Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 1.36 trang 46 SGK Toán 12 tập 1. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
loigiai.com.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập hiệu quả.
Chuyên viên phân tích thị trường của một công ty X sản xuất máy xay sinh tố nhận thấy rằng, nếu công ty sản xuất x máy xay hằng năm thì tổng lợi nhuận thu được sẽ tính theo công thức: \(y = f(x) = 8x + 0,3{x^2} - 0,0013{x^3} - 372\) (triệu đồng) a) Công ty X cần sản xuất ít nhất bao nhiêu máy xay để không bị lỗ, biết rằng công ty sản xuất 20 máy xay vẫn chưa có lãi? b) Lợi nhuận lớn nhất công ty có thể thu được là bao nhiêu? Khi đó cần sản xuất bao nhiêu máy xay?
Đề bài
Chuyên viên phân tích thị trường của một công ty X sản xuất máy xay sinh tố nhận thấy rằng, nếu công ty sản xuất x máy xay hằng năm thì tổng lợi nhuận thu được sẽ tính theo công thức: \(y = f(x) = 8x + 0,3{x^2} - 0,0013{x^3} - 372\) (triệu đồng)
a) Công ty X cần sản xuất ít nhất bao nhiêu máy xay để không bị lỗ, biết rằng công ty sản xuất 20 máy xay vẫn chưa có lãi?
b) Lợi nhuận lớn nhất công ty có thể thu được là bao nhiêu? Khi đó cần sản xuất bao nhiêu máy xay?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Để tìm số lượng máy xay ít nhất để không bị lỗ:
- Lợi nhuận không âm (không bị lỗ) khi y ≥ 0.
- Giải bất phương trình để tìm giá trị nhỏ nhất thỏa mãn y ≥ 0.
- Do công ty sản xuất 20 máy xay vẫn chưa có lãi nên ta loại bỏ các giá trị nhỏ hơn 20.
b) Để tìm lợi nhuận lớn nhất và số lượng máy xay tương ứng:
- Tìm đạo hàm y'.
- Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm cực trị của hàm số.
- Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các đầu mút của khoảng xác định (nếu có) để so sánh và tìm giá trị lớn nhất.
Lời giải chi tiết
a)
Để không bị lỗ thì
Do công ty sản xuất 20 máy xay vẫn chưa có lãi vì
\(f(20) = 8(20) + 0,3{(20)^2} - 0,0013{(20)^3} - 372 = - 102,4\)
Nên ta loại bỏ các giá trị x ≤ 20.
Sử dụng máy tính cầm tay để giải bất phương trình:
\(f(x) \ge 0 \Rightarrow \{ _{25.23 \le x \le 250.76}^{x \le - 45.22}\)
Loại x ≤ -45.22 vì ta có điều kiện x > 20.
Suy ra để công ty X không bị lỗ thì cần sản xuất ít nhất \(\left\lceil {25,23} \right\rceil = 26\)máy xay.
b)
- Đạo hàm của hàm lợi nhuận: \(f'(x) = 8 + 0,6x - 0,0039{x^2}\)
- Giải phương trình \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 8 + 0,6x - 0,0039{x^2} = 0 \Rightarrow \{ _{x = - 12,34(KTMDK)}^{x = 166,19}\)
- Tính giá trị của hàm số tại \(x = \left[ {166,19} \right] = 166\) và tại các đầu mút của khoảng xác định là \(x = 26\) và \(x = 250\) (do số máy xay phải nằm trong khoảng [26;250] thì mới có lợi nhuận) để so sánh và tìm giá trị lớn nhất.
\(x = 166 \to f(166) = 8(166) + 0,3{(166)^2} - 0,0013{(166)^3} - 372 = 3276,1252\)
\(x = 26 \to f(26) = 8(26) + 0,3{(26)^2} - 0,0013{(26)^3} - 372 = 15,9512\)
\(x = 250 \to f(250) = 8(250) + 0,3{(250)^2} - 0,0013{(250)^3} - 372 = 65,5\)
Vậy lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể thu được là 3276,1252 (triệu đồng) và số máy xay cần sản xuất là 166 máy.
Bài tập 1.36 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điều kiện cực trị và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Hãy khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị.
1. Tính đạo hàm cấp một:
y' = 3x2 - 6x
2. Tìm điểm dừng:
Giải phương trình y' = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
3. Lập bảng biến thiên:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
4. Xác định cực trị:
5. Kết luận:
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 đạt cực đại tại điểm (0; 2) và đạt cực tiểu tại điểm (2; -2).
Để hiểu sâu hơn về cách khảo sát hàm số và tìm cực trị, các em có thể thực hành với các bài tập tương tự trong SGK và sách bài tập Toán 12 tập 1. Chú trọng việc nắm vững các bước giải và áp dụng linh hoạt các kiến thức đã học.
Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu học tập trực tuyến và các video hướng dẫn giải bài tập trên loigiai.com.vn để nâng cao kỹ năng giải toán.
Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
