Bài 5.43 trang 38 sách bài tập Toán 12 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số.
Loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 5.43, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (left( S right):{left( {x - 2} right)^2} + {left( {y + 1} right)^2} + {left( {z - 3} right)^2} = 9) và điểm (Aleft( {2; - 1;1} right)). a) Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S). b) Chứng minh rằng điểm A nằm trong mặt cầu (S). c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) và điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right)\).
a) Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
b) Chứng minh rằng điểm A nằm trong mặt cầu (S).
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Từ phương trình mặt cầu suy ra tâm và bán kính.
Ý b: So sánh IA và bán kính mặt cầu.
Ý c: IA là vectơ pháp tuyến của (P).
Lời giải chi tiết
a) Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {2; - 1;3} \right)\), bán kính \(R = 3\).
b) Ta có \(IA = \sqrt {{2^2}} = 2 < 3 = R\). Suy ra điểm A nằm trong mặt cầu (S).
c) Kẻ IH vuông góc với mặt phẳng (P) thì \(IH \le IA\) nên IH lớn nhất khi H trùng với A.
Để khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất thì IH lớn nhất.
Khi đó A là hình chiếu của I trên (P).
Suy ra mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IA} = \left( {0;0; - 2} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (P) là \( - 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow z - 1 = 0\).
Bài 5.43 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức yêu cầu xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Đề bài: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a) y = x3 - 3x2 + 2
Tập xác định: D = ℝ
Đạo hàm: y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2)
Xét dấu y':
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| 3x | - | 0 | + | |
| x-2 | - | - | 0 | + |
| y' | + | 0 | - | + |
Kết luận: Hàm số đồng biến trên (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên (0; 2).
b) y = -x4 + 4x2 - 1
Tập xác định: D = ℝ
Đạo hàm: y' = -4x3 + 8x = -4x(x2 - 2) = -4x(x - √2)(x + √2)
Xét dấu y':
| x | -∞ | -√2 | 0 | √2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| -4x | + | + | 0 | - | - |
| x-√2 | - | - | - | 0 | + |
| x+√2 | - | 0 | + | + | + |
| y' | - | 0 | + | 0 | - |
Kết luận: Hàm số nghịch biến trên (-∞; -√2) và (√2; +∞), đồng biến trên (-√2; 0) và (0; √2).
c) y = x + sinx
Tập xác định: D = ℝ
Đạo hàm: y' = 1 + cosx
Vì -1 ≤ cosx ≤ 1 nên 0 ≤ 1 + cosx ≤ 2. Do đó, y' ≥ 0 với mọi x thuộc ℝ.
Kết luận: Hàm số đồng biến trên ℝ.
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài 5.43 trang 38 sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
