Hệ trục tọa độ trong không gian là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình Toán 12, đóng vai trò nền tảng cho việc giải quyết các bài toán về hình học không gian. Loigiai.com.vn cung cấp bài học chi tiết, dễ hiểu về lý thuyết này, giúp bạn nắm vững kiến thức cơ bản và nâng cao.
Chúng tôi tập trung vào việc trình bày lý thuyết một cách trực quan, kết hợp với các ví dụ minh họa cụ thể, giúp bạn dễ dàng hình dung và áp dụng vào thực tế.
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
| Trong không gian, hệ ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz. |
Lưu ý:
- Điểm O được gọi là gốc tọa độ
- Ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt được gọi là trục hoành, trục tung, trục cao
- Ba mặt phẳng (Oxy), (Oxz), (Oyz) đôi một vuông góc với nhau, được gọi là các mặt phẳng tọa độ. Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz
- Ta quy ước gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) tương ứng là ba vecto đơn vị trên ba trục Ox, Oy, Oz. Từ nay trở đi, nếu không nói gì thêm thì ta hiểu Không gian Oxyz đã có bộ ba vecto đơn vị trên các trục là \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \). Vì các vecto \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên:
\({\overrightarrow i ^2} = {\overrightarrow j ^2} = {\overrightarrow k ^2} = 1\)
\(\overrightarrow i .\overrightarrow j = \overrightarrow j .\overrightarrow k = \overrightarrow k .\overrightarrow i = 0\)
2. Tọa độ của một điểm
| Trong không gian Oxyz, cho điểm M. Nếu \[\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \] thì ta gọi bộ ba số (x;y;z) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết M = (x;y;z) hoặc M (x;y;z); x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M. |
3. Tọa độ của vecto
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a \). Nếu \[\overrightarrow a = {a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k \] thì ta gọi bộ ba số \(\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) là tọa độ của \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz và viết \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) Trong không gian Oxyz, nếu \(M({x_M};{y_M};{z_M})\) và \(N({x_N};{y_N};{z_N})\) thì: \(\overrightarrow {MN} = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M})\) |
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9).
Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} \).
Tìm tọa độ của các điểm B’, C’.
Lời giải
Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = ({x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}) = (4;0; - 1)\).
Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì \(\overrightarrow {BB'} \) = (x-3;y-2;z-5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AA'} \) = \(\overrightarrow {BB'} \).
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\) hay x = 7, y = 2, z = 4. Vậy B’(7;2;4).
Lập luận tương tự suy ra C’(11;-3;8).
Hệ trục tọa độ trong không gian là một hệ tọa độ được sử dụng để xác định vị trí của các điểm trong không gian ba chiều. Hệ tọa độ này bao gồm ba trục vuông góc với nhau, thường được ký hiệu là Ox, Oy và Oz. Giao điểm của ba trục này được gọi là gốc tọa độ O.
Để xác định vị trí của một điểm M trong không gian, ta cần ba số thực x, y, z, được gọi là tọa độ của điểm M. Ký hiệu M(x; y; z). x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ.
Trong không gian, vector được biểu diễn bằng bộ ba số thực (x; y; z), gọi là tọa độ của vector. Các phép toán cộng, trừ vector, nhân vector với một số thực được thực hiện theo quy tắc sau:
Tích vô hướng của hai vector a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) được tính bằng công thức:
a ⋅ b = x1x2 + y1y2 + z1z2
Ứng dụng của tích vô hướng: Xác định góc giữa hai vector, kiểm tra tính vuông góc của hai vector.
Tích có hướng của hai vector a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) được tính bằng công thức:
[a, b] = (y1z2 - z1y2; z1x2 - x1z2; x1y2 - y1x2)
Ứng dụng của tích có hướng: Tìm vector vuông góc với cả hai vector a và b, tính diện tích hình bình hành tạo bởi hai vector.
Phương trình tổng quát của một mặt phẳng trong không gian có dạng:
Ax + By + Cz + D = 0
Trong đó, (A; B; C) là vector pháp tuyến của mặt phẳng.
Đường thẳng trong không gian có thể được biểu diễn bằng phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc.
Phương trình tham số:
{ x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct }
Trong đó, (x0; y0; z0) là một điểm thuộc đường thẳng, (a; b; c) là vector chỉ phương của đường thẳng.
Bài tập 1: Cho A(1; 2; 3) và B(4; 5; 6). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
Giải: I = ((1+4)/2; (2+5)/2; (3+6)/2) = (2.5; 3.5; 4.5)
Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 là một phần quan trọng của chương trình học. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả. Loigiai.com.vn hy vọng với những kiến thức được trình bày trên, bạn sẽ có thêm sự tự tin trong quá trình học tập.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
