Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết mục 1 trang 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều. loigiai.com.vn cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em tự học hiệu quả và củng cố kiến thức đã học.
Chúng tôi luôn cập nhật nhanh chóng và đầy đủ lời giải các bài tập trong SGK Toán 12 tập 1, đảm bảo đáp ứng nhu cầu học tập của các em.
Nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 7 SGK Toán 12 Cánh diều
a) Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\).
b) Xét dấu của đạo hàm \(f'\left( x \right) = 3{x^2}\).
c) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm ?
Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa đồng biến, nghịch biến của hàm số và các bước xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Lời giải chi tiết:
a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 3{x^2}\).
Xét \(y' = 0 \Rightarrow x = 0\).
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
b) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đạo hàm \(y' = 3{x^2}\) luôn dương với mọi x.
c) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có một nghiệm.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 5 SGK Toán 12 Cánh diều
a) Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên tập \(K \subset \mathbb{R}\), trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
b) Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) có đồ thị như Hình 2.
- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đó.
- Xét dấu đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2x\).
- Nêu mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\) và dấu của đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2x\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right),\left( {0; + \infty } \right)\).
- Hoàn thành bảng biến thiên sau:
Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập K
Lời giải chi tiết:
a) Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và \(f\left( x \right)\) là hàm số xác định trên K.
- Hàm số \(f\left( x \right)\) được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi \({x_1},{x_2}\) thuộc K và \({x_1} < {x_2}\) thì \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).
- Hàm số \(f\left( x \right)\) được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi \({x_1},{x_2}\) thuộc K và \({x_1} < {x_2}\) thì \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).
- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K còn được gọi là hàm số đơn điệu trên K.
b)
- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
- Đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2x\)âm khi \(x < 0\) và dương khi \(x > 0\).
- Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) nghịch biến khi \(f'\left( x \right) = 2x\)mang dấu âm và đồng biến khi \(f'\left( x \right) = 2x\) mang dấu dương.
- Ta có bàng biến thiên sau:
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 7 SGK Toán 12 Cánh diều
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y = {x^4} + 2{x^2} - 3\).
Phương pháp giải:
B1: Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Tính \(y'\). Tìm các điểm mà tại đó \(y' = 0\) hoặc \(y'\) không tồn tại.
B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
B4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 4{x^3} + 4x\).
Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 7 SGK Toán 12 Cánh diều
Chứng minh rằng hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \) nghịch biến trên nửa khoảng \(( - \infty ;0]\) và đồng biến trên nửa khoảng \([0; + \infty )\).
Phương pháp giải:
B1: Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Tính \(y'\). Tìm các điểm mà tại đó \(y' = 0\) hoặc \(y'\) không tồn tại.
B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
B4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \) nghịch biến trên nửa khoảng \(( - \infty ;0]\) và đồng biến trên nửa khoảng \([0; + \infty )\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 8 SGK Toán 12 Cánh diều
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số sau \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\).
Phương pháp giải:
B1: Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Tính \(y'\). Tìm các điểm mà tại đó \(y' = 0\) hoặc \(y'\) không tồn tại.
B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
B4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
Ta có: \(y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
Nhận xét: \(y' > 0\) với mọi \(x \in D\).
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 6 SGK Toán 12 Cánh diều
Xét dấu \(y'\) rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số\(y = \frac{4}{3}{x^3} - 2{x^2} + x - 1\).
Phương pháp giải:
B1: Tính \(y'\)rồi lập bảng xét dấu của \(y'\).
B2. Dựa vào bảng xét dấu của \(y'\) để nhận xét khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 4{x^2} - 4x + 1\).
Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).
Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 5 SGK Toán 12 Cánh diều
a) Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên tập \(K \subset \mathbb{R}\), trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
b) Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) có đồ thị như Hình 2.
- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đó.
- Xét dấu đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2x\).
- Nêu mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\) và dấu của đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2x\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right),\left( {0; + \infty } \right)\).
- Hoàn thành bảng biến thiên sau:
Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập K
Lời giải chi tiết:
a) Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và \(f\left( x \right)\) là hàm số xác định trên K.
- Hàm số \(f\left( x \right)\) được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi \({x_1},{x_2}\) thuộc K và \({x_1} < {x_2}\) thì \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).
- Hàm số \(f\left( x \right)\) được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi \({x_1},{x_2}\) thuộc K và \({x_1} < {x_2}\) thì \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).
- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K còn được gọi là hàm số đơn điệu trên K.
b)
- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
- Đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2x\)âm khi \(x < 0\) và dương khi \(x > 0\).
- Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) nghịch biến khi \(f'\left( x \right) = 2x\)mang dấu âm và đồng biến khi \(f'\left( x \right) = 2x\) mang dấu dương.
- Ta có bàng biến thiên sau:
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 6 SGK Toán 12 Cánh diều
Xét dấu \(y'\) rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số\(y = \frac{4}{3}{x^3} - 2{x^2} + x - 1\).
Phương pháp giải:
B1: Tính \(y'\)rồi lập bảng xét dấu của \(y'\).
B2. Dựa vào bảng xét dấu của \(y'\) để nhận xét khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 4{x^2} - 4x + 1\).
Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).
Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 7 SGK Toán 12 Cánh diều
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y = {x^4} + 2{x^2} - 3\).
Phương pháp giải:
B1: Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Tính \(y'\). Tìm các điểm mà tại đó \(y' = 0\) hoặc \(y'\) không tồn tại.
B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
B4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 4{x^3} + 4x\).
Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 7 SGK Toán 12 Cánh diều
a) Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\).
b) Xét dấu của đạo hàm \(f'\left( x \right) = 3{x^2}\).
c) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm ?
Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa đồng biến, nghịch biến của hàm số và các bước xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Lời giải chi tiết:
a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 3{x^2}\).
Xét \(y' = 0 \Rightarrow x = 0\).
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
b) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đạo hàm \(y' = 3{x^2}\) luôn dương với mọi x.
c) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có một nghiệm.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 7 SGK Toán 12 Cánh diều
Chứng minh rằng hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \) nghịch biến trên nửa khoảng \(( - \infty ;0]\) và đồng biến trên nửa khoảng \([0; + \infty )\).
Phương pháp giải:
B1: Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Tính \(y'\). Tìm các điểm mà tại đó \(y' = 0\) hoặc \(y'\) không tồn tại.
B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
B4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \) nghịch biến trên nửa khoảng \(( - \infty ;0]\) và đồng biến trên nửa khoảng \([0; + \infty )\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 8 SGK Toán 12 Cánh diều
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số sau \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\).
Phương pháp giải:
B1: Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Tính \(y'\). Tìm các điểm mà tại đó \(y' = 0\) hoặc \(y'\) không tồn tại.
B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
B4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
Ta có: \(y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
Nhận xét: \(y' > 0\) với mọi \(x \in D\).
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
Mục 1 của chương trình Toán 12 tập 1 - Cánh diều tập trung vào việc ôn tập và hệ thống hóa kiến thức về hàm số và đồ thị. Đây là nền tảng quan trọng để học sinh tiếp cận các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và phương pháp giải bài tập trong mục này là vô cùng cần thiết.
Dưới đây là lời giải chi tiết các bài tập trong Mục 1 trang 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều:
Nội dung bài tập: Xác định tập xác định của hàm số...
Lời giải: Để xác định tập xác định của hàm số, ta cần tìm các giá trị của x sao cho biểu thức trong hàm số có nghĩa. Trong trường hợp này, ta cần đảm bảo...
Nội dung bài tập: Khảo sát hàm số...
Lời giải: Để khảo sát hàm số, ta thực hiện các bước sau:
Nội dung bài tập: Giải phương trình...
Lời giải: Để giải phương trình, ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
Để giải các bài tập trong Mục 1 một cách hiệu quả, các em cần:
Khi giải bài tập, các em cần chú ý:
Hy vọng rằng lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập trong Mục 1 trang 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều sẽ giúp các em học tập tốt hơn. Chúc các em thành công!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
