Giải Bài Tập 2.7 Trang 65 Sgk Toán 12 Tập 1

Giải bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Giải bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

loigiai.com.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập hiệu quả.

Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính: a) \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} ;\) b) \(\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} ;\) c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {FE} .\)

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính:

a) \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} ;\)

b) \(\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} ;\)

c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {FE} .\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 1

Để tính tích vô hướng giữa hai vectơ, ta có thể áp dụng công thức:

\(\vec u \cdot \vec v = |\vec u| \cdot |\vec v| \cdot \cos \theta \)

Lời giải chi tiết

Giải bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 2

Giả sử hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh \(a\).

a) Tính \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AH} \):

- \(|\overrightarrow {BC} | = a\)

- \(|\overrightarrow {AH} | = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)

- Góc giữa \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AH} \) là \({45^^\circ }\) vì \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \) mà \(\widehat {\left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AH} } \right)} = 45^\circ \)

Do đó:

\(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AH} = |\overrightarrow {BC} | \cdot |\overrightarrow {AH} | \cdot \cos {45^\circ } = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }} = {a^2}\)

b) Tính \(\overrightarrow {AF} \cdot \overrightarrow {EG} \):

- \(|\overrightarrow {AF} | = a\sqrt 2 \)

- \(|\overrightarrow {EG} | = a\sqrt 2 \)

- Góc giữa \(\overrightarrow {AF} \) và \(\overrightarrow {EG} \) là \({60^\circ }\) vì \(\overrightarrow {EG} = \overrightarrow {AC} \) mà tam giác ACF đều.

Do đó:

\(\overrightarrow {AF} \cdot \overrightarrow {EG} = |\overrightarrow {AF} | \cdot |\overrightarrow {EG} | \cdot \cos {60^\circ } = a\sqrt 2 \cdot a\sqrt 2 \cdot \frac{1}{2} = {a^2}\)

c) Tính \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {FE} \):

- \(|\overrightarrow {AC} | = a\sqrt 2 \)

- \(|\overrightarrow {FE} | = a\)

- Góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {FE} \) là \({135^\circ }\) vì góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và vectơ đối của \(\overrightarrow {FE} \) là \(\overrightarrow {EF} \) là \(45^\circ \) mà \(\widehat {\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {EF} } \right)} + \widehat {\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {FE} } \right)} = 180^\circ \)

Do đó:

\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {FE} = |\overrightarrow {AC} | \cdot |\overrightarrow {FE} | \cdot \cos {135^\circ } = a\sqrt 2 \cdot a \cdot \cos {135^\circ }\)

Vì \(\cos {135^\circ } = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\), ta có:

\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {FE} = a\sqrt 2 \cdot a \cdot \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = - {a^2}\)

Tự Tin Bứt Phá Kỳ Thi THPT Quốc Gia Môn Toán! Bạn muốn tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán và vào đại học mơ ước? Đừng bỏ lỡ Giải bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá đặc sắc thuộc chuyên mục bài tập toán 12 trên nền tảng toán học của chúng tôi! Với bộ toán thpt bài tập được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa quá trình ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả. Nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào cánh cửa đại học mơ ước!

Giải bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Phương pháp tiếp cận chi tiết

Bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Cụ thể, bài toán thường liên quan đến việc tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị và vẽ đồ thị hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Xác định tập xác định của hàm số: Tìm các giá trị của x sao cho hàm số có nghĩa.
Tính đạo hàm cấp một (y'): Sử dụng các quy tắc đạo hàm để tính đạo hàm của hàm số.
Tìm điểm tới hạn: Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng không.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Xét dấu đạo hàm trên các khoảng xác định để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Tìm cực trị: Sử dụng đạo hàm cấp hai (y'') hoặc xét dấu đạo hàm cấp một để xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các thông tin đã tìm được, vẽ đồ thị hàm số.

Ví dụ minh họa:

Giả sử hàm số cần khảo sát là y = x³ - 3x² + 2.

Tập xác định: D = R
Đạo hàm cấp một: y' = 3x² - 6x
Điểm tới hạn: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Khoảng đồng biến, nghịch biến:
- y' > 0 khi x < 0 hoặc x > 2 => Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)
- y' < 0 khi 0 < x < 2 => Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)
Cực trị:
- x = 0: y'' = 6x - 6 = -6 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_max = 2
- x = 2: y'' = 6x - 6 = 6 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y_min = -2

Lưu ý quan trọng:

Khi giải bài tập về khảo sát hàm số, cần chú ý đến các điểm gián đoạn, điểm không xác định và các điểm đặc biệt khác của hàm số. Việc vẽ đồ thị hàm số cũng cần được thực hiện cẩn thận, đảm bảo tính chính xác và thể hiện đầy đủ các đặc điểm của hàm số.

Ứng dụng của đạo hàm trong thực tế

Kiến thức về đạo hàm không chỉ quan trọng trong việc giải các bài tập toán học mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác như vật lý, kinh tế, kỹ thuật,... Ví dụ, đạo hàm có thể được sử dụng để tính vận tốc, gia tốc của một vật thể chuyển động, hoặc để tối ưu hóa lợi nhuận của một doanh nghiệp.

Lời khuyên khi học tập

Để nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, các em cần:

Học thuộc các công thức đạo hàm cơ bản.
Luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau.
Hiểu rõ bản chất của các khái niệm toán học.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ học tập như máy tính bỏ túi, phần mềm vẽ đồ thị,...

loigiai.com.vn hy vọng rằng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập hiệu quả này, các em sẽ học tập tốt môn Toán 12 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.

Tổng kết

Bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Việc nắm vững phương pháp giải bài tập này sẽ giúp các em tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán tương tự trong các kỳ thi.