Bài học về tổng và hiệu của hai vecto là một phần quan trọng trong chương trình Toán 10 Cánh diều. Việc nắm vững lý thuyết này giúp học sinh hiểu rõ hơn về các phép toán trên vecto và ứng dụng trong giải quyết các bài toán hình học.
loigiai.com.vn cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, chi tiết, giúp bạn dễ dàng tiếp thu kiến thức và tự tin làm bài tập.
A. Lý thuyết 1. Tổng của hai vecto a) Định nghĩa
A. Lý thuyết
1. Tổng của hai vecto
a) Định nghĩa
| Với ba điểm bất kì A, B, C, vecto \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \), kí hiệu là \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \). |
Phép lấy tổng của hai vecto còn được gọi là phép cộng vecto.
b) Quy tắc hình bình hành
| Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \). |
c) Tính chất
Với ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) tùy ý ta có: - Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a \) - Tính chất kết hợp: \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\) - Tính chất của vecto-không: \(\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow a \) |
2. Hiệu của hai vecto
a) Hai vecto đối nhau
| Vecto có cùng độ dài và ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) được gọi là vecto đối của vecto \(\overrightarrow a \), kí hiệu là \( - \overrightarrow a \). Hai vecto \(\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow a \) được gọi là hai vecto đối nhau. |
Quy ước: Vecto đối của vecto \(\overrightarrow 0 \) là vecto \(\overrightarrow 0 \).
Nhận xét:
+) \(\overrightarrow a + ( - \overrightarrow a ) = ( - \overrightarrow a ) + \overrightarrow a \).
+) Hai vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) là hai vecto đối nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow 0 \).
+) Với hai điểm A, B, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0 \).
| Cho hai điểm A, B. Khi đó, hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BA} \) là hai vecto đối nhau, tức là \(\overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {AB} \). |
Chú ý:
+) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \). +) G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \). |
b) Hiệu của hai vecto
| Hiệu của vecto \(\overrightarrow a \) và vecto \(\overrightarrow b \) là tổng của vecto \(\overrightarrow a \) và vecto đối của vecto \(\overrightarrow b \), kí hiệu là \(\overrightarrow a - \overrightarrow b \). |
Phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ vecto.
Nhận xét: Với ba điểm A, B, O bất kì, ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \).
B. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AM} \).
Giải:
Vì \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BM} \) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AM} \).
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Chứng minh \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right|\).
Giải:
Theo quy tắc hình bình hành, ta có:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} \).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\), \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\).
Do AC = BD nên \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right|\).
Bài 3: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \).
Giải:
Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} \)
\( = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \) (tính chất giao hoán)
\( = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {CD} \) (tính chất kết hợp)
\( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} \) (quy tắc ba điểm)
\( = \overrightarrow {AD} \) (quy tắc ba điểm).
Bài 4: Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \).
Giải:
Ta có \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CB} = \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DD} = \overrightarrow 0 \).
Trong chương trình Toán 10, vecto là một khái niệm cơ bản và quan trọng. Việc hiểu rõ các phép toán trên vecto, đặc biệt là phép cộng và phép trừ (tương ứng với tổng và hiệu của hai vecto), là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán hình học và vật lý.
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Vectơ được ký hiệu là AB, trong đó A là điểm gốc và B là điểm cuối.
Phép cộng hai vectơ a và b được thực hiện theo quy tắc hình bình hành. Để cộng hai vectơ a và b, ta đặt điểm gốc của b trùng với điểm cuối của a. Vectơ tổng a + b là vectơ nối điểm gốc của a với điểm cuối của b.
Quy tắc tam giác: Nếu a và b là hai cạnh của một tam giác, thì vectơ tổng a + b là cạnh thứ ba của tam giác đó.
Phép trừ hai vectơ a và b (tức là tìm hiệu a - b) được thực hiện bằng cách cộng vectơ a với vectơ đối của b. Vectơ đối của b, ký hiệu là -b, là vectơ có cùng độ dài và hướng ngược với b.
Vậy, a - b = a + (-b).
Cho hai vectơ a và b như sau:
| Vectơ | Tọa độ |
|---|---|
| a | (2, 3) |
| b | (-1, 1) |
Khi đó:
Phép cộng và phép trừ vectơ được ứng dụng rộng rãi trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến:
Việc nắm vững lý thuyết và thực hành các bài tập về tổng và hiệu của hai vecto là bước quan trọng để bạn có thể tự tin giải quyết các bài toán Toán 10 và các bài toán liên quan đến vecto trong các môn học khác.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
