Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto, một phần quan trọng trong chương trình SGK Toán 10 Cánh diều. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản, công thức và các ví dụ minh họa để bạn hiểu rõ về khái niệm này.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tích vô hướng trong việc giải quyết các bài toán hình học và vật lý.
I. ĐỊNH NGHĨA II. TÍCH CHẤT III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa
a) Tích vô hướng của hai vecto có cùng điểm đầu
Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \) là góc giữa hai tia OA, OB và được kí hiệu là \(\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)\). Tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \) là một số thực, kí hiệu \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} \), được xác định bởi công thức: \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)\). |
b) Tích vô hướng của hai vecto tùy ý
Cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \), kí hiệu là \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\). Lấy một điểm O và vẽ vecto \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \).
Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \), kí hiệu là \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\), là góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \). Tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \), kí hiệu \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \), là tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \). Như vậy, tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là một số thực được xác định bởi công thức: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\). |
Quy ước: Tích vô hướng của một vecto bất kì vói vecto \(\overrightarrow 0 \) là số 0.
Chú ý:
+) \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow a } \right)\).
+) Nếu \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^o}\) thì ta nói hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) vuông góc với nhau, kí hiệu \(\vec a \bot \vec b\) hoặc \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \). Khi đó \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos {90^o} = 0\).
+) Tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng bằng tích hai độ dài của chúng.
+) Tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng bằng số đối của tích hai độ dài của chúng.
2. Tính chất
Với hai vecto bất kì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và số thực k tùy ý, ta có: +) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow a \) (tính chất giao hoán). +) \(\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c \) (tính chất phân phối). +) \(\left( {k\overrightarrow a } \right).\overrightarrow b = k\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a .\left( {k\overrightarrow b } \right)\). +) \({\overrightarrow a ^2} \ge 0\), \({\overrightarrow a ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a = \overrightarrow 0 \). |
Trong đó, kí hiệu \(\overrightarrow a .\overrightarrow a = {\overrightarrow a ^2}\) và biểu thức này được gọi là bình phương vô hướng của vecto \(\overrightarrow a \).
3. Một số ứng dụng
a) Tính độ dài của đoạn thẳng
Nhận xét: Với hai điểm A, B phân biệt, ta có \({\overrightarrow {AB} ^2} = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2}\). Do đó, độ dài đoạn thẳng AB được tính như sau: \(AB = \sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}} \).
b) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Nhận xét: Cho hai vecto bất kì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \). Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b \).
B. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB = 4 cm.
a) Tính độ dài cạnh huyền BC.
b) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \); \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \).
Giải:
a) \(BC = AB\sqrt 2 = 4\sqrt 2 \) (cm).
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = 4.4.\cos \widehat {BAC} = 16.\cos {90^o} = 16.0 = 0\).
\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\)
\( = 4.4\sqrt 2 .\cos \widehat {ABC} = 16\sqrt 2 .\cos {45^o} = 16\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 16\).
Bài 2: Cho hình vuông ABCD tâm O có độ dài cạnh bằng a. Tính:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OC} \).
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} \).
c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OD} \).
Giải:
a) Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {OC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AO} } \right) = \widehat {BAO} = {45^o}\).
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {OC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {OC} } \right) = a.\frac{a}{{\sqrt 2 }}.\cos {45^o} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt 2 }}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
b) Vẽ vecto \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AB} \). Ta có:
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \widehat {EBD} = {135^o}\).
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = a.a\sqrt 2 .\cos {135^o} = {a^2}\sqrt 2 .\frac{{ - \sqrt 2 }}{2} = - {a^2}\).
c) Vì \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {BO} = \overrightarrow {OD} \) nên \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {OD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BO} } \right) = \widehat {EBO} = {135^o}\).
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OD} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {OD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {OD} } \right) = a.\frac{a}{{\sqrt 2 }}.\cos {135^o} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt 2 }}.\frac{{ - \sqrt 2 }}{2} = \frac{{ - {a^2}}}{2}\).
Bài 3: Cho đoạn thẳng AB và I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng với mỗi điểm O, ta có:
a) \(\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IB} = 0\).
b) \(\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {OB} }^2} - {{\overrightarrow {OA} }^2}} \right)\).
Giải:
a) Vì I là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \).
Vậy \(\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IB} = \overrightarrow {OI} .\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) = \overrightarrow {OI} .\overrightarrow 0 = 0\).
b) Vì I là trung điểm AB nên \(2\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} \Leftrightarrow \overrightarrow {OI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} } \right)\).
Vậy \(\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} } \right).\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right) = \frac{1}{2}.\left( {{{\overrightarrow {OB} }^2} - {{\overrightarrow {OA} }^2}} \right)\).
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \).
Giải:
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\) (do \(\overrightarrow {AB} \) vuông góc với \(\overrightarrow {AC} \)).
Bài 5: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\) (định lí cosin trong tam giác).
Giải:
Ta có \({\overrightarrow {BC} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {AB} ^2} - 2.\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \).
Suy ra \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\).
Tích vô hướng của hai vectơ là một khái niệm quan trọng trong hình học vectơ, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết nhiều bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và các ứng dụng thực tế.
Cho hai vectơ a và b. Tích vô hướng của a và b, ký hiệu là a ⋅ b, được định nghĩa bởi:
a ⋅ b = |a| |b| cos(θ)
Trong đó:
Trong không gian Oxy, nếu a = (x1; y1) và b = (x2; y2) thì:
a ⋅ b = x1x2 + y1y2
Tổng quát hơn, trong không gian Oxyz, nếu a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) thì:
a ⋅ b = x1x2 + y1y2 + z1z2
Bài 1: Cho a = (2; -1) và b = (1; 3). Tính a ⋅ b.
Giải:a ⋅ b = (2)(1) + (-1)(3) = 2 - 3 = -1
Bài 2: Cho a = (1; 2; -1) và b = (0; -1; 2). Tính a ⋅ b.
Giải:a ⋅ b = (1)(0) + (2)(-1) + (-1)(2) = 0 - 2 - 2 = -4
Tích vô hướng là một công cụ mạnh mẽ trong hình học vectơ, giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán một cách hiệu quả. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tích vô hướng là rất quan trọng để học tốt môn Toán 10.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
