Giải bài 1 trang 109 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Bài tập 1 trang 109 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh đẳng thức vectơ. Đây là một dạng bài tập cơ bản nhưng quan trọng, giúp củng cố lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải toán hình học.

Nội dung bài tập 1 trang 109 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Gọi N là giao điểm của AM và BD.

1. Chứng minh rằng: \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})
2. Chứng minh rằng: \overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}
3. Chứng minh rằng: \overrightarrow{BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}

Lời giải chi tiết bài tập 1 trang 109 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Chứng minh a: \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})

Ta có: \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}

Vì M là trung điểm của BC nên \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}

Mà \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} (do ABCD là hình bình hành)

Do đó, \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})

Suy ra: \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})

Chứng minh b: \overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}

Vì N là giao điểm của AM và BD nên N thuộc AM. Do đó, tồn tại số k sao cho \overrightarrow{AN} = k\overrightarrow{AM}

Ta có: \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN}

Mà \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{ND}

Vì ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}

Ta có \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{ND}

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD với đường thẳng AM, ta có:

\frac{BM}{MC} \cdot \frac{CN}{ND} \cdot \frac{DA}{AB} = 1

Vì BM = MC và DA = BC = AB nên \frac{CN}{ND} = 1, suy ra CN = ND.

Do đó, N là trung điểm của CD. Từ đó suy ra \overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}

Chứng minh c: \overrightarrow{BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}

Từ \overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}, ta có \overrightarrow{AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AN}

Mà \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}

Suy ra \overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD}

Ta có \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}

Kết luận

Qua bài giải trên, chúng ta đã nắm vững phương pháp giải bài tập liên quan đến vectơ trong hình học. Việc hiểu rõ các tính chất của vectơ và áp dụng linh hoạt các công thức sẽ giúp các em học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.

Loigiai.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán 10.