Giải bài 34 trang 59 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {2; - 5;7} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;3;4} \right)\);

b) \(\Delta \) đi qua hai điểm \(M\left( { - 1;0;4} \right)\) và \(N\left( {2;5;3} \right)\).

c) \(\Delta \) đi qua điểm \(B\left( {3;2; - 1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 5y + 6z - 7 = 0\).

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {2; - 5;7} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( { - 2;3;4} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = - 5 + 3t\\z = 7 + 4t\end{array} \right.\).

Đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {2; - 5;7} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( { - 2;3;4} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 5}}{3} = \frac{{z - 7}}{4}\).

b) Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {3;5; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).

Đường thẳng đi qua điểm \(M\left( { - 1;0;4} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( {3;5; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 5t\\z = 4 - t\end{array} \right.\).

Đường thẳng đi qua điểm \(M\left( { - 1;0;4} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( {3;5; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x + 1}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\).

c) Mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 5y + 6z - 7 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 5;6} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow n = \left( {2; - 5;6} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).

Đường thẳng đi qua điểm \(B\left( {3;2; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {2; - 5;6} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 2 - 5t\\z = - 1 + 6t\end{array} \right.\).

Đường thẳng đi qua điểm \(B\left( {3;2; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {2; - 5;6} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{6}\).