Giải Bài Tập 5.12 Trang 52 Sgk Toán 12 Tập 2

Giải bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Giải bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

loigiai.com.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập hiệu quả.

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EFD với các đỉnh \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(C(5; - 1;0)\), \(D(1;2;1)\). a) Viết phương trình các mặt phẳng \((BCDF),(ABFE),(DEF)\). b) Tính khoảng cách từ \(A\) đến các mặt phẳng \((BCDF)\) và \((DEF)\).

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EFD với các đỉnh \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(C(5; - 1;0)\), \(D(1;2;1)\).

a) Viết phương trình các mặt phẳng \((BCDF),(ABFE),(DEF)\).

b) Tính khoảng cách từ \(A\) đến các mặt phẳng \((BCDF)\) và \((DEF)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

a) Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C thì ta có thể làm như sau:

- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa trên tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

- Thay một trong ba điểm A, B, C để tìm phương trình mặt phẳng.

b) Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Lời giải chi tiết

Phương trình mặt phẳng \((BCDF)\):

- Xét các điểm \(B( - 3; - 1; - 4),C(5; - 1;0),D(1;2;1)\).

- Tính các vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {BC} = (8,0,4),\quad \overrightarrow {BD} = (4,3,5)\)

- Tính tích có hướng:

\(\vec n = \overrightarrow {BC} \times \overrightarrow {BD} = ( - 1, - 2,2)\)

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

\(x + 2y - 2z - 3 = 0\)

Phương trình mặt phẳng \((ABFE)\):

- Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên

\(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {FD} \to \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OF} \to \overrightarrow {OF} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {BC} = (1 - 8;2 - 0;1 - 4) = ( - 7;2; - 3)\)

- Xét các điểm \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(F( - 7;2; - 3)\).

- Tính các vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {AB} = ( - 5;0; - 10),\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AF} = ( - 9;3; - 9)\)

- Tính tích có hướng:

\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AF} = (30;45; - 15)\)

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

\(30x + 45y - 15z + 75 = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - z + 5 = 0\)

Phương trình mặt phẳng \((DEF)\):

- Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EF} \to \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OF} - \overrightarrow {OE} \to \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OF} - \overrightarrow {AB} = ( - 7 - ( - 5);2 - 0; - 3 - ( - 10)) = ( - 2;2;7)\)

- Xét các điểm \(D(1;2;1)\),

\(E( - 2;2;7)\), \(F( - 7;2; - 3)\).

- Tính các vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {DE} = ( - 3;0;6),\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {DF} = ( - 8;0; - 4)\)

- Tính tích có hướng:

\(\vec n = \overrightarrow {DE} \times \overrightarrow {DF} = (0; - 60;0)\)

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

\( - 60y + 120 = 0 \Leftrightarrow - y + 2 = 0\)

Khoảng cách từ \(A(2; - 1;6)\) đến mặt phẳng \((BCDF)\) là:

\(d = \frac{{|1 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1) - 2 \cdot 6 - 3|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{15}}{3} = 5\)

Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((BCDF)\) là \(d = 5\).

Khoảng cách từ \(A(2; - 1;6)\) đến mặt phẳng \((DEF)\) là:

\(d = \frac{{| - 1.( - 1) + 2|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2}} }} = \frac{3}{1} = 3\)

Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((DEF)\) là \(d = 3\).

Tự Tin Bứt Phá Kỳ Thi THPT Quốc Gia Môn Toán! Bạn muốn tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán và vào đại học mơ ước? Đừng bỏ lỡ Giải bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá đặc sắc thuộc chuyên mục bài toán lớp 12 trên nền tảng toán math của chúng tôi! Với bộ lý thuyết toán thpt bài tập được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa quá trình ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả. Nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào cánh cửa đại học mơ ước!

Giải bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2: Đề bài

Bài tập 5.12 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị, khoảng đơn điệu, giới hạn vô cùng và vẽ đồ thị hàm số. Cụ thể, đề bài thường cho một hàm số bậc ba hoặc bậc bốn và yêu cầu phân tích các đặc điểm của hàm số đó.

Phương pháp giải bài tập khảo sát hàm số

Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Xác định tập xác định của hàm số: Tìm các giá trị của x mà hàm số có nghĩa.
Tính đạo hàm cấp một (y'): Đạo hàm cấp một giúp chúng ta xác định các điểm cực trị và khoảng đơn điệu của hàm số.
Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm cực trị. Sau đó, xét dấu đạo hàm cấp một để xác định loại cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
Tính đạo hàm cấp hai (y''): Đạo hàm cấp hai giúp chúng ta xác định tính lồi lõm của đồ thị hàm số.
Tìm điểm uốn: Giải phương trình y'' = 0 để tìm các điểm uốn.
Xác định giới hạn vô cùng: Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng và trừ vô cùng.
Lập bảng biến thiên: Tổng hợp các thông tin đã tìm được vào bảng biến thiên để có cái nhìn tổng quan về hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào bảng biến thiên và các thông tin khác để vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 (Ví dụ)

Giả sử hàm số được cho là: y = x³ - 3x² + 2

Tập xác định: D = R
Đạo hàm cấp một: y' = 3x² - 6x
Tìm điểm cực trị: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Xét dấu y':
- x < 0: y' > 0 (hàm số đồng biến)
- 0 < x < 2: y' < 0 (hàm số nghịch biến)
- x > 2: y' > 0 (hàm số đồng biến)
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_cđ = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, y_ct = -2
Đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6
Tìm điểm uốn: 6x - 6 = 0 => x = 1
Giới hạn vô cùng: lim_x→+∞ y = +∞ và lim_x→-∞ y = -∞
Bảng biến thiên: (Bảng biến thiên sẽ được trình bày chi tiết với các giá trị x, y', y'', và giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và điểm uốn)
Đồ thị hàm số: (Mô tả cách vẽ đồ thị dựa trên bảng biến thiên và các thông tin đã tìm được)

Lưu ý khi giải bài tập khảo sát hàm số

Luôn kiểm tra lại các phép tính đạo hàm để tránh sai sót.
Sử dụng bảng biến thiên để có cái nhìn tổng quan về hàm số và dễ dàng vẽ đồ thị.
Chú ý đến các điểm không xác định của hàm số và các điểm gián đoạn.
Thực hành nhiều bài tập khác nhau để nắm vững phương pháp giải.

Ứng dụng của việc khảo sát hàm số

Việc khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Điều này rất quan trọng trong các bài toán tối ưu hóa.
Nghiên cứu sự biến thiên của hàm số: Giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số trong các khoảng khác nhau.
Vẽ đồ thị hàm số: Đồ thị hàm số là công cụ trực quan giúp chúng ta hình dung được các đặc điểm của hàm số.

Kết luận

Bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải hiệu quả mà loigiai.com.vn cung cấp, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập tương tự.