm x mà tại đó đạo hàm bằng 0. Các điểm này được gọi là các điểm dừng của hàm số.
Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định. Xét dấu của đạo hàm f'(x) trên các khoảng xác định của hàm số. Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Bước 4: Xác định cực trị của hàm số. Dựa vào dấu của đạo hàm, xác định các điểm cực trị của hàm số. Nếu đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại một điểm, điểm đó là điểm cực đại của hàm số. Nếu đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương tại một điểm, điểm đó là điểm cực tiểu của hàm số.
Bước 5: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm biên. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm biên của khoảng xác định.
Bước 6: So sánh các giá trị và kết luận. So sánh các giá trị đã tính được để tìm ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng xác định.

Ví dụ minh họa

Giả sử bài tập 4.18 yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1; 3].

Giải:

Bước 1: Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x
Bước 2: Tìm điểm dừng: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm:
- Trên khoảng (-1; 0), f'(x) > 0 => hàm số đồng biến
- Trên khoảng (0; 2), f'(x) < 0 => hàm số nghịch biến
- Trên khoảng (2; 3), f'(x) > 0 => hàm số đồng biến
Bước 4: Xác định cực trị:
- x = 0 là điểm cực đại, f(0) = 2
- x = 2 là điểm cực tiểu, f(2) = -2
Bước 5: Tính giá trị tại điểm biên: f(-1) = -6, f(3) = 2
Bước 6: So sánh và kết luận:
- Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là 2 (tại x = 0 và x = 3)
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là -6 (tại x = -1)

Lưu ý khi giải bài tập

Khi giải bài tập về đạo hàm và cực trị, học sinh cần chú ý các điểm sau:

Kiểm tra kỹ khoảng xác định của hàm số.
Sử dụng đúng các quy tắc tính đạo hàm.
Phân tích kỹ dấu của đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số.
Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.