Giải bài 7.45 trang 48 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giải bài 7.45 trang 48 Sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài 7.45 trang 48 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các tính chất hình học. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:

• Vectơ: Định nghĩa, các phép toán trên vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực).
• Tích vô hướng của hai vectơ: Định nghĩa, tính chất, ứng dụng.
• Hệ tọa độ: Biểu diễn vectơ trong hệ tọa độ, các phép toán trên vectơ trong hệ tọa độ.

Phân tích bài toán

Trước khi bắt đầu giải bài tập, chúng ta cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Trong bài 7.45, yêu cầu thường là chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc chứng minh hai vectơ bằng nhau. Để làm được điều này, chúng ta cần sử dụng các tính chất của vectơ và các phép toán trên vectơ.

Lời giải chi tiết

Dưới đây là lời giải chi tiết bài 7.45 trang 48 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức:

Bài 7.45: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Gọi N là giao điểm của AM và BD.

1. Chứng minh rằng \overrightarrow{BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}.
2. Chứng minh rằng \overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}.

Chứng minh a)

Vì ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}. Do M là trung điểm của BC nên \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.

Áp dụng quy tắc cộng vectơ, ta có:

\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}

Vì N là giao điểm của AM và BD nên N nằm trên AM và BD. Do đó, tồn tại số k sao cho \overrightarrow{AN} = k\overrightarrow{AM}.

Mặt khác, N nằm trên BD nên \overrightarrow{BN} = t\overrightarrow{BD} (với t là một số thực).

Ta có \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{BD}.

Kết hợp hai phương trình trên, ta có:

k(\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{BD}

Vì \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} nên:

k(\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AB} + t(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB})

k\overrightarrow{AB} + \frac{k}{2}\overrightarrow{AD} = (1-t)\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AD}

Đồng nhất hệ số của \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{AD}, ta có:

k = 1-t và \frac{k}{2} = t

Thay k = 1-t vào \frac{k}{2} = t, ta được \frac{1-t}{2} = t, suy ra 1-t = 2t, hay 3t = 1, do đó t = \frac{1}{3}.

Vậy \overrightarrow{BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}.

Chứng minh b)

Từ t = \frac{1}{3}, ta có k = 1 - t = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.

Vậy \overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}.

Kết luận

Bài 7.45 trang 48 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức đã được giải quyết hoàn toàn. Hy vọng rằng lời giải chi tiết này sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn về cách vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học.

Loigiai.com.vn luôn đồng hành cùng các bạn trên con đường chinh phục môn Toán. Hãy truy cập website của chúng tôi để tìm kiếm lời giải cho các bài tập khác và nâng cao kiến thức của bản thân.