Lý Thuyết Đơn Thức Nhiều Biến. Đa Thức Nhiều Biến Toán 8 - Cánh Diều

1. Đơn thức nhiều biến

Đơn thức nhiều biến (hay đơn thức) là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Số 0 được gọi là đơn thức không.

Ví dụ: \(1;2xy; - \frac{3}{4}{x^2}y( - 4x);...\) là các đơn thức.

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm một số với các biến, mà mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương và chỉ được viết một lần.

Ví dụ:

\(1;2xy;5{x^2}{y^4}z;...\) là các đơn thức thu gọn.

\(3{x^2}yx; - \frac{3}{4}{x^2}y( - 4x);...\) không phải là các đơn thức thu gọn.

Trong một đơn thức thu gọn, phần số còn gọi là hệ số, phần còn lại gọi là phần biến.

Ví dụ: đơn thức \(3{x^3}.y\) có hệ số là 3, phần biến là \({x^3}.y\).

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.

Ví dụ:

Hai đơn thức \(5{x^2}{y^4}z\) và \( - \frac{1}{3}{x^2}{y^4}z\) có hệ số khác 0 và có cùng phần biến nên chúng là hai đơn thức đồng dạng.

Hai đơn thức \(5{x^2}{y^4}z\) và \(5x{y^2}z\) không có cùng phần biến nên chúng không phải là hai đơn thức đồng dạng.

Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng

Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

Ví dụ:

\(\begin{array}{l}2{x^3}{y^2} + 4{x^3}{y^2} = 6{x^3}{y^2}\\4a{y^2} - 3a{y^2} = a{y^2}\end{array}\)

2. Đa thức nhiều biến

Đa thức nhiều biến (hay đa thức)là một tổng của những đơn thức.

Chú ý: Mỗi đơn thức được gọi là một đa thức.

Ví dụ: \({x^2} - 4x + 3;{x^2}\; + {\rm{ }}3xy{z^2}\; - {\rm{ }}yz{\rm{ }} + {\rm{ }}1;\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y} \right){\rm{ }} + \left( {2x{\rm{ }}--{\rm{ }}y} \right)\) là đa thức.

\(\frac{{x + y}}{{x - y}},\frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} - {y^2}}}\) không phải là đa thức.

Thu gọn đa thức nhiều biến là làm cho trong đa thức đó không còn hai đơn thức nào đồng dạng.

Ví dụ:

\(\begin{array}{l}A = {x^3} - 2{x^2}y - {x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}\\\,\,\,\,\, = {x^3} - 3{x^2}y - 3x{y^2} - {y^3}\end{array}\)

Tính giá trị của đa thức

Để tính giá trị của một đa thức tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay những giá trị cho trước đó vào biểu thức xác định đa thức rồi thực hiện phép tính.

Ví dụ: Giá trị của biểu thức \({x^2} - 4xy + 3{y^2}\) tại x = 2, y = 1 là: \({2^2} - 4.2.1 + {3.1^2} = - 1\)

Lý thuyết Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến SGK Toán 8 - Cánh diều 1

Lý thuyết Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến - SGK Toán 8 Cánh Diều

Trong chương trình Toán 8, việc nắm vững kiến thức về đơn thức và đa thức nhiều biến là vô cùng quan trọng. Đây là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các chương tiếp theo và chuẩn bị cho các kiến thức toán học ở cấp học cao hơn.

1. Đơn thức nhiều biến

a. Định nghĩa: Đơn thức nhiều biến là biểu thức đại số có dạng ax^myⁿz^p…, trong đó a là hệ số, x, y, z,… là các biến và m, n, p,… là các số tự nhiên.

b. Bậc của đơn thức nhiều biến: Bậc của đơn thức nhiều biến là tổng số mũ của các biến trong đơn thức đó. Ví dụ, đơn thức 3x²y³ có bậc là 2 + 3 = 5.

c. Đơn thức đồng dạng: Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có cùng bậc và cùng các biến với số mũ tương ứng. Ví dụ, 2x²y và -5x²y là hai đơn thức đồng dạng.

2. Đa thức nhiều biến

a. Định nghĩa: Đa thức nhiều biến là tổng của các đơn thức nhiều biến. Ví dụ, 2x²y + 3xy² - 5x là một đa thức nhiều biến.

b. Bậc của đa thức nhiều biến: Bậc của đa thức nhiều biến là bậc cao nhất của các đơn thức trong đa thức đó. Ví dụ, đa thức 2x²y + 3xy² - 5x có bậc là 3 (bậc của đơn thức 3xy²).

c. Thu gọn đa thức nhiều biến: Thu gọn đa thức nhiều biến là thực hiện các phép cộng, trừ các đơn thức đồng dạng để được đa thức mới không còn hai đơn thức đồng dạng nào.

3. Các phép toán trên đơn thức và đa thức nhiều biến

a. Phép cộng, trừ đơn thức: Chỉ cộng, trừ được các đơn thức đồng dạng. Ví dụ, 2x²y + 3x²y = 5x²y.

b. Phép nhân đơn thức: Nhân các hệ số với nhau và nhân các biến với nhau. Ví dụ, 2x²y * 3xy² = 6x³y³.

c. Phép nhân đa thức với đơn thức: Sử dụng tính chất phân phối để nhân đơn thức với từng đơn thức trong đa thức. Ví dụ, x(2x²y + 3xy²) = 2x³y + 3x²y².

d. Phép nhân đa thức với đa thức: Sử dụng tính chất phân phối để nhân từng đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia, sau đó thu gọn kết quả.

4. Các hằng đẳng thức đáng nhớ

Việc nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và hiệu quả. Một số hằng đẳng thức quan trọng:

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
a² - b² = (a + b)(a - b)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

5. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:

Tìm bậc của đơn thức, đa thức.
Thu gọn đa thức.
Thực hiện các phép toán trên đơn thức và đa thức.
Sử dụng hằng đẳng thức để giải toán.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Đơn thức nhiều biến và Đa thức nhiều biến. Chúc bạn học tập tốt!