Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Tọa độ của vecto trong chương trình Toán 10 Chân trời sáng tạo. Đây là một phần kiến thức quan trọng, đặt nền móng cho các chương trình học toán nâng cao hơn.
Tại loigiai.com.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức về tọa độ vecto một cách hiệu quả.
A. Lý thuyết 1. Tọa độ của vecto đối với một hệ trục tọa độ a) Trục tọa độ Trục tọa độ (gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đồ thị xác định một điểm O (gọi là điểm gốc) và một vectơ e có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị của trục.
A. Lý thuyết
1. Tọa độ của vecto đối với một hệ trục tọa độ
a) Trục tọa độ
Trục tọa độ (gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đồ thị xác định một điểm O (gọi là điểm gốc) và một vectơ e có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị của trục.
Ta ký hiệu trục đó là (O;e).
b) Hệ trục tọa độ
Hệ trục tọa độ \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) gồm hai trục \(\left( {O;\overrightarrow i } \right)\) và \(\left( {O;\overrightarrow j } \right)\) vuông góc với nhau. Điểm góc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ.
Trục \(\left( {O;\overrightarrow i } \right)\) được gọi là trục hoành và ký hiệu là Ox, trục \(\left( {O;\overrightarrow j } \right)\) được gọi là trục tung và ký hiệu là Oy. Các vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \) là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy. Hệ trục tọa độ \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) còn được ký hiệu là Oxy.
c) Tọa độ của một vecto
| Trong mặt phẳng Oxy, cặp số (x;y) trong biểu diễn \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j \) được gọi là tọa độ của vecto \(\overrightarrow a \), kí hiệu \(\overrightarrow a = (x;y)\), x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của vecto \(\overrightarrow a \). |
Chú ý:
+ \(\overrightarrow a = (x;y) \Leftrightarrow \overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j \).
+ Nếu \(\overrightarrow a = ({x_1};{y_1})\) và \(\overrightarrow b = ({x_2};{y_2})\) thì \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\end{array} \right.\).
d) Tọa độ của một điểm
| Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm M tùy ý. Tọa độ của vecto \(\overrightarrow {OM} \) được gọi là tọa độ của điểm M. |
Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:
+ \(M(x;y) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j \).
+ Nếu \(\overrightarrow {OM} = (x;y)\) thì x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của điểm M.
2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto
Cho hai vecto \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2})\) và số thực k. Khi đó: + \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = ({a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2})\). + \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = ({a_1} - {b_1};{a_2} - {b_2})\). + \(k\overrightarrow a = (k{a_1};k{a_2})\) với \(k \in \mathbb{R}\). + \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}\). |
3. Áp dụng của tọa độ vecto
a) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vecto trong mặt phẳng
Cho hai điểm \(A({x_A};{y_A})\), \(B({x_B};{y_B})\). Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A})\). |
b) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
Cho hai điểm \(A({x_A};{y_A})\) và \(B({x_B};{y_B})\). Nếu \(M({x_M};{y_M})\) là trung điểm đoạn thẳng AB thì \({x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\); \({y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\). Cho tam giác ABC có \(A({x_A};{y_A})\), \(B({x_B};{y_B})\), \(C({x_C};{y_C})\). Nếu \(G({x_G};{y_G})\) là trọng tâm tam giác ABC thì \({x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\); \({y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\). |
c) Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vecto
Cho hai vecto \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2})\) và hai điểm \(A({x_A};{y_A})\) và \(B({x_B};{y_B})\). Ta có: + \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0\). + \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương \( \Leftrightarrow {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 0\). + \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} \). + \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \). + \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} .\sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2} }}\) (\(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \)). |
B. Bài tập
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M, N, P, Q. Tìm tọa độ các vecto \(\overrightarrow {OM} \), \(\overrightarrow {ON} \), \(\overrightarrow {OP} \), \(\overrightarrow {OQ} \).
Giải:
Từ hình vẽ, ta có: M(-4;3), N(3;0), P(5;-2), Q(0;-3).
Do đó: \(\overrightarrow {OM} = ( - 4;3)\), \(\overrightarrow {ON} = (3;0)\), \(\overrightarrow {OP} = (5; - 2)\), \(\overrightarrow {OQ} = (0; - 3)\).
Bài 2: Tìm tọa độ của các vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) trong hình.
Giải:
Ta có:
\(\overrightarrow a = \overrightarrow {OA} \) và A(2;2); tọa độ vecto \(\overrightarrow {OA} \) chính là tọa độ điểm A nên \(\overrightarrow a = (2;2)\).
\(\overrightarrow b = \overrightarrow {OB} \) và A(1;-3); tọa độ vecto \(\overrightarrow {OB} \) chính là tọa độ điểm B nên \(\overrightarrow b = (1; - 3)\).
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1;2) và vecto \(\overrightarrow u = (3; - 4)\).
a) Biểu diễn vecto \(\overrightarrow u \) qua hai vecto \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \).
b) Biểu diễn vecto \(\overrightarrow {OA} \) qua hai vecto \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \).
Giải:
a) Vì \(\overrightarrow u = (3; - 4)\) nên \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow i + ( - 4)\overrightarrow j = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \).
b) Vì điểm A có tọa độ là (1;2) nên \(\overrightarrow {OA} = (1;2)\). Do đó:
\(\overrightarrow {OA} = 1\overrightarrow i + 2\overrightarrow j = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j \).
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(1;1), B(4;3), C(-1;-2).
a) Tìm tọa độ của vecto \(\overrightarrow {AB} \).
b) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Giải:
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (4 - 1;3 - 1)\). Vậy \(\overrightarrow {AB} = (3;2)\).
b) Gọi tọa độ của điểm D là \(({x_D};{y_D})\), ta có: \(\overrightarrow {DC} = ( - 1 - {x_D}; - 2 - {y_D})\).
Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:
\(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = (3;2) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - {x_D} = 3\\ - 2 - {y_D} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = - 4\\{y_D} = - 4\end{array} \right.\).
Vậy D(-4;-4).
Bài 5: Cho \(\overrightarrow u = (2; - 1)\), \(\overrightarrow v = (1;5)\). Tìm tọa độ của \(\overrightarrow u + \overrightarrow v \) và \(\overrightarrow u - \overrightarrow v \).
Giải:
\(\overrightarrow u + \overrightarrow v = (2 + 1; - 1 + 5) = (3;4)\); \(\overrightarrow u - \overrightarrow v = (2 - 1; - 1 - 5) = (1; - 6)\).
Bài 6: Cho ba điểm A(-1;-3), B(2;3) và C(3;5). Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Giải:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (3;6)\), \(\overrightarrow {BC} = (1;2)\). Suy ra \(\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {BC} \).
Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Bài 7: Cho tma giác ABC có A(-2;1), B(2;5), C(5;2). Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB và trọng tâm G của tam giác ABC.
Giải:
Do \(M({x_M};{y_M})\) là trung điểm của đoạn thẳng AB nên:
\({x_M} = \frac{{ - 2 + 2}}{2} = 0\); \({y_M} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\).
Vậy M(0;3).
Do \(G({x_G};{y_G})\) là trọng tâm tam giác ABC nên:
\({x_G} = \frac{{ - 2 + 2 + 5}}{3} = \frac{5}{3}\); \({y_G} = \frac{{1 + 5 + 2}}{3} = \frac{8}{3}\).
Vậy \(G\left( {\frac{5}{3};\frac{8}{3}} \right)\).
Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;2), B(1;-1), C(8;0).
a) Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \) và \(\cos \widehat {ABC}\).
b) Chứng minh \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \).
c) Giải tam giác ABC.
Giải:
a) Ta có \(\overrightarrow {BA} = (1;3)\), \(\overrightarrow {BC} = (7;1)\). Do đó \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 1.7 + 3.1 = 10\).
Mặt khác: \(\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \), \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{7^2} + {1^2}} = \sqrt {50} \).
\(\cos \widehat {ABC} = \cos (\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .\sqrt {50} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
b) Do \(\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 3)\) và \(\overrightarrow {AC} = (6; - 2)\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = ( - 1).6 + ( - 3).( - 2) = 0\).
Vậy \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \).
c) Do \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \) nên \(\widehat {BAC} = {90^o}\), tức tam giác ABC vuông tại A.
Mà \(\cos \widehat {ABC} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\) nên \(\widehat {ABC} \approx {63^o}\). Vì thế \(\widehat {ACB} \approx {90^o} - {63^o} = {27^o}\).
Mặt khác: \(AB = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {10} \), \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \),
\(CA = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2}} = 2\sqrt {10} \).
Trong chương trình Toán 10 Chân trời sáng tạo, phần Lý thuyết Tọa độ của Vectơ đóng vai trò then chốt trong việc xây dựng nền tảng hình học giải tích. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về các khái niệm, định lý và ứng dụng quan trọng của chủ đề này.
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi độ dài và hướng. Trong mặt phẳng tọa độ, một vectơ được biểu diễn bằng cặp số (x; y), trong đó x là hoành độ và y là tung độ của vectơ. Vectơ có thể được ký hiệu là →AB, a, hoặc (x; y).
Có hai phép toán cơ bản trên vectơ: phép cộng và phép nhân với một số thực.
Tọa độ của một vectơ trong mặt phẳng tọa độ được xác định bởi hiệu tọa độ của điểm cuối và điểm đầu của vectơ. Nếu A(xA; yA) và B(xB; yB) thì →AB = (xB - xA; yB - yA).
Vectơ có thể được biểu diễn bằng nhiều cách khác nhau:
Một vectơ có độ dài bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị. Vectơ đối của vectơ →a là vectơ →-a có cùng độ dài nhưng ngược hướng với →a.
Tọa độ vectơ có nhiều ứng dụng trong hình học giải tích, bao gồm:
Ví dụ 1: Cho A(1; 2) và B(3; 4). Tìm tọa độ của vectơ →AB.
Giải:→AB = (3 - 1; 4 - 2) = (2; 2).
Ví dụ 2: Cho →a = (1; -2) và →b = (3; 1). Tính →a + →b.
Giải:→a + →b = (1 + 3; -2 + 1) = (4; -1).
Kiến thức về tọa độ vectơ là nền tảng cho việc học các chủ đề nâng cao hơn trong hình học giải tích, như phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, và các khái niệm về phép biến hình. Việc nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập là rất quan trọng để đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về Lý thuyết Tọa độ của Vectơ trong chương trình Toán 10 Chân trời sáng tạo. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và tự tin hơn trong các bài kiểm tra.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
