Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 1 trang 11, 12, 13, 14 SGK Toán 12 tập 2. loigiai.com.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, giúp các em nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt nhất.
Chúng tôi cung cấp lời giải bài tập Toán 12 tập 2 đầy đủ, chính xác, dễ hiểu, giúp các em tự học tại nhà hiệu quả.
Một vật chuyển động thẳng trong 10 giây với vận tốc \(v(t) = 3t + 2\) (m/s). Gọi \(s(t)\) là quãng đường vật đi được đến thời điểm \(t\) giây (0 < t < 10). Xét chuyển động của vật từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây. a) Giải thích ý nghĩa của đại lượng \(L = s(5) - s(3)\). b) Gọi \(F(t)\) là một nguyên hàm bất kì của \(v(t)\). So sánh \(L\) và \(F(5) - F(3)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một vật chuyển động thẳng trong 10 giây với vận tốc \(v(t) = 3t + 2\) (m/s). Gọi \(s(t)\) là quãng đường vật đi được đến thời điểm \(t\) giây (0 < t < 10). Xét chuyển động của vật từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
a) Giải thích ý nghĩa của đại lượng \(L = s(5) - s(3)\).
b) Gọi \(F(t)\) là một nguyên hàm bất kì của \(v(t)\). So sánh \(L\) và \(F(5) - F(3)\).
Phương pháp giải:
a) Đại lượng \(L = s(5) - s(3)\) biểu diễn quãng đường vật đi được từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
b) Ta cần tìm nguyên hàm của hàm vận tốc \(v(t)\) để tìm hàm quãng đường \(s(t)\). So sánh \(L\) với hiệu của giá trị nguyên hàm tại \(t = 5\) và \(t = 3\).
Lời giải chi tiết:
a) \(L = s(5) - s(3)\) là quãng đường mà vật đã đi được từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
b) Ta biết rằng \(s(t)\) là một nguyên hàm của \(v(t) = 3t + 2\). Tính nguyên hàm của \(v(t)\):
\(F(t) = \int {(3t + 2)} {\mkern 1mu} dt = \frac{{3{t^2}}}{2} + 2t + C\)
Do đó:
\(F(5) - F(3) = \left( {\frac{{3{{(5)}^2}}}{2} + 2(5) + C} \right) - \left( {\frac{{3{{(3)}^2}}}{2} + 2(3) + C} \right)\)
\( = \left( {\frac{{75}}{2} + 10} \right) - \left( {\frac{{27}}{2} + 6} \right)\)
\( = \frac{{75 + 20}}{2} - \frac{{27 + 12}}{2} = \frac{{95}}{2} - \frac{{39}}{2} = \frac{{56}}{2} = 28{\rm{ (m)}}\)
Do đó, \(L = F(5) - F(3)\), tức là quãng đường \(s(5) - s(3)\) chính là hiệu của hai giá trị nguyên hàm tại hai thời điểm tương ứng.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 13 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hàm số \(f(x) = 2x\).
a) Tìm các hàm số \(F(x),G(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a;b].\)
b) So sánh \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\).
Phương pháp giải:
a)
- Nguyên hàm của một hàm số \(f(x)\) là một hàm số \(F(x)\) sao cho \(F'(x) = f(x)\).
- Để tìm nguyên hàm của \(f(x)\), ta thực hiện việc tích phân \(f(x)\) theo \(x\).
b)
- Hai nguyên hàm của cùng một hàm số \(f(x)\) chỉ khác nhau một hằng số, nghĩa là nếu \(F(x)\) và \(G(x)\) đều là nguyên hàm của \(f(x)\), thì \(F(x) = G(x) + C\) với \(C\) là một hằng số. Từ đó, tính hiệu \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\) để so sánh.
Lời giải chi tiết:
a) Xét hàm số \(f(x) = 2x\). Nguyên hàm của \(f(x)\) được tính bằng cách tích phân:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx\)
Áp dụng công thức tích phân:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}\)
Trong đó, \({C_1}\) là hằng số tích phân. Tương tự, ta có thể tìm một nguyên hàm khác của \(f(x)\):
\(G(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_2}\)
Trong đó, \({C_2}\) là một hằng số khác. Như vậy, hai nguyên hàm của \(f(x)\) có dạng:
\(F(x) = {x^2} + {C_1}\)
\(G(x) = {x^2} + {C_2}\)
b)
Ta có:
\(F(b) - F(a) = \left( {{x^2} + {C_1}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {C_1}) - ({a^2} + {C_1}) = {b^2} - {a^2}\)
Và:
\(G(b) - G(a) = \left( {{x^2} + {C_2}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {C_2}) - ({a^2} + {C_2}) = {b^2} - {a^2}\)
Từ đây, dễ thấy rằng:
\(F(b) - F(a) = G(b) - G(a) = {b^2} - {a^2}\)
Kết luận: Mặc dù \(F(x)\) và \(G(x)\) là hai hàm khác nhau, nhưng hiệu \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\) luôn bằng nhau, và đều bằng \({b^2} - {a^2}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính
a) \(\int\limits_1^3 {{x^3}dx;} \)
b) \(\int\limits_0^\pi {\cos udu.} \)
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hai hàm số.
- Áp dụng công thức của tích phân xác định:
\(\int\limits_a^b f (x){\mkern 1mu} dx = F(b) - F(a)\)
trong đó, \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\).
Lời giải chi tiết:
a)
Tìm nguyên hàm của \({x^3}\):
\(\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + C\)
Do đó, nguyên hàm của \(f(x) = {x^3}\) là \(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4}\). Áp dụng công thức tính tích phân xác định:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_1^3\)
Thay giá trị \(x = 3\) và \(x = 1\) vào nguyên hàm:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^4}}}{4} - \frac{{{1^4}}}{4} = \frac{{81}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{{80}}{4} = 20\)
Kết quả:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = 20\)
b)
Tìm nguyên hàm của \(\cos u\):
\(\int {\cos } u{\mkern 1mu} du = \sin u + C\)
Do đó, nguyên hàm của \(f(u) = \cos u\) là \(F(u) = \sin u\). Áp dụng công thức tính tích phân xác định:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = \left[ {\sin u} \right]_0^\pi \)
Thay giá trị \(u = \pi \) và \(u = 0\) vào nguyên hàm:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = \sin (\pi ) - \sin (0) = 0 - 0 = 0\)
Kết quả:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = 0\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm \(f(x) = {2^x}\) và \(F(0) = 0\). Tính \(F(1)\).
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\):
- Áp dụng công thức của tích phân xác định để tìm \(F(1)\)
\(\int\limits_a^b f (x){\mkern 1mu} dx = F(b) - F(a)\)
trong đó, \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\).
Lời giải chi tiết:
Tìm nguyên hàm của \(f(x) = {2^x}\):
\(F(x) = \int {{2^x}} {\mkern 1mu} dx\)
Sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ, ta có:
\(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\)
Áp dụng công thức tính tích phân xác định, ta có:
\(\int\limits_0^1 f (x){\mkern 1mu} dx = F(1) - F(0)\)
Suy ra:
\(F(1) = \int\limits_0^1 {f(x)} + F(0) = \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}} - \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} + 0 = \frac{1}{{\ln 2}}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Gọi \((H)\) là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng \(y = 2x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = t\) (1 ≤ t ≤ 4) (Hình 4.3a).
a) Tính diện tích \(S\) của hình \((H)\) khi \(t = 4\) (Hình 4.3b).
b) Tìm hàm số \(S(t)\) biểu thị diện tích của hình \((H)\) với \(t \in [1;4]\).
c) Chứng minh \(S(t)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 2t + 1\) trên đoạn [1; 4] và \(S = S(4) - S(1)\).
Phương pháp giải:
a) Tính diện tích hình thang vuông bằng công thức trung bình cộng 2 cạnh đáy nhân với chiều cao giữa 2 đáy, tuy nhiên chiều cao ở đây chính là cạnh bên vuông góc với cả 2 đáy. Trong trường hợp này thì độ dài chiều cao sẽ là khoảng cách từ \({x_1}\) đến \({x_2}\) và độ dài hai cạnh đáy sẽ là giá trị của \(y\) tại hai điểm \({x_1}\) và \({x_2}\).
b) Xét diện tích hình thang tổng quát khi \(t\) thay đổi, tìm hàm số diện tích \(S(t)\).
c) Chứng minh bằng cách lấy đạo hàm của hàm số \(S(t)\) và so sánh với \(f(t)\).
Lời giải chi tiết:
a) Khi \(t = 4\), diện tích của hình thang vuông \((H)\) là:
\(S = \frac{1}{2} \times ({y_1} + {y_2}) \times ({x_2} - {x_1})\)
Trong đó: \({y_1} = 2(1) + 1 = 3\) \({y_2} = 2(4) + 1 = 9\) \({x_1} = 1\), \({x_2} = 4\).
Do đó:
\(S = \frac{1}{2} \times (3 + 9) \times (4 - 1) = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18\) (đơn vị diện tích)
b) Diện tích hình thang tổng quát khi \(t\) thay đổi từ 1 đến 4:
\(S(t) = \frac{1}{2} \times ({y_1} + y(t)) \times (t - 1)\)
Trong đó: \({y_1} = 3\) \(y(t) = 2t + 1\) \({x_1} = 1\), \({x_2} = t\) Do đó:
\(S(t) = \frac{1}{2} \times (3 + 2t + 1) \times (t - 1) = \frac{1}{2}S(t) = \frac{1}{2} \times (2t + 4) \times (t - 1)\)
\(S(t) = (t + 2) \times (t - 1) = {t^2} - t + 2t - 2 = {t^2} + t - 2\)
c) Chứng minh \(S(t)\) là nguyên hàm của hàm \(f(t) = 2t + 1\):
\(S(t) = {t^2} + t - 2\)
Lấy đạo hàm của \(S(t)\):
\(S'(t) = 2t + 1 = f(t)\)
Do đó, \(S(t)\) là nguyên hàm của \(f(t) = 2t + 1\). Cuối cùng, diện tích \(S = S(4) - S(1)\) được tính như sau:
\(S(4) = {4^2} + 4 - 2 = 16 + 4 - 2 = 18\)
\(S(1) = {1^2} + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0\)
\(S = 18 - 0 = 18\) (đơn vị diện tích).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành và các đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\). (Hình 4.6).
Phương pháp giải:
- Thiết lập tích phân để tính diện tích hình thang cong:
\(S = \int_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\)
- Tính tích phân xác định từ 1 đến 4 của hàm \(\sqrt x \).
Lời giải chi tiết:
Thiết lập tích phân:
\(S = \int_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx = \int_1^4 {{x^{1/2}}} {\mkern 1mu} dx\)
Tính tích phân:
\(\int {{x^{1/2}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{3/2}}}}{{3/2}} + C = \frac{2}{3}{x^{3/2}} + C\)
Do đó, diện tích cần tìm là:
\(S = \left[ {\frac{2}{3}{x^{3/2}}} \right]_1^4 = \frac{2}{3}\left[ {{4^{3/2}} - {1^{3/2}}} \right]\)
Tính giá trị cụ thể:
\({4^{3/2}} = {({2^2})^{3/2}} = {2^3} = 8\)
\(S = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{2}{3} \times 7 = \frac{{14}}{3}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một vật chuyển động thẳng trong 10 giây với vận tốc \(v(t) = 3t + 2\) (m/s). Gọi \(s(t)\) là quãng đường vật đi được đến thời điểm \(t\) giây (0 < t < 10). Xét chuyển động của vật từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
a) Giải thích ý nghĩa của đại lượng \(L = s(5) - s(3)\).
b) Gọi \(F(t)\) là một nguyên hàm bất kì của \(v(t)\). So sánh \(L\) và \(F(5) - F(3)\).
Phương pháp giải:
a) Đại lượng \(L = s(5) - s(3)\) biểu diễn quãng đường vật đi được từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
b) Ta cần tìm nguyên hàm của hàm vận tốc \(v(t)\) để tìm hàm quãng đường \(s(t)\). So sánh \(L\) với hiệu của giá trị nguyên hàm tại \(t = 5\) và \(t = 3\).
Lời giải chi tiết:
a) \(L = s(5) - s(3)\) là quãng đường mà vật đã đi được từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
b) Ta biết rằng \(s(t)\) là một nguyên hàm của \(v(t) = 3t + 2\). Tính nguyên hàm của \(v(t)\):
\(F(t) = \int {(3t + 2)} {\mkern 1mu} dt = \frac{{3{t^2}}}{2} + 2t + C\)
Do đó:
\(F(5) - F(3) = \left( {\frac{{3{{(5)}^2}}}{2} + 2(5) + C} \right) - \left( {\frac{{3{{(3)}^2}}}{2} + 2(3) + C} \right)\)
\( = \left( {\frac{{75}}{2} + 10} \right) - \left( {\frac{{27}}{2} + 6} \right)\)
\( = \frac{{75 + 20}}{2} - \frac{{27 + 12}}{2} = \frac{{95}}{2} - \frac{{39}}{2} = \frac{{56}}{2} = 28{\rm{ (m)}}\)
Do đó, \(L = F(5) - F(3)\), tức là quãng đường \(s(5) - s(3)\) chính là hiệu của hai giá trị nguyên hàm tại hai thời điểm tương ứng.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Gọi \((H)\) là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng \(y = 2x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = t\) (1 ≤ t ≤ 4) (Hình 4.3a).
a) Tính diện tích \(S\) của hình \((H)\) khi \(t = 4\) (Hình 4.3b).
b) Tìm hàm số \(S(t)\) biểu thị diện tích của hình \((H)\) với \(t \in [1;4]\).
c) Chứng minh \(S(t)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 2t + 1\) trên đoạn [1; 4] và \(S = S(4) - S(1)\).
Phương pháp giải:
a) Tính diện tích hình thang vuông bằng công thức trung bình cộng 2 cạnh đáy nhân với chiều cao giữa 2 đáy, tuy nhiên chiều cao ở đây chính là cạnh bên vuông góc với cả 2 đáy. Trong trường hợp này thì độ dài chiều cao sẽ là khoảng cách từ \({x_1}\) đến \({x_2}\) và độ dài hai cạnh đáy sẽ là giá trị của \(y\) tại hai điểm \({x_1}\) và \({x_2}\).
b) Xét diện tích hình thang tổng quát khi \(t\) thay đổi, tìm hàm số diện tích \(S(t)\).
c) Chứng minh bằng cách lấy đạo hàm của hàm số \(S(t)\) và so sánh với \(f(t)\).
Lời giải chi tiết:
a) Khi \(t = 4\), diện tích của hình thang vuông \((H)\) là:
\(S = \frac{1}{2} \times ({y_1} + {y_2}) \times ({x_2} - {x_1})\)
Trong đó: \({y_1} = 2(1) + 1 = 3\) \({y_2} = 2(4) + 1 = 9\) \({x_1} = 1\), \({x_2} = 4\).
Do đó:
\(S = \frac{1}{2} \times (3 + 9) \times (4 - 1) = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18\) (đơn vị diện tích)
b) Diện tích hình thang tổng quát khi \(t\) thay đổi từ 1 đến 4:
\(S(t) = \frac{1}{2} \times ({y_1} + y(t)) \times (t - 1)\)
Trong đó: \({y_1} = 3\) \(y(t) = 2t + 1\) \({x_1} = 1\), \({x_2} = t\) Do đó:
\(S(t) = \frac{1}{2} \times (3 + 2t + 1) \times (t - 1) = \frac{1}{2}S(t) = \frac{1}{2} \times (2t + 4) \times (t - 1)\)
\(S(t) = (t + 2) \times (t - 1) = {t^2} - t + 2t - 2 = {t^2} + t - 2\)
c) Chứng minh \(S(t)\) là nguyên hàm của hàm \(f(t) = 2t + 1\):
\(S(t) = {t^2} + t - 2\)
Lấy đạo hàm của \(S(t)\):
\(S'(t) = 2t + 1 = f(t)\)
Do đó, \(S(t)\) là nguyên hàm của \(f(t) = 2t + 1\). Cuối cùng, diện tích \(S = S(4) - S(1)\) được tính như sau:
\(S(4) = {4^2} + 4 - 2 = 16 + 4 - 2 = 18\)
\(S(1) = {1^2} + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0\)
\(S = 18 - 0 = 18\) (đơn vị diện tích).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 13 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hàm số \(f(x) = 2x\).
a) Tìm các hàm số \(F(x),G(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a;b].\)
b) So sánh \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\).
Phương pháp giải:
a)
- Nguyên hàm của một hàm số \(f(x)\) là một hàm số \(F(x)\) sao cho \(F'(x) = f(x)\).
- Để tìm nguyên hàm của \(f(x)\), ta thực hiện việc tích phân \(f(x)\) theo \(x\).
b)
- Hai nguyên hàm của cùng một hàm số \(f(x)\) chỉ khác nhau một hằng số, nghĩa là nếu \(F(x)\) và \(G(x)\) đều là nguyên hàm của \(f(x)\), thì \(F(x) = G(x) + C\) với \(C\) là một hằng số. Từ đó, tính hiệu \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\) để so sánh.
Lời giải chi tiết:
a) Xét hàm số \(f(x) = 2x\). Nguyên hàm của \(f(x)\) được tính bằng cách tích phân:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx\)
Áp dụng công thức tích phân:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}\)
Trong đó, \({C_1}\) là hằng số tích phân. Tương tự, ta có thể tìm một nguyên hàm khác của \(f(x)\):
\(G(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_2}\)
Trong đó, \({C_2}\) là một hằng số khác. Như vậy, hai nguyên hàm của \(f(x)\) có dạng:
\(F(x) = {x^2} + {C_1}\)
\(G(x) = {x^2} + {C_2}\)
b)
Ta có:
\(F(b) - F(a) = \left( {{x^2} + {C_1}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {C_1}) - ({a^2} + {C_1}) = {b^2} - {a^2}\)
Và:
\(G(b) - G(a) = \left( {{x^2} + {C_2}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {C_2}) - ({a^2} + {C_2}) = {b^2} - {a^2}\)
Từ đây, dễ thấy rằng:
\(F(b) - F(a) = G(b) - G(a) = {b^2} - {a^2}\)
Kết luận: Mặc dù \(F(x)\) và \(G(x)\) là hai hàm khác nhau, nhưng hiệu \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\) luôn bằng nhau, và đều bằng \({b^2} - {a^2}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính
a) \(\int\limits_1^3 {{x^3}dx;} \)
b) \(\int\limits_0^\pi {\cos udu.} \)
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hai hàm số.
- Áp dụng công thức của tích phân xác định:
\(\int\limits_a^b f (x){\mkern 1mu} dx = F(b) - F(a)\)
trong đó, \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\).
Lời giải chi tiết:
a)
Tìm nguyên hàm của \({x^3}\):
\(\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + C\)
Do đó, nguyên hàm của \(f(x) = {x^3}\) là \(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4}\). Áp dụng công thức tính tích phân xác định:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_1^3\)
Thay giá trị \(x = 3\) và \(x = 1\) vào nguyên hàm:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^4}}}{4} - \frac{{{1^4}}}{4} = \frac{{81}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{{80}}{4} = 20\)
Kết quả:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = 20\)
b)
Tìm nguyên hàm của \(\cos u\):
\(\int {\cos } u{\mkern 1mu} du = \sin u + C\)
Do đó, nguyên hàm của \(f(u) = \cos u\) là \(F(u) = \sin u\). Áp dụng công thức tính tích phân xác định:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = \left[ {\sin u} \right]_0^\pi \)
Thay giá trị \(u = \pi \) và \(u = 0\) vào nguyên hàm:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = \sin (\pi ) - \sin (0) = 0 - 0 = 0\)
Kết quả:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = 0\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm \(f(x) = {2^x}\) và \(F(0) = 0\). Tính \(F(1)\).
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\):
- Áp dụng công thức của tích phân xác định để tìm \(F(1)\)
\(\int\limits_a^b f (x){\mkern 1mu} dx = F(b) - F(a)\)
trong đó, \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\).
Lời giải chi tiết:
Tìm nguyên hàm của \(f(x) = {2^x}\):
\(F(x) = \int {{2^x}} {\mkern 1mu} dx\)
Sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ, ta có:
\(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\)
Áp dụng công thức tính tích phân xác định, ta có:
\(\int\limits_0^1 f (x){\mkern 1mu} dx = F(1) - F(0)\)
Suy ra:
\(F(1) = \int\limits_0^1 {f(x)} + F(0) = \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}} - \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} + 0 = \frac{1}{{\ln 2}}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành và các đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\). (Hình 4.6).
Phương pháp giải:
- Thiết lập tích phân để tính diện tích hình thang cong:
\(S = \int_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\)
- Tính tích phân xác định từ 1 đến 4 của hàm \(\sqrt x \).
Lời giải chi tiết:
Thiết lập tích phân:
\(S = \int_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx = \int_1^4 {{x^{1/2}}} {\mkern 1mu} dx\)
Tính tích phân:
\(\int {{x^{1/2}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{3/2}}}}{{3/2}} + C = \frac{2}{3}{x^{3/2}} + C\)
Do đó, diện tích cần tìm là:
\(S = \left[ {\frac{2}{3}{x^{3/2}}} \right]_1^4 = \frac{2}{3}\left[ {{4^{3/2}} - {1^{3/2}}} \right]\)
Tính giá trị cụ thể:
\({4^{3/2}} = {({2^2})^{3/2}} = {2^3} = 8\)
\(S = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{2}{3} \times 7 = \frac{{14}}{3}\)
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình, ví dụ như đạo hàm, tích phân, hoặc các bài toán về hình học không gian. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và phương pháp giải là yếu tố then chốt để giải quyết các bài tập trong mục này một cách hiệu quả.
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1.
Lời giải:
f'(x) = 3x^2 - 4x + 5
Đề bài: Tìm cực trị của hàm số g(x) = x^4 - 4x^2 + 3.
Lời giải:
g'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2)
Giải phương trình g'(x) = 0, ta được x = 0, x = √2, x = -√2.
Lập bảng biến thiên và kết luận về cực trị của hàm số.
Đề bài: Tính tích phân ∫(x^2 + 1) dx từ 0 đến 1.
Lời giải:
∫(x^2 + 1) dx = (x^3/3) + x + C
∫(x^2 + 1) dx từ 0 đến 1 = (1/3) + 1 - (0/3) - 0 = 4/3
Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x^2 và đường thẳng y = 4.
Lời giải:
Tìm giao điểm của đường cong và đường thẳng: x^2 = 4 => x = 2, x = -2.
Diện tích hình phẳng = ∫(-2 đến 2) (4 - x^2) dx = [4x - x^3/3] từ -2 đến 2 = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16 - 16/3 = 32/3
(Tiếp tục giải chi tiết các bài tập tương tự như trên, áp dụng các kiến thức và phương pháp đã trình bày. Cần giải thích rõ ràng từng bước, sử dụng các ví dụ minh họa để giúp học sinh hiểu rõ hơn.)
Để học tốt môn Toán 12, các em cần:
Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
