Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2 của SGK Toán 12 tập 2, trang 15, 16, 17 và 18. Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn, vì vậy chúng tôi luôn cố gắng trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic và dễ tiếp thu nhất.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, chúng tôi đảm bảo tính chính xác và đầy đủ của các lời giải.
Cho \(f(x) = 2x\). Tính và so sánh \(\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx\) và \(2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(f(x) = 2x\). Tính và so sánh \(\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx\) và \(2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx\).
Phương pháp giải:
- Tính từng tích phân riêng biệt: \(\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx\) và \(2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx\)
- So sánh kết quả của hai tích phân.
Lời giải chi tiết:
Tính tích phân thứ nhất:
\(\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx = \int\limits_1^2 2 (2x){\mkern 1mu} dx = \int\limits_1^2 4 x{\mkern 1mu} dx = \left[ {2{x^2}} \right]_1^2 = 2({2^2}) - 2({1^2}) = 8 - 2 = 6\)
Tính tích phân thứ hai:
\(2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx = 2\int\limits_1^2 2 x{\mkern 1mu} dx = 2 \times \left[ {{x^2}} \right]_1^2 = 2 \times ({2^2} - {1^2}) = 2 \times (4 - 1) = 2 \times 3 = 6\)
So sánh:
\(\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx = 6\) và \(2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx = 6\)
Vậy, hai tích phân này bằng nhau.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(f(x) = 2x\), \(g(x) = 5\). Tính và so sánh:
a) \(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx\) và \(\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx + \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx\).
b) \(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx\) và
\(\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx - \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx\).
Phương pháp giải:
- Tính từng tích phân riêng biệt bằng cách tìm nguyên hàm của \(f(x)\) và \(g(x)\) trên đoạn \([1;2]\).
- Áp dụng tính chất của tích phân để so sánh kết quả của các biểu thức.
Lời giải chi tiết:
a) Tính tích phân:
\(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 {\left[ {2x + 5} \right]} dx\)
Nguyên hàm của \(2x + 5\) là \({x^2} + 5x + C\):
\(\int\limits_1^2 {\left[ {2x + 5} \right]} dx = \left[ {{x^2} + 5x} \right]_1^2 = \left[ {4 + 10} \right] - \left[ {1 + 5} \right] = 14 - 6 = 8\)
Tính tích phân từng hàm riêng:
\(\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx = \int\limits_1^2 2 x{\mkern 1mu} dx = \left[ {{x^2}} \right]_1^2 = 4 - 1 = 3\)
\(\int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx = \int\limits_1^2 5 {\mkern 1mu} dx = \left[ {5x} \right]_1^2 = 10 - 5 = 5\)
So sánh:
\(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = 8\)
\(\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx + \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx = 3 + 5 = 8\)
Vậy \(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx + \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx\).
b) Tương tự, tính tích phân trong phần b):
\(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 {\left[ {2x - 5} \right]} dx = \left[ {{x^2} - 5x} \right]_1^2 = \left[ {4 - 10} \right] - \left[ {1 - 5} \right] = - 6 + 4 = - 2\)
So sánh:
\(\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx - \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx = 3 - 5 = - 2\)
Vậy \(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx - \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(\int\limits_1^4 {3\sqrt x } dx = 14\). Tính \(\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng tính chất của tích phân xác định để đơn giản hóa biểu thức. Chúng ta biết rằng:
\(\int\limits_1^4 3 \sqrt x {\mkern 1mu} dx = 3\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\)
- Sử dụng giá trị đã cho \(\int\limits_1^4 {3\sqrt x } dx = 14\) để thiết lập phương trình và giải để tìm giá trị của \(\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\).
Lời giải chi tiết:
Từ tính chất của tích phân xác định, ta có:
\(\int\limits_1^4 3 \sqrt x {\mkern 1mu} dx = 3\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\)
Theo đề bài, ta biết rằng:
\(3\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx = 14\)
Chia cả hai vế của phương trình cho 3:
\(\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx = \frac{{14}}{3}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính
a) \(\int\limits_1^2 {\left( {4{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} \);
b) \(\int\limits_0^1 {(5 - 2{e^x})dx} \).
Phương pháp giải:
- Sử dụng các công thức tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản:
\(\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C,{\rm{ }}n \ne - 1\)
\(\int {\frac{1}{{{x^n}}}} dx = \frac{{{x^{ - n + 1}}}}{{ - n + 1}} + C,n \ne 1\)
\(\int {{e^x}} dx = {e^x} + C\)
\(\int a dx = ax + C\)
- Áp dụng tính chất số 2 của tích phân để tính.
Lời giải chi tiết:
a)
Tìm nguyên hàm của \(4{x^3}\) và \( - \frac{1}{{{x^2}}}\):
\(\int 4 {x^3}dx = 4 \cdot \frac{{{x^4}}}{4} = {x^4}\)
\(\int - \frac{1}{{{x^2}}}dx = - \int {{x^{ - 2}}} dx = - \frac{{{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} = \frac{1}{x}\)
Vậy nguyên hàm của hàm số \(4{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}\) là:
\(F(x) = {x^4} + \frac{1}{x}\)
\(\int_1^2 {\left( {4{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx = \left[ {{x^4} + \frac{1}{x}} \right]_1^2 = \left( {{2^4} + \frac{1}{2}} \right) - \left( {{1^4} + \frac{1}{1}} \right)\)
\({2^4} = 16,\quad \frac{1}{2} = 0.5,\quad {1^4} = 1,\quad \frac{1}{1} = 1\)
\(\int_1^2 {\left( {4{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx = (16 + 0.5) - (1 + 1) = 16.5 - 2 = 14.5\)
b)
Tính nguyên hàm của 5 và \( - 2{e^x}\):
\(\int 5 dx = 5x\)
\(\int - 2{e^x}dx = - 2{e^x}\)
Vậy nguyên hàm của hàm số \(5 - 2{e^x}\) là:
\(F(x) = 5x - 2{e^x}\)
Tính giá trị của tích phân tại cận từ 0 đến 1:
\(\int_0^1 {\left( {5 - 2{e^x}} \right)} dx = \left[ {5x - 2{e^x}} \right]_0^1 = \left( {5 \cdot 1 - 2{e^1}} \right) - \left( {5 \cdot 0 - 2{e^0}} \right)\)
\(5 \cdot 1 = 5,\quad {e^1} = e,\quad 5 \cdot 0 = 0,\quad {e^0} = 1\)
\(\int_0^1 {\left( {5 - 2{e^x}} \right)} dx = (5 - 2e) - (0 - 2) = 5 - 2e + 2 = 7 - 2e\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 16 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(f(x) = 2x\). Tính và so sánh \(\int\limits_1^2 {f(x)dx} + \int\limits_2^3 {f(x)} dx\) và \(\int\limits_1^3 {f(x)} dx\).
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức tính tích phân của hàm số cơ bản để tính các tích phân riêng lẻ, sau đó cộng lại và so sánh với tích phân từ cận nhỏ nhất đến cận lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
Tính nguyên hàm của $f(x) = 2x$:
\(F(x) = \int 2 xdx = {x^2}\)
Tính các tích phân:
\(\int_1^2 2 xdx = \left[ {{x^2}} \right]_1^2 = {2^2} - {1^2} = 4 - 1 = 3\)
\(\int_2^3 2 xdx = \left[ {{x^2}} \right]_3^2 = {\left( 3 \right)^2} - {2^2} = 9 - 4 = 5\)
\(\int_1^3 2 xdx = \left[ {{x^2}} \right]_1^3 = {3^2} - {1^2} = 9 - 1 = 8\)
So sánh:
\(\int_1^2 2 xdx + \int_2^3 2 xdx = 3 + 5 = 8\)
\(\int_1^2 f (x)dx + \int_2^3 f (x)dx = 8\)
\(\int_1^3 f (x)dx = 8\)
Do đó, hai tích phân này bằng nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 17 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([ - 1;5]\) và \[\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx = 12\]. Tính \(\int_{ - 1}^5 f (x)dx\).
b) Cho \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + 2}&{{\rm{khi }}x > - 1}\\{2x + 3}&{{\rm{khi }}x \le - 1}\end{array}} \right.\). Tính \(\int_{ - 2}^1 f (x)dx\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng tính chất của tích phân và giả thiết đã cho, ta tách tích phân \[\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx\] thành hai phần: \(\int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx\) và \( - 3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx\). Sau đó, chúng ta tính từng tích phân riêng lẻ và giải phương trình để tìm \(\int_{ - 1}^5 f (x)dx\).
b) Đối với bài này, ta chia tích phân \(\int_{ - 2}^1 f (x)dx\) thành hai phần dựa trên định nghĩa của hàm \(f(x)\). Tính tích phân riêng trên từng đoạn sau đó cộng kết quả lại.
Lời giải chi tiết:
a) Sử dụng giả thiết\(\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx = 12\):
\(\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx = \int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx + - 3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 12\)
Tính \(\int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx\):
\(\int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx = \left. {{x^2}} \right|_{ - 1}^5 = {5^2} - {( - 1)^2} = 25 - 1 = 24\)
Thay vào phương trình:
\(24 - 3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 12\)
\(3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 12\)
\(\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 4\)
b) Chia tích phân thành hai phần dựa trên định nghĩa của hàm \(f(x)\):
\(\int_{ - 2}^1 f (x)dx = \int_{ - 2}^{ - 1} f (x)dx + \int_{ - 1}^1 f (x)dx\)
Tính \(\int_{ - 2}^{ - 1} {(2x + 3)} dx\):
\(\int_{ - 2}^{ - 1} {(2x + 3)} dx = \left. {({x^2} + 3x)} \right|_{ - 2}^{ - 1} = [{( - 1)^2} + 3( - 1)] - [{( - 2)^2} + 3( - 2)] = - 2 + 2 = 0\)
Tính \(\int_{ - 1}^1 {({x^3} + 2)} dx\):
\(\int_{ - 1}^1 {({x^3} + 2)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \left[ {\frac{1}{4} + 2} \right] - \left[ {\frac{1}{4} - 2} \right] = 4\)
Vậy \(\int_{ - 2}^1 f (x)dx = 0 + 4 = 4\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 18 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Hình 4.7 là đồ thị vận tốc \(v(t)\) của một vật (t = 0 là thời điểm vật bắt đầu chuyển động).
a) Viết công thức của hàm số \(v(t)\) với \(t \in [0;6]\).
b) Tính quãng đường vật di chuyển được trong 6 giây đầu tiên.
Phương pháp giải:
a) Dựa trên đồ thị, ta xác định công thức của hàm số \(v(t)\) theo từng đoạn thời gian khác nhau.
b) Để tính quãng đường di chuyển, ta tính diện tích dưới đường cong của đồ thị vận tốc trong khoảng thời gian đã cho.
Lời giải chi tiết:
a) Hàm số \(v(t)\) được chia thành hai đoạn dựa trên đồ thị:
\(v(t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{3}{2}t}&{{\rm{khi }}0 \le t \le 2}\\3&{{\rm{khi }}2 < t \le 6}\end{array}} \right.\)
b) Quãng đường vật di chuyển được trong 6 giây đầu tiên là diện tích dưới đồ thị của hàm \(v(t)\) từ 0 đến 6:
\(S = \int_0^2 {\frac{3}{2}} t{\mkern 1mu} dt + \int_2^6 3 {\mkern 1mu} dt\)
Tính \(\int_0^2 {\frac{3}{2}} t{\mkern 1mu} dt\):
\(\int_0^2 {\frac{3}{2}} t{\mkern 1mu} dt = \left. {\frac{3}{4}{t^2}} \right|_0^2 = \frac{3}{4}({2^2}) = 3\)
Tính \(\int_2^6 3 {\mkern 1mu} dt\):
\(\int_2^6 3 {\mkern 1mu} dt = \left. {3t} \right|_2^6 = 3(6 - 2) = 12\)
Vậy tổng quãng đường là:
\(S = 3 + 12 = 15{\mkern 1mu} {\rm{m}}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(f(x) = 2x\). Tính và so sánh \(\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx\) và \(2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx\).
Phương pháp giải:
- Tính từng tích phân riêng biệt: \(\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx\) và \(2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx\)
- So sánh kết quả của hai tích phân.
Lời giải chi tiết:
Tính tích phân thứ nhất:
\(\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx = \int\limits_1^2 2 (2x){\mkern 1mu} dx = \int\limits_1^2 4 x{\mkern 1mu} dx = \left[ {2{x^2}} \right]_1^2 = 2({2^2}) - 2({1^2}) = 8 - 2 = 6\)
Tính tích phân thứ hai:
\(2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx = 2\int\limits_1^2 2 x{\mkern 1mu} dx = 2 \times \left[ {{x^2}} \right]_1^2 = 2 \times ({2^2} - {1^2}) = 2 \times (4 - 1) = 2 \times 3 = 6\)
So sánh:
\(\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx = 6\) và \(2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx = 6\)
Vậy, hai tích phân này bằng nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(\int\limits_1^4 {3\sqrt x } dx = 14\). Tính \(\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng tính chất của tích phân xác định để đơn giản hóa biểu thức. Chúng ta biết rằng:
\(\int\limits_1^4 3 \sqrt x {\mkern 1mu} dx = 3\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\)
- Sử dụng giá trị đã cho \(\int\limits_1^4 {3\sqrt x } dx = 14\) để thiết lập phương trình và giải để tìm giá trị của \(\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\).
Lời giải chi tiết:
Từ tính chất của tích phân xác định, ta có:
\(\int\limits_1^4 3 \sqrt x {\mkern 1mu} dx = 3\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\)
Theo đề bài, ta biết rằng:
\(3\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx = 14\)
Chia cả hai vế của phương trình cho 3:
\(\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx = \frac{{14}}{3}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(f(x) = 2x\), \(g(x) = 5\). Tính và so sánh:
a) \(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx\) và \(\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx + \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx\).
b) \(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx\) và
\(\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx - \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx\).
Phương pháp giải:
- Tính từng tích phân riêng biệt bằng cách tìm nguyên hàm của \(f(x)\) và \(g(x)\) trên đoạn \([1;2]\).
- Áp dụng tính chất của tích phân để so sánh kết quả của các biểu thức.
Lời giải chi tiết:
a) Tính tích phân:
\(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 {\left[ {2x + 5} \right]} dx\)
Nguyên hàm của \(2x + 5\) là \({x^2} + 5x + C\):
\(\int\limits_1^2 {\left[ {2x + 5} \right]} dx = \left[ {{x^2} + 5x} \right]_1^2 = \left[ {4 + 10} \right] - \left[ {1 + 5} \right] = 14 - 6 = 8\)
Tính tích phân từng hàm riêng:
\(\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx = \int\limits_1^2 2 x{\mkern 1mu} dx = \left[ {{x^2}} \right]_1^2 = 4 - 1 = 3\)
\(\int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx = \int\limits_1^2 5 {\mkern 1mu} dx = \left[ {5x} \right]_1^2 = 10 - 5 = 5\)
So sánh:
\(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = 8\)
\(\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx + \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx = 3 + 5 = 8\)
Vậy \(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx + \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx\).
b) Tương tự, tính tích phân trong phần b):
\(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 {\left[ {2x - 5} \right]} dx = \left[ {{x^2} - 5x} \right]_1^2 = \left[ {4 - 10} \right] - \left[ {1 - 5} \right] = - 6 + 4 = - 2\)
So sánh:
\(\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx - \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx = 3 - 5 = - 2\)
Vậy \(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx - \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính
a) \(\int\limits_1^2 {\left( {4{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} \);
b) \(\int\limits_0^1 {(5 - 2{e^x})dx} \).
Phương pháp giải:
- Sử dụng các công thức tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản:
\(\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C,{\rm{ }}n \ne - 1\)
\(\int {\frac{1}{{{x^n}}}} dx = \frac{{{x^{ - n + 1}}}}{{ - n + 1}} + C,n \ne 1\)
\(\int {{e^x}} dx = {e^x} + C\)
\(\int a dx = ax + C\)
- Áp dụng tính chất số 2 của tích phân để tính.
Lời giải chi tiết:
a)
Tìm nguyên hàm của \(4{x^3}\) và \( - \frac{1}{{{x^2}}}\):
\(\int 4 {x^3}dx = 4 \cdot \frac{{{x^4}}}{4} = {x^4}\)
\(\int - \frac{1}{{{x^2}}}dx = - \int {{x^{ - 2}}} dx = - \frac{{{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} = \frac{1}{x}\)
Vậy nguyên hàm của hàm số \(4{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}\) là:
\(F(x) = {x^4} + \frac{1}{x}\)
\(\int_1^2 {\left( {4{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx = \left[ {{x^4} + \frac{1}{x}} \right]_1^2 = \left( {{2^4} + \frac{1}{2}} \right) - \left( {{1^4} + \frac{1}{1}} \right)\)
\({2^4} = 16,\quad \frac{1}{2} = 0.5,\quad {1^4} = 1,\quad \frac{1}{1} = 1\)
\(\int_1^2 {\left( {4{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx = (16 + 0.5) - (1 + 1) = 16.5 - 2 = 14.5\)
b)
Tính nguyên hàm của 5 và \( - 2{e^x}\):
\(\int 5 dx = 5x\)
\(\int - 2{e^x}dx = - 2{e^x}\)
Vậy nguyên hàm của hàm số \(5 - 2{e^x}\) là:
\(F(x) = 5x - 2{e^x}\)
Tính giá trị của tích phân tại cận từ 0 đến 1:
\(\int_0^1 {\left( {5 - 2{e^x}} \right)} dx = \left[ {5x - 2{e^x}} \right]_0^1 = \left( {5 \cdot 1 - 2{e^1}} \right) - \left( {5 \cdot 0 - 2{e^0}} \right)\)
\(5 \cdot 1 = 5,\quad {e^1} = e,\quad 5 \cdot 0 = 0,\quad {e^0} = 1\)
\(\int_0^1 {\left( {5 - 2{e^x}} \right)} dx = (5 - 2e) - (0 - 2) = 5 - 2e + 2 = 7 - 2e\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 16 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(f(x) = 2x\). Tính và so sánh \(\int\limits_1^2 {f(x)dx} + \int\limits_2^3 {f(x)} dx\) và \(\int\limits_1^3 {f(x)} dx\).
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức tính tích phân của hàm số cơ bản để tính các tích phân riêng lẻ, sau đó cộng lại và so sánh với tích phân từ cận nhỏ nhất đến cận lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
Tính nguyên hàm của $f(x) = 2x$:
\(F(x) = \int 2 xdx = {x^2}\)
Tính các tích phân:
\(\int_1^2 2 xdx = \left[ {{x^2}} \right]_1^2 = {2^2} - {1^2} = 4 - 1 = 3\)
\(\int_2^3 2 xdx = \left[ {{x^2}} \right]_3^2 = {\left( 3 \right)^2} - {2^2} = 9 - 4 = 5\)
\(\int_1^3 2 xdx = \left[ {{x^2}} \right]_1^3 = {3^2} - {1^2} = 9 - 1 = 8\)
So sánh:
\(\int_1^2 2 xdx + \int_2^3 2 xdx = 3 + 5 = 8\)
\(\int_1^2 f (x)dx + \int_2^3 f (x)dx = 8\)
\(\int_1^3 f (x)dx = 8\)
Do đó, hai tích phân này bằng nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 17 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([ - 1;5]\) và \[\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx = 12\]. Tính \(\int_{ - 1}^5 f (x)dx\).
b) Cho \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + 2}&{{\rm{khi }}x > - 1}\\{2x + 3}&{{\rm{khi }}x \le - 1}\end{array}} \right.\). Tính \(\int_{ - 2}^1 f (x)dx\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng tính chất của tích phân và giả thiết đã cho, ta tách tích phân \[\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx\] thành hai phần: \(\int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx\) và \( - 3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx\). Sau đó, chúng ta tính từng tích phân riêng lẻ và giải phương trình để tìm \(\int_{ - 1}^5 f (x)dx\).
b) Đối với bài này, ta chia tích phân \(\int_{ - 2}^1 f (x)dx\) thành hai phần dựa trên định nghĩa của hàm \(f(x)\). Tính tích phân riêng trên từng đoạn sau đó cộng kết quả lại.
Lời giải chi tiết:
a) Sử dụng giả thiết\(\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx = 12\):
\(\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx = \int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx + - 3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 12\)
Tính \(\int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx\):
\(\int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx = \left. {{x^2}} \right|_{ - 1}^5 = {5^2} - {( - 1)^2} = 25 - 1 = 24\)
Thay vào phương trình:
\(24 - 3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 12\)
\(3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 12\)
\(\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 4\)
b) Chia tích phân thành hai phần dựa trên định nghĩa của hàm \(f(x)\):
\(\int_{ - 2}^1 f (x)dx = \int_{ - 2}^{ - 1} f (x)dx + \int_{ - 1}^1 f (x)dx\)
Tính \(\int_{ - 2}^{ - 1} {(2x + 3)} dx\):
\(\int_{ - 2}^{ - 1} {(2x + 3)} dx = \left. {({x^2} + 3x)} \right|_{ - 2}^{ - 1} = [{( - 1)^2} + 3( - 1)] - [{( - 2)^2} + 3( - 2)] = - 2 + 2 = 0\)
Tính \(\int_{ - 1}^1 {({x^3} + 2)} dx\):
\(\int_{ - 1}^1 {({x^3} + 2)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \left[ {\frac{1}{4} + 2} \right] - \left[ {\frac{1}{4} - 2} \right] = 4\)
Vậy \(\int_{ - 2}^1 f (x)dx = 0 + 4 = 4\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 18 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Hình 4.7 là đồ thị vận tốc \(v(t)\) của một vật (t = 0 là thời điểm vật bắt đầu chuyển động).
a) Viết công thức của hàm số \(v(t)\) với \(t \in [0;6]\).
b) Tính quãng đường vật di chuyển được trong 6 giây đầu tiên.
Phương pháp giải:
a) Dựa trên đồ thị, ta xác định công thức của hàm số \(v(t)\) theo từng đoạn thời gian khác nhau.
b) Để tính quãng đường di chuyển, ta tính diện tích dưới đường cong của đồ thị vận tốc trong khoảng thời gian đã cho.
Lời giải chi tiết:
a) Hàm số \(v(t)\) được chia thành hai đoạn dựa trên đồ thị:
\(v(t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{3}{2}t}&{{\rm{khi }}0 \le t \le 2}\\3&{{\rm{khi }}2 < t \le 6}\end{array}} \right.\)
b) Quãng đường vật di chuyển được trong 6 giây đầu tiên là diện tích dưới đồ thị của hàm \(v(t)\) từ 0 đến 6:
\(S = \int_0^2 {\frac{3}{2}} t{\mkern 1mu} dt + \int_2^6 3 {\mkern 1mu} dt\)
Tính \(\int_0^2 {\frac{3}{2}} t{\mkern 1mu} dt\):
\(\int_0^2 {\frac{3}{2}} t{\mkern 1mu} dt = \left. {\frac{3}{4}{t^2}} \right|_0^2 = \frac{3}{4}({2^2}) = 3\)
Tính \(\int_2^6 3 {\mkern 1mu} dt\):
\(\int_2^6 3 {\mkern 1mu} dt = \left. {3t} \right|_2^6 = 3(6 - 2) = 12\)
Vậy tổng quãng đường là:
\(S = 3 + 12 = 15{\mkern 1mu} {\rm{m}}\).
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình, ví dụ như đạo hàm, tích phân, hoặc các bài toán về hình học không gian. Việc nắm vững kiến thức lý thuyết và phương pháp giải các bài tập trong mục này là rất quan trọng để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Giả sử Mục 2 tập trung vào đạo hàm của các hàm số lượng giác. Các kiến thức trọng tâm bao gồm:
Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(2x).
Lời giải: Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có: y' = cos(2x) * 2 = 2cos(2x).
Bài 2: Tìm đạo hàm của hàm số y = x^2 + cos(x).
Lời giải: y' = 2x - sin(x).
Bài 3: Xác định điểm cực trị của hàm số y = sin(x) - x.
Lời giải: y' = cos(x) - 1. Để tìm điểm cực trị, giải phương trình y' = 0, tức là cos(x) = 1. Điều này xảy ra khi x = 2kπ (k là số nguyên). Kiểm tra dấu của y'' để xác định loại cực trị.
Bài 4: Giải phương trình cos(x) = 1/2.
Lời giải: x = π/3 + k2π hoặc x = -π/3 + k2π (k là số nguyên).
Bài 5: Tính giới hạn lim (sin(x)/x) khi x tiến tới 0.
Lời giải: Sử dụng định lý giới hạn cơ bản, ta có lim (sin(x)/x) = 1 khi x tiến tới 0.
Để giải tốt các bài tập trong Mục 2, bạn nên:
Khi giải các bài tập về đạo hàm lượng giác, cần chú ý đến đơn vị đo góc (radian hoặc độ). Đảm bảo rằng bạn sử dụng đúng đơn vị đo góc trong các công thức và tính toán.
Việc giải mục 2 trang 15, 16, 17, 18 SGK Toán 12 tập 2 đòi hỏi sự nắm vững kiến thức lý thuyết và kỹ năng giải bài tập. Loigiai.com.vn hy vọng rằng với lời giải chi tiết và phương pháp giải hiệu quả mà chúng tôi cung cấp, bạn sẽ tự tin hơn trong việc học tập và đạt kết quả tốt nhất.
| Bài tập | Trang | Lời giải |
|---|---|---|
| Bài 1 | 15 | y' = 2cos(2x) |
| Bài 2 | 16 | y' = 2x - sin(x) |
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
