Bài tập 13 trang 157 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ \(AH \bot BC(H \in BC)\) . Trên tia đối của tia HA ta lấy điểm M sao cho HM = HA.

a) Chứng minh rằng \(\Delta ABH = \Delta MBH\)

b) Gọi I là trung điểm của BC. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, đường kẻ này cắt tia AI tại D. Chứng minh rằng AB = DC.

c) Chứng minh rằng \(\widehat {ACB} = \widehat {AMB}\)

d) Chứng minh rằng BC // DM.

Lời giải chi tiết

a)Xét tam giác AHB và MHB có:

HA = HM (giả thiết)

\(\widehat {AHB} = \widehat {MHB}( = {90^0})\)

BH là cạnh chung.

Dó đó: \(\Delta AHB = \Delta MHB(c.g.c).\)

b) Ta có: \(BA \bot AC\)(tam giác ABC vuông tại A) và \(DC \bot AC(gt)\)

\( \Rightarrow AB//CD \Rightarrow \widehat {ABI} = \widehat {DCI}\)

Xét tam giác ABI và DCI có:

\(\widehat {ABI} = \widehat {DCI}(cmt)\)

BI = CI (I là trung điểm của BC)

Và \(\widehat {AIB} = \widehat {DIC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: \(\Delta ABI = \Delta DCI(g.c.g)\)

Suy ra : AB = CD.

c) Ta có: \(\widehat {ACB} + \widehat {HAC} = {90^0}(\Delta AHC\)vuông tại H)

\(\eqalign{ & \widehat {BAH} + \widehat {HAC} = {90^0}(\widehat {BAC} = {90^0}) \cr & \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {BAH} \cr} \)

Mà \(\widehat {BAH} = \widehat {BMH}(\Delta ABH = \Delta MBH)\) nên \(\widehat {ACB} = \widehat {AMB}\)

d) Cách 1:

Gọi O là giao điểm của BD và CM.

Xét tam giác MBC và DCB có:

BM = CD (=AB)

\(\widehat {MBC} = \widehat {DCB}( = \widehat {ABH})\)

BC là cạnh chung.

Do đó: \(\Delta MBC = \Delta DCB(c.g.c) \)

\(\Rightarrow \widehat {BCM} = \widehat {CBD} \)

\(\Rightarrow \widehat {BCM} = ({180^0} - \widehat {BOC}):2(1)\)

Xét tam giác BDM và CMD có:

\(BD = CM(\Delta MBC = \Delta DCB)\)

BM = CD

MD là cạnh chung.

Do đó: \(\Delta BDM = \Delta CMD(c.c.c) \)

\(\Rightarrow \widehat {BDM} = \widehat {CMD} \)

\(\Rightarrow \widehat {CMD} = ({180^0} - \widehat {MOD}):2(2)\)

Mà \(\widehat {BOC} = \widehat {MOD}(3)\) (đối đỉnh)

Từ (1), (2), (3) ta có: \(\widehat {BCM} = \widehat {CMD}\)

Mà góc BCM và CMD co le trong do đó: BC // DM.

Cách 2:

Gọi N là trung điểm của MD

Xét hai tam giác HAI và HMI có:

HA = HM (gt)

\(\widehat {AHI} = \widehat {MHI}( = {90^0})\)

IH là cạnh chung.

Do đó: \(\Delta HAI = \Delta HMI(c.g.c) \Rightarrow IA = IM,\widehat {HAI} = \widehat {HMI}.\)

Mà IA = ID \((\Delta ABI = \Delta DCI) \Rightarrow IM = ID\)

Xét tam giác IMN và IDN có:

IM = ID

IN là cạnh chung

MN = DN (N là trung điểm của MD)

Do đó: \(\Delta IMN = \Delta IDN(c.c.c) \)

\(\Rightarrow \widehat {IMN} = \widehat {IDN}.\)

Ta có:

\(\widehat {HAI} + \widehat {IDN} = \widehat {HMI} + \widehat {IMN} \)

\(\Rightarrow \widehat {MAD} + \widehat {ADM} = \widehat {AMD}\)

Tam giác AMD có: \(\widehat {MAD} + \widehat {ADM} + \widehat {AMD} = {180^0}.\)

Do đó: \(\widehat {AMD} + \widehat {AMD} = {180^0} \)

\(\Rightarrow 2\widehat {AMD} = {180^0} \Rightarrow \widehat {AMD} = {90^0} \Rightarrow AM \bot DM\)

Ta có: \(AM \bot BC;AM \bot DM.\) Vậy BC // DM.