Bài 4.11 trang 12 sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 4.11 trang 12, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Hãy cùng theo dõi lời giải chi tiết dưới đây!
Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính: a) (intlimits_0^3 {left( {2x + 1} right)dx} ); b) (intlimits_0^4 {sqrt {16 - {x^2}} dx} ).
Đề bài
Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a) \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} \);
b) \(\int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Giá trị tích phân là diện tích của hình vẽ giới hạn bởi hàm \(2x + 1\) và hai đường thẳng xác định bởi giá trị hai cận do hàm không âm trên \(\left[ {0;3} \right]\).
Xác định hình vẽ đó và tính diện tích bằng công thức hình học.
Ý b: Giá trị tích phân là diện tích của hình vẽ giới hạn bởi hàm \(\sqrt {16 - {x^2}} \) và hai đường thẳng xác định bởi giá trị hai cận do hàm không âm trên \(\left[ {0;4} \right]\).
Xác định hình vẽ đó và tính diện tích bằng công thức hình học.
Lời giải chi tiết
a) Ta có hàm số \(f\left( x \right) = 2x + 1\) không âm trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\). Do đó tích phân \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} \) là
diện tích của hình vẽ giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = 0\) (trục \(Ox\)) và
\(x = 3\) như hình vẽ bên.Ta cần tính diện tích hình thang vuông có
đáy lớn là 7, đáy bé là 1 và chiều cao là 3.
Suy ra \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} = \frac{1}{2} \cdot \left( {1 + 7} \right) \cdot 3 = 12\).
b) Ta có \(\int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx} \).
Ta có hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {16 - {x^2}} \) không âm trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\). Do đó tích phân \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} \) là diện tích của hình vẽ giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = 0\) (trục \(Ox\)) và \(x = 4\) như hình vẽ bên.
Ta cần tính diện tích một phần tư đường tròn có bán kính là 4, tâm O nằm ở góc phần tư thứ I. Suy ra \(\int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx} = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot {4^2} = 4\pi \).
Bài 4.11 trang 12 sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài toán ứng dụng đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế liên quan đến tối ưu hóa. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị, và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Đề bài yêu cầu tìm giá trị của một đại lượng nào đó sao cho một biểu thức khác đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Việc xác định đúng đại lượng cần tìm và biểu thức cần tối ưu hóa là bước quan trọng đầu tiên để giải quyết bài toán.
(Nội dung lời giải chi tiết bài 4.11 sẽ được trình bày tại đây, bao gồm các bước giải cụ thể, các phép tính và giải thích rõ ràng. Ví dụ:)
Bài 4.11: Một người nông dân muốn xây một chuồng trại hình chữ nhật có diện tích 100m2. Người đó muốn sử dụng một lượng vật liệu tối thiểu để xây dựng chuồng trại. Hỏi chuồng trại cần có kích thước như thế nào?
Giải:
Gọi chiều dài và chiều rộng của chuồng trại lần lượt là x và y (x, y > 0). Diện tích của chuồng trại là xy = 100. Chu vi của chuồng trại là P = 2(x + y). Mục tiêu là tìm x và y sao cho P nhỏ nhất.
Từ xy = 100, ta có y = 100/x. Thay vào P, ta được P(x) = 2(x + 100/x). Đạo hàm P'(x) = 2(1 - 100/x2). Giải P'(x) = 0, ta được x2 = 100, suy ra x = 10 (do x > 0). Khi x = 10, y = 100/10 = 10. Vậy chuồng trại có kích thước 10m x 10m.
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Bài 4.11 trang 12 sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập điển hình về ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu hóa. Việc nắm vững các bước giải và thực hành nhiều bài tập tương tự sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
