Lý Thuyết Tọa Độ Của Vecto Toán 12 Cánh Diều

Lý thuyết Tọa độ của vecto Toán 12 Cánh Diều

Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Tọa độ của vecto trong chương trình Toán 12 Cánh Diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về tọa độ của vecto, giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.

Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách biểu diễn vecto trên mặt phẳng tọa độ, các phép toán trên vecto biểu diễn bằng tọa độ, và ứng dụng của tọa độ vecto trong việc giải các bài toán hình học.

1. Tọa độ của một điểm a) Hệ trục tọa độ trong không gian

1. Tọa độ của một điểm

a) Hệ trục tọa độ trong không gian

Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz.

b) Tọa độ của một điểm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M.

- Xác định hình chiếu \({M_1}\) của điểm M trên mặt phẳng (Oxy). Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), tìm hoành độ a, tung độ b của điểm \({M_1}\)

- Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz, điểm P ứng với số c trên trục Oz. Số c là cao độ của điểm M.

Bộ số (a;b;c) là tọa độ của điểm M trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, kí hiệu là M(a;b;c)

2. Tọa độ của một vecto

Tọa độ của điểm M được gọi là tọa độ của vecto \(\overrightarrow {OM} \)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của một vecto \(\overrightarrow u \) là tọa độ của điểm A, trong đó A là điểm sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u \)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, nếu \(\overrightarrow u \) = (a;b;c) thì \[\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j + c\overrightarrow k \] .

Ngược lại, nếu \[\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j + c\overrightarrow k \] thì \(\overrightarrow u \) = (a;b;c)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(M({x_M};{y_M};{z_M})\) và \(N({x_N};{y_N};{z_N})\). Khi đó: \(\overrightarrow {MN} = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M})\)

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)

a) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} \)

b) Tìm tọa độ của các điểm B’, C’

Lời giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = ({x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}) = (4;0; - 1)\)

b) Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì \(\overrightarrow {BB'} \) = (x-3;y-2;z-5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AA'} \) = \(\overrightarrow {BB'} \)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\) hay x = 7, y = 2, z = 4. Vậy B’(7;2;4)

Lập luận tương tự suy ra C’(11;-3;8)

Lý thuyết Tọa độ của vecto Toán 12 Cánh Diều 1

Tự Tin Bứt Phá Kỳ Thi THPT Quốc Gia Môn Toán! Bạn muốn tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán và vào đại học mơ ước? Đừng bỏ lỡ Lý thuyết Tọa độ của vecto Toán 12 Cánh Diều đặc sắc thuộc chuyên mục toán 12 trên nền tảng học toán của chúng tôi! Với bộ lý thuyết toán thpt bài tập được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa quá trình ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả. Nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào cánh cửa đại học mơ ước!

Lý thuyết Tọa độ của vecto Toán 12 Cánh Diều

Trong chương trình Toán 12, phần tọa độ của vecto đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán hình học một cách chính xác và hiệu quả. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về tọa độ của vecto theo chương trình Cánh Diều, bao gồm định nghĩa, các phép toán và ứng dụng.

1. Định nghĩa tọa độ của vecto

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi vecto a được xác định bởi cặp số (x; y), gọi là tọa độ của vecto a. Kí hiệu a = (x; y).

x được gọi là hoành độ của vecto a.
y được gọi là tung độ của vecto a.

Nếu A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B) thì AB = (x_B - x_A; y_B - y_A).

2. Các phép toán trên vecto biểu diễn bằng tọa độ

Giả sử a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂). Khi đó:

a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂)
a - b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂)
ka = (kx₁; ky₁) với k là một số thực.

3. Tích vô hướng của hai vecto

Tích vô hướng của hai vecto a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂) được tính bằng công thức:

a.b = x₁x₂ + y₁y₂

Ứng dụng của tích vô hướng:

Tính góc giữa hai vecto: cos(a, b) = a.b / (||a|| . ||b||)
Kiểm tra tính vuông góc: a ⊥ b khi và chỉ khi a.b = 0

4. Ứng dụng của tọa độ vecto trong hình học

Tọa độ vecto được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán hình học phẳng, bao gồm:

Chứng minh các đẳng thức vecto.
Tìm tọa độ của các điểm đặc biệt trong hình học (trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp...).
Giải các bài toán về đường thẳng, đường tròn, tam giác, tứ giác...

5. Bài tập ví dụ minh họa

Bài 1: Cho A(1; 2) và B(3; 4). Tìm tọa độ của vecto AB.

Giải:AB = (3 - 1; 4 - 2) = (2; 2)

Bài 2: Cho a = (1; -2) và b = (3; 1). Tính a + b và 2a.

Giải:a + b = (1 + 3; -2 + 1) = (4; -1)

2a = (2 * 1; 2 * -2) = (2; -4)

6. Kết luận

Lý thuyết tọa độ của vecto là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán hình học. Việc nắm vững các định nghĩa, các phép toán và ứng dụng của tọa độ vecto sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc học tập và làm bài tập Toán 12.