Loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 4.15 trang 54 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học.
Chúng tôi cung cấp các bước giải rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo giải thích chi tiết để giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) có trực tâm \(H,\) trọng tâm \(G\) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(O.\)
a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .\)
b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\)
c) Chứng minh rằng ba điểm \(G,\,\,H,\,\,O\) cùng thuộc một đường thẳng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh tứ giác \(ABHC\) là hình bình hành
- Chứng minh \(MO\) là đường trung bình của \(\Delta AA'H\)
- Chứng minh \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM} \) từ đó rút ra kết luận \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\)
- Chứng minh \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} .\)
- Chứng minh \(\overrightarrow {OH} \) và \(\overrightarrow {OG} \) cùng phương
Lời giải chi tiết
a) Xét \((O)\) có: \(\widehat {ABA'} = \widehat {ACA'} = {90^ \circ }\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow A'C \bot AC\) và \(A'B \bot AB\) (1)
Ta có: \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\)
\( \Rightarrow BH \bot AC\) và \(CH \bot AB\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(BH\)//\(A'C\) và \(A'B\)//\(CH.\)
Xét tứ giác \(ABHC\) có: \(BH\)//\(A'C\) và \(A'B\)//\(CH\)
\( \Rightarrow \) tứ giác \(ABHC\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BH} = \overrightarrow {A'C} \)
Ta có: tứ giác \(ABHC\) là hình bình hành
nên \(M\) là trung điểm của \(A'H\)
Xét \(\Delta AA'H\) có: \(M\) là trung điểm của \(A'H\)
\(O\) là trung điểm của \(AA'\)
\( \Rightarrow \) \(MO\) là đường trung bình của \(\Delta AA'H\)
\( \Rightarrow \) \(MO\)//\(AH\) và \(2MO = AH\)
\( \Rightarrow \) hai vectơ \(\overrightarrow {MO} ,\,\,\overrightarrow {AH} \) cùng hướng và \(2\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {AH} .\)
b) Ta có:
\(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} } \right) = 2\overrightarrow {OM} + \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right) = 2\overrightarrow {OM} \)
Ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {OH} \) (3)
c) Ta có: \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)
nên \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} .\) (4)
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {OH} \) và \(\overrightarrow {OG} \) cùng phương
hay ba điểm \(G,\,\,H,\,\,O\) cùng thuộc một đường thẳng.
Bài 4.15 trang 54 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm, trọng tâm của tam giác. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Để giải bài 4.15 trang 54, chúng ta thường sử dụng các phương pháp sau:
(Giả sử đề bài yêu cầu chứng minh đẳng thức vectơ cụ thể, ví dụ: AB + AC = 2AM, với M là trung điểm của BC)
Lời giải:
Vì M là trung điểm của BC, ta có: BM = MC. Do đó, BC = 2BM.
Ta có: AB + AC = AB + (BC - AB) = BC
Mà BC = 2BM, nên AB + AC = 2BM.
Vậy, AB + AC = 2AM (đpcm).
Để củng cố kiến thức về vectơ và rèn luyện kỹ năng giải toán, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Khi giải các bài tập về vectơ, các em cần lưu ý những điều sau:
Bài 4.15 trang 54 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp các em học sinh hiểu sâu hơn về vectơ và ứng dụng của nó trong hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trên, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài toán tương tự.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
