Giải Bài Tập 15 Trang 83 Sgk Toán 12 Tập 1 - Cánh Diều

Giải bài tập 15 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 15 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều trên loigiai.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp đáp án chính xác, phương pháp giải rõ ràng, giúp các em hiểu sâu sắc kiến thức và tự tin làm bài tập.

Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng, hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các em. Hãy cùng loigiai.com.vn khám phá lời giải bài tập này ngay nhé!

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt E(0;0;6) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là ({A_1}(0;1;0)), ({A_2}(frac{{sqrt 3 }}{2}; - frac{1}{2};0)), ({A_3}( - frac{{sqrt 3 }}{2}; - frac{1}{2};0)) (Hình 40). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 300N. Tìm tọa độ của các lực tác dụng lên giá đỡ (overrightarrow {{F_1}} ,overrightarrow {{F_2}} ,overrightarrow {{F_3}} )

Đề bài

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt E(0;0;6) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là \({A_1}(0;1;0)\), \({A_2}(\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2};0)\), \({A_3}( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2};0)\) (Hình 40). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 300N. Tìm tọa độ của các lực tác dụng lên giá đỡ \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \)

Giải bài tập 15 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều 1

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 15 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều 2

Vì đèn cân bằng nên trọng lực của đèn sẽ phân bố đều trên các chân của giá đỡ. Từ tọa độ các điểm đã cho, ta tìm được cái mối liên hệ với vecto lực và tìm được tọa độ của các vecto lực

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\left| {\overrightarrow {{A_1}O} } \right| = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(1 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = 1\);

\(\left| {\overrightarrow {{A_2}O} } \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - 0} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2} - 0} \right)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = 1\);

\(\left| {\overrightarrow {{A_3}O} } \right| = \sqrt {{{\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} - 0} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2} - 0} \right)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = 1\).

Do đó \({A_1}O = {A_2}O = {A_3}O = 1\), suy ra O là trọng tâm tam giác \({A_1}{A_2}{A_3}\).

Khi đó \(\overrightarrow {E{A_1}} + \overrightarrow {E{A_2}} + \overrightarrow {E{A_3}} = 3\overrightarrow {EO} \) (tính chất trọng tâm).

Mặt khác, dễ dàng chứng minh độ dài các giá đỡ \(E{A_1} = E{A_2} = E{A_3}\) (do các tam giác vuông \(EO{A_1}\), \(EO{A_2}\), \(EO{A_3}\) bằng nhau). Các lực \(\overrightarrow {{F_1}} \), \(\overrightarrow {{F_2}} \), \(\overrightarrow {{F_3}} \) cùng phương với các giá đỡ và có độ lớn bằng nhau nên ta có tỉ lệ:

\(\frac{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}}{{E{A_1}}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}}{{E{A_2}}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}}{{E{A_3}}} = k\) và \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {E{A_1}} \), \(\overrightarrow {{F_2}} = k\overrightarrow {E{A_2}} \), \(\overrightarrow {{F_3}} = k\overrightarrow {E{A_3}} \).

Từ \(\overrightarrow {E{A_1}} + \overrightarrow {E{A_2}} + \overrightarrow {E{A_3}} = 3\overrightarrow {EO} \) đã chứng minh, ta được:

\(k\overrightarrow {E{A_1}} + k\overrightarrow {E{A_2}} + k\overrightarrow {E{A_3}} = 3k\overrightarrow {EO} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = 3k\overrightarrow {EO} \).

Mà \(\overrightarrow {EO} = (0 - 0;0 - 0;0 - 6) = (0;0 - 6)\).

Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = (0;0; - 18k)\).

Giả sử \(\overrightarrow P \) là trọng lực tác động lên cả 3 giá đỡ. \(\overrightarrow P \) là lực vuông góc với mặt phẳng (Oxy), hướng xuống dưới (ngược chiều với trục Oz) nên tọa độ của \(\overrightarrow P = (0;0; - 300)\).

Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow P \Leftrightarrow - 18k = - 300 \Leftrightarrow k = \frac{{50}}{3}\).

Vậy \(\overrightarrow {{F_1}} = (0;\frac{{50}}{3}; - 100)\); \(\overrightarrow {{F_2}} = (\frac{{25\sqrt 3 }}{3}; - \frac{{25}}{3}; - 100)\); \(\overrightarrow {{F_3}} = ( - \frac{{25\sqrt 3 }}{3}; - \frac{{25}}{3}; - 100)\).

Tự Tin Bứt Phá Kỳ Thi THPT Quốc Gia Môn Toán! Bạn muốn tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán và vào đại học mơ ước? Đừng bỏ lỡ Giải bài tập 15 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều đặc sắc thuộc chuyên mục đề toán 12 trên nền tảng tài liệu toán của chúng tôi! Với bộ toán thpt bài tập được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa quá trình ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả. Nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào cánh cửa đại học mơ ước!

Giải bài tập 15 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều: Tổng quan

Bài tập 15 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là vô cùng quan trọng, không chỉ cho việc giải bài tập mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.

Nội dung bài tập 15 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Bài tập 15 bao gồm các câu hỏi liên quan đến việc tính đạo hàm của các hàm số lượng giác, hàm số hợp và hàm số ẩn. Các câu hỏi được thiết kế với mức độ khó tăng dần, từ dễ đến khó, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng và tư duy toán học.

Phương pháp giải bài tập 15 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Để giải quyết bài tập 15 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức và kỹ năng sau:

Kiến thức về đạo hàm: Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản của các hàm số lượng giác (sin, cos, tan, cot), hàm số mũ, hàm số logarit.
Quy tắc đạo hàm: Hiểu rõ và vận dụng thành thạo các quy tắc đạo hàm như quy tắc tích, quy tắc thương, quy tắc hàm hợp.
Kỹ năng biến đổi đại số: Rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số để đơn giản hóa biểu thức trước khi tính đạo hàm.
Kỹ năng giải phương trình: Sử dụng các kỹ năng giải phương trình để tìm ra nghiệm của phương trình đạo hàm.

Lời giải chi tiết bài tập 15 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi trong bài tập 15 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều:

Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(2x + 1)

Lời giải:

Sử dụng quy tắc hàm hợp, ta có:

y' = cos(2x + 1) * (2x + 1)' = 2cos(2x + 1)

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số y = x²cos(x)

Lời giải:

Sử dụng quy tắc tích, ta có:

y' = (x²)'cos(x) + x²(cos(x))' = 2xcos(x) - x²sin(x)

Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số y = tan(x³ + 1)

Lời giải:

Sử dụng quy tắc hàm hợp, ta có:

y' = (tan(x³ + 1))' = (1 + tan²(x³ + 1)) * (x³ + 1)' = (1 + tan²(x³ + 1)) * 3x²

Lưu ý khi giải bài tập về đạo hàm

Khi giải bài tập về đạo hàm, học sinh cần lưu ý những điều sau:

Đọc kỹ đề bài: Xác định rõ hàm số cần tính đạo hàm và các điều kiện của bài toán.
Chọn phương pháp giải phù hợp: Tùy thuộc vào dạng hàm số, chọn phương pháp giải phù hợp (quy tắc đạo hàm, quy tắc hàm hợp, quy tắc tích, quy tắc thương).
Kiểm tra lại kết quả: Sau khi tính đạo hàm, hãy kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Ứng dụng của đạo hàm trong thực tế

Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, như:

Tính vận tốc và gia tốc: Trong vật lý, đạo hàm của quãng đường theo thời gian là vận tốc, và đạo hàm của vận tốc theo thời gian là gia tốc.
Tìm cực trị của hàm số: Đạo hàm được sử dụng để tìm các điểm cực trị của hàm số, giúp giải quyết các bài toán tối ưu hóa.
Phân tích sự thay đổi: Đạo hàm giúp phân tích sự thay đổi của một đại lượng theo một đại lượng khác.

Kết luận

Bài tập 15 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm và vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và làm bài tập.