Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 1 trang 24, 25 SGK Toán 12 tập 1. loigiai.com.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, giúp các em nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt nhất.
Bài tập trong mục này tập trung vào các kiến thức cơ bản về giới hạn của hàm số, một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán 12.
Cho hàm số \(y = f(x) = - {x^3} + 3{x^2} - 4\) a) Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là gì? b) Hàm số \(f(x)\) đồng biến, nghịch biến trên các khoảng nào? c) Hàm số \(f(x)\) đạt cực đại và cực tiểu tại những điểm nào? d) Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) có tiệm cận hay không?
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 24 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hàm số \(y = f(x) = - {x^3} + 3{x^2} - 4.\)
a) Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là gì?
b) Hàm số \(f(x)\) đồng biến, nghịch biến trên các khoảng nào?
c) Hàm số \(f(x)\) đạt cực đại và cực tiểu tại những điểm nào?
d) Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) có tiệm cận hay không?
Phương pháp giải:
a) Tập xác định: Đối với một hàm đa thức, tập xác định là toàn bộ các số thực \(R\).
b) Xét tính đơn điệu:
- Tính \({f^\prime }(x)\).
- Tìm các điểm mà tại đó \({f^\prime }(x)\) bằng 0.
- Lập bảng biến thiên.
c) Tìm cực trị: Từ bảng biến thiên, suy ra các điểm cực trị
d) Tiệm cận: Đối với hàm đa thức, không tồn tại tiệm cận ngang, đứng hay xiên.
Lời giải chi tiết:
a) Hàm số \(f(x) = - {x^3} + 3{x^2} - 4\) là một đa thức bậc ba, nên D=R.
b) Xét tính đơn điệu
Tính \({f^\prime }(x):{f^\prime }(x) = - 3{x^2} + 6x\)
Tìm nghiệm khi \({f^\prime }(x) = 0\)
\({f^\prime }(x) = 0 \leftrightarrow - 3{x^2} + 6x = 0\)
\( \leftrightarrow - 3x(x - 2) = 0\)
\( \leftrightarrow x = 0\)hoặc \(x = 2\)
Tính giới hạn
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 + \frac{3}{x} - \frac{4}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty \\\end{array}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 + \frac{3}{x} - \frac{4}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty \)
Bảng biến thiên:
Kết luận:
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((2; + \infty )\).
- Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;2)\).
c) Tìm cực trị
Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể kết luận:
- Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\)
- Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\)
d) Hàm số \(f(x)\) là một đa thức bậc ba, vì vậy nó không có tiệm cận ngang, đứng hay xiên. Đồ thị của hàm số không có tiệm cận.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 24 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hàm số \(y = f(x) = - {x^3} + 3{x^2} - 4.\)
a) Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là gì?
b) Hàm số \(f(x)\) đồng biến, nghịch biến trên các khoảng nào?
c) Hàm số \(f(x)\) đạt cực đại và cực tiểu tại những điểm nào?
d) Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) có tiệm cận hay không?
Phương pháp giải:
a) Tập xác định: Đối với một hàm đa thức, tập xác định là toàn bộ các số thực \(R\).
b) Xét tính đơn điệu:
- Tính \({f^\prime }(x)\).
- Tìm các điểm mà tại đó \({f^\prime }(x)\) bằng 0.
- Lập bảng biến thiên.
c) Tìm cực trị: Từ bảng biến thiên, suy ra các điểm cực trị
d) Tiệm cận: Đối với hàm đa thức, không tồn tại tiệm cận ngang, đứng hay xiên.
Lời giải chi tiết:
a) Hàm số \(f(x) = - {x^3} + 3{x^2} - 4\) là một đa thức bậc ba, nên D=R.
b) Xét tính đơn điệu
Tính \({f^\prime }(x):{f^\prime }(x) = - 3{x^2} + 6x\)
Tìm nghiệm khi \({f^\prime }(x) = 0\)
\({f^\prime }(x) = 0 \leftrightarrow - 3{x^2} + 6x = 0\)
\( \leftrightarrow - 3x(x - 2) = 0\)
\( \leftrightarrow x = 0\)hoặc \(x = 2\)
Tính giới hạn
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 + \frac{3}{x} - \frac{4}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty \\\end{array}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 + \frac{3}{x} - \frac{4}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty \)
Bảng biến thiên:
Kết luận:
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((2; + \infty )\).
- Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;2)\).
c) Tìm cực trị
Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể kết luận:
- Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\)
- Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\)
d) Hàm số \(f(x)\) là một đa thức bậc ba, vì vậy nó không có tiệm cận ngang, đứng hay xiên. Đồ thị của hàm số không có tiệm cận.
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 1 giới thiệu về khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm và giới hạn vô cực. Đây là nền tảng quan trọng để hiểu các khái niệm nâng cao hơn trong chương trình giải tích. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính giới hạn là rất cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan.
Trang 24 và 25 tập trung vào việc vận dụng các định nghĩa và tính chất giới hạn để tính giới hạn của các hàm số đơn giản. Các bài tập thường yêu cầu học sinh:
Để giải các bài tập về giới hạn, học sinh cần nắm vững các phương pháp sau:
Ví dụ 1: Tính lim (x2 - 1) / (x - 1) khi x -> 1.
Lời giải: Ta có thể phân tích thành nhân tử:
(x2 - 1) / (x - 1) = (x - 1)(x + 1) / (x - 1) = x + 1 (với x ≠ 1)
Vậy, lim (x2 - 1) / (x - 1) khi x -> 1 = lim (x + 1) khi x -> 1 = 1 + 1 = 2.
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, các em có thể tự giải các bài tập sau:
Việc nắm vững kiến thức về giới hạn của hàm số là rất quan trọng trong chương trình Toán 12. loigiai.com.vn hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải bài tập được trình bày ở trên, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán về giới hạn và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
