Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 4.15 trang 20 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
loigiai.com.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập hiệu quả.
Đường gấp khúc ABD trong Hình 4.8 là đồ thị vận tốc \(v(t)\) của một vật (t = 0 là thời điểm vật bắt đầu chuyển động). Trong khoảng thời gian mà \(v < 0\)thì vật chuyển động ngược chiều với khoảng thời gian mà \(v > 0\). a) Viết công thức của hàm số \(v(t)\) với \(t \in [0;9]\). b) Biết rằng quãng đường vật đi chuyển với vận tốc \(v = v(t)\) từ thời điểm \(t = a\) đến thời điểm \(t = b\) là \(s = \int_a^b | v(t)|{\mkern 1mu} dt\), tính quãng đường vật di chuyển được trong 9 giây kể từ khi vật
Đề bài
Đường gấp khúc ABD trong Hình 4.8 là đồ thị vận tốc \(v(t)\) của một vật (t = 0 là thời điểm vật bắt đầu chuyển động). Trong khoảng thời gian mà \(v < 0\)thì vật chuyển động ngược chiều với khoảng thời gian mà \(v > 0\).
a) Viết công thức của hàm số \(v(t)\) với \(t \in [0;9]\).
b) Biết rằng quãng đường vật đi chuyển với vận tốc \(v = v(t)\) từ thời điểm \(t = a\) đến thời điểm \(t = b\) là \(s = \int_a^b | v(t)|{\mkern 1mu} dt\), tính quãng đường vật di chuyển được trong 9 giây kể từ khi vật bắt đầu chuyển động.
c) Tính tổng diện tích của hình thang \(OABC\) và tam giác \(CDE\) rồi so sánh với kết quả ở câu b.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a)
- Xác định các đoạn của đồ thị: Đồ thị gồm các đoạn AB, BC, và CD.
b)
- Sử dụng công thức tính quãng đường từ \(t = 0\) đến \(t = 9\) bằng tích phân của \(|v(t)|\).
- Tính từng phần diện tích tương ứng với các đoạn AB, BC, CD trên đồ thị.
c)
- Diện tích hình thang \(OABC\) được tính theo công thức diện tích hình thang.
- Diện tích tam giác \(CDE\) được tính theo công thức diện tích tam giác.
Lời giải chi tiết
a)
- Đoạn \(AB\): Ở đây, đồ thị có giá trị vận tốc không đổi là 4 m/s từ \(t = 0\) đến \(t = 6\), tức là:
\(v(t) = 4\quad {\rm{,}}\quad t \in [0;6].\)
- Đoạn \(BC\) và \(CD\): Đoạn này là một đường thẳng dốc xuống từ \(t = 6\) đến \(t = 8\), vận tốc giảm từ 4 m/s xuống -2 m/s. Phương trình đường thẳng có dạng:
\(v(t) = - 2t + 16\,\,\,\,\,\,{\rm{,}}\quad t \in [6;9].\)
Vậy, công thức của hàm vận tốc \(v(t)\) theo từng khoảng là:
\(v(t) = \mathop \{ \nolimits_{ - 2t + 16\,\,\,\,\,\,khi\,\,6 < t \le 9}^{4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,0 \le t \le 6} \)
b)
- Quãng đường được tính là tích phân của \(|v(t)|\). Cần tính tích phân của các đoạn như sau:
Đoạn AB:
\(\int_0^6 | v(t)|dt = \int_0^6 4 {\mkern 1mu} dt = 4 \times 6 = 24{\mkern 1mu} {\rm{m}}.\)
Đoạn BC và CD:
\(\int_6^9 | v(t)|dt = \int_6^9 {\left| { - 2t + 16} \right|} dt = \int_6^8 {\left( { - 2t + 16} \right)dt + } \int_8^9 {\left( {2t - 16} \right)dt} \)
\(\int_6^9 | v(t)|dt = \left. {( - {t^2} + 16t)} \right|_6^8 + \left. {({t^2} - 16t)} \right|_8^9 = 4 + 1 = 5m\)
Tổng quãng đường vật di chuyển là:
\(24 + 5 = 29{\mkern 1mu} {\rm{m}}.\)
c)
Diện tích hình thang \(OABC\):
Công thức diện tích hình thang:
\({S_{{\rm{ht}}}} = \frac{1}{2} \times (AB + OC) \times OA = \frac{1}{2} \times (6 + 8) \times 4 = 28{\mkern 1mu} .\)
Diện tích tam giác \(CDE\):
Công thức diện tích tam giác:
\({S_{{\rm{tg}}}} = \frac{1}{2} \times CE \times ED = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1{\mkern 1mu} \)
Tổng diện tích là:
\({S_{{\rm{tong}}}} = 28 + 1 = 29\)
Vậy kết quả ở câu c và câu b là giống nhau.
Bài tập 4.15 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm cực trị của hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Để minh họa phương pháp trên, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích bài tập 4.15 trang 20 SGK Toán 12 tập 2. Giả sử hàm số được cho là:
f(x) = x3 - 3x2 + 2
Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là R (tập hợp tất cả các số thực).
f'(x) = 3x2 - 6x
Để tìm các điểm dừng, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2 là các điểm dừng của hàm số.
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể kết luận:
Việc giải bài tập 4.15 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số mà còn rèn luyện kỹ năng giải toán, tư duy logic và khả năng phân tích vấn đề.
Những kiến thức này có ứng dụng rất lớn trong nhiều lĩnh vực khác nhau của cuộc sống, như kinh tế, kỹ thuật, khoa học tự nhiên,...
Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
