Giải bài tập 9 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau

a,\(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\)

\(b,\;y = - {x^3} + 3{x^2} - 6x\)

\(c,y = \frac{{3x - 2}}{{x - 2}}\)

\(d,y = \frac{x}{{2x + 3}}\)

\(e,y = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{x}\)

\(g,y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}}\;\)

Lời giải chi tiết

\(a,\;y = {x^3} - 3{x^2} + 2\)

TXD : R

\(y' = 3{x^2} - 6x\)

Cho y= 0 => \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Hàm số đồng biến trong khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trong khoảng (0;2)

\(\;b,\;y = - {x^3} + 3{x^2} - 6x\)

TXD: R

\(y' = \; - 3{x^2} + 6x - 6\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số

Hàm số nghịch biến trên R

\(c,y = \frac{{3x - 2}}{{x - 2}}\)

TXD: R/2

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x - 2}}{{x - 2}} = 3 = > TCN\;y = 3\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3x - 2}}{{x - 2}} = - \infty \)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Hàm số nghịch biến trên khoảng R

\(d,y = \frac{x}{{2x + 3}}\)

TXD: R \ {\( - \frac{3}{2}\)}

TCN \(y = \frac{1}{2}\)

TCD \(x = - \frac{3}{2}\)

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số:

\(e,y = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{x}\)

\(TXD:\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)

TCD: x = 0.

Không có tiệm cận ngang.

Có thể viết hàm số đã cho dưới dạng: \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}} = x + 2 + \frac{4}{x}\), suy ra:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{4}{x} = 0.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{4}{x} = 0.\end{array}\)

Do đó, đồ thị hàm số có \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên.

\(y' = \frac{{\left( {2x + 2} \right)x - \left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2}}}\).

Cho y’=0 => x=\( \pm 2\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

g, \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}}\)

TXD: \(\mathbb{R}\backslash \{ - 2\} \). \[\]

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \). Đồ thị àm số không có tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = + \infty \). Đồ thị hàm số có \(x = - 2\) là tiệm cận đứng.

Có thể viết hàm số đã cho dưới dạng: \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}} = x + 2 - \frac{1}{{x + 2}}\), suy ra:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 2}} = 0.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 2}} = 0.\end{array}\)

Do đó, đồ thị hàm số có \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số: