Giải mục 3 trang 68, 69, 70 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo

• HĐ Khám phá 5
• HĐ Khám phá 6
• Thực hành 3
• Vận dụng 3

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(F\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\), đường thẳng \(\Delta :y + \frac{1}{2} = 0\) và điểm \(M(x;y)\). Để tìm hệ thức giữa x và y sao cho \(M\) cách đều F và \(\Delta \), một học sinh đã làm như sau:

+) Tính MF và MH (với H là hình chiếu của M trên \(\Delta \)):

\(MF = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)}^2}} ,MH = d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {y + \frac{1}{2}} \right|\)

+) Điều kiện để M cách đều F và \(\Delta \):

\(\begin{array}{l}MF = d\left( {M,\Delta } \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \left| {y + \frac{1}{2}} \right|\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = 2y \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}{x^2}\left( * \right)\end{array}\)

Hãy cho biết tên đồ thị (P) của hàm số (*) vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị của hàm số (*) vừa tìm được có dạng là hàm số bậc 2 khuyết b và c tập hợp các điểm cách đều nhau qua một đường thẳng, đồ thị của hàm bậc 2 này có tên gọi là parabol.

Cho parabol (P) có tiêu điểm F và đường chuẩn \(\Delta \). Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là p, hiển nhiên \(p > 0\).

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\) và \(\Delta :x + \frac{p}{2} = 0\).

Xét điểm \(M(x;y)\).

a) Tính MF và \(d\left( {M,\Delta } \right)\).

b) Giải thích biểu thức sau:

\(M(x;y) \in (P) \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}} = \left| {x + \frac{p}{2}} \right|\).

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\overrightarrow {FM} = \left( {x - \frac{p}{2};y} \right) \Rightarrow MF = \left| {\overrightarrow {FM} } \right| = \sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}} \).

\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {x + \frac{p}{2}} \right|}}{1} = \left| {x + \frac{p}{2}} \right|\).

b) M thuộc parabol (P) nên M cách đều F và \(\Delta \).

Suy ra \(MF = d\left( {M,\Delta } \right) \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}} = \left| {x - \frac{p}{2}} \right|\).

Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn \(\Delta :x + 1 = 0\).

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ phương trình đường chuẩn tìm tọa độ của tiêu điểm (phương trình đường chuẩn có dạng \(x + \frac{p}{2} = 0\).

Bước 2: Viết phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2px\) với \(M(x;y) \in (P)\).

Lời giải chi tiết:

Từ phương trình đường chuẩn \(\Delta :x + 1 = 0\) ta có tiêu điểm \(F\left( {1;0} \right)\).

Phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2x\).

Một cổng chào có hình parabol cao 10 m và bề rộng của cổng tại chân cổng là 5 m. Tính bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2 m.

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi phương trình của parabol một cách tổng quát.

Bước 2: Thay các giả thiết tìm tiêu điểm.

Bước 3: Thay \(x = 2\) vào phương trình chính tắc tìm y.

Lời giải chi tiết:

Vẽ lại parabol và chọn hệ trục tọa độ như hình dưới.

Gọi phương trình của parabol là \({y^2} = 2px\).

Ta có chiều cao của cổng \(OH = 10\), chiều rộng tại chân cổng \(BD = 2BH = 5\).

Vậy điểm B có tọa độ là \(B\left( {10;\frac{5}{2}} \right)\).

Thay tọa độ điểm B vào phương trình parabol ta có:

\({\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} = 2p.10 \Rightarrow p = \frac{5}{{16}}\), suy ra phương trình parabol có dạng \({y^2} = \frac{5}{8}x\).

Thay \(x = 2\) vào phương trình \({y^2} = \frac{5}{8}x\) ta tìm được \(y = CA = \frac{{\sqrt 5 }}{2} \).

Vậy bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2 m là \(\sqrt 5 \) m.