Lý thuyết Tích của một số với một vecto - SGK Toán 10 Cánh diều

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Quy ước: \(0\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \), \(k\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \).

Phép lấy tích của một số với một vecto gọi là phép nhân một số với một vecto.

2. Tính chất

Nhận xét: \(k\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi k = 0 hoặc \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \).

3. Một số ứng dụng

a) Trung điểm của đoạn thẳng

b) Trọng tâm của tam giác

c) Điều kiện để hai vecto cùng phương. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng

Nhận xét: Trong mặt phẳng, cho hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Với mỗi vecto \(\overrightarrow c \) có duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn \(\overrightarrow c = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b \).

B. Bài tập

Bài 1: Cho B là trung điểm của đoạn thẳng AC. Tìm số k trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow {CA} = k\overrightarrow {CB} \).

b) \(\overrightarrow {CA} = k\overrightarrow {AB} \).

Giải:

a) Ta có \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} \) là hai vecto cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {CB} } \right|\).

Suy ra \(\overrightarrow {CA} = 2\overrightarrow {CB} \). Vậy k = 2.

b) Ta có \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB} \) là hai vecto ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\).

Suy ra \(\overrightarrow {CA} = - 2\overrightarrow {AB} \). Vậy k = -2.

Bài 2: Vật chuyển động thẳng đều từ A đến B với tốc độ là 9 m/s và vật thứ hai chuyển động thẳng đều từ B đến A với tốc độ là 6 m/s. Gọi \(\overrightarrow {{v_1}} \), \(\overrightarrow {{v_2}} \) lần lượt là các vecto vận tốc của vật thứ nhất và vật thứ hai. Có hay không số thực k thỏa mãn \(\overrightarrow {{v_1}} = k\overrightarrow {{v_2}} \)?

Giải:

Do tỉ số tốc độ của vật thứ nhất và vật thứ hai là \(\frac{9}{6} = \frac{3}{2}\) đồng thời hai vật chuyển động ngược hướng nên hai vecto vận tốc ngược hướng.

Suy ra \(\overrightarrow {{v_1}} = \frac{{ - 3}}{2}\overrightarrow {{v_2}} \). Vậy \(k = - \frac{3}{2}\).

Bài 3: Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh:

a) \(2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {AC} \).

b) \(3\left( {5\overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {CB} - 14\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} \).

Giải:

a) Ta có: \(2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} = 2\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = 2\overrightarrow {AC} \).

b) Ta có:

\(3\left( {5\overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {CB} - 14\overrightarrow {AC} = 15\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} - 14\overrightarrow {AC} = 15\overrightarrow {AC} - 14\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \).

Bài 4: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN. Chứng minh \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \).

Giải:

Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GM} \).

Vì N là trung điểm của CD nên \(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GN} \).

Suy ra \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GM} + 2\overrightarrow {GN} = 2\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} } \right) = \overrightarrow 0 \).

Bài 5: Cho tam giác OAB. Điểm M thuộc cạnh AB sao cho \(AM = \frac{2}{3}AB\). Kẻ MH // OB, MK // OA. Giả sử \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \).

a) Biểu thị \(\overrightarrow {OH} \) theo \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {OK} \) theo \(\overrightarrow b \).

b) Biểu thị \(\overrightarrow {OM} \) theo \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).

Giải:

a) Ta có: MK // OA, MH // OB suy ra \(\frac{{OK}}{{OB}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{3}\), \(\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{BM}}{{AB}} = \frac{1}{3}\).

Vì \(\overrightarrow {OH} \) và \(\overrightarrow {OA} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {OH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} = \frac{1}{3}\overrightarrow a \).

Vì \(\overrightarrow {OK} \) và \(\overrightarrow {OB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {OK} = \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} = \frac{2}{3}\overrightarrow b \).

b) Vì tứ giác OHMK là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{3}\overrightarrow b \).