Chào mừng bạn đến với loigiai.com.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Chúng tôi hiểu rằng việc giải các bài tập trong SGK Toán 12 tập 1 có thể gặp nhiều khó khăn, đặc biệt là với những em học sinh mới làm quen với chương trình.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, tự tin giải quyết các bài toán và đạt kết quả cao trong môn Toán.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây: a) (y = frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}) b) ({rm{y}} = frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}})
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 30 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:
a) \(y = \frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}\)
b) \({\rm{y}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}\)
Phương pháp giải:
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Xét sự biến thiên của hàm số.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
a)
- Tập xác định: D = R \ {-1}.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{ - {{(x + 1)}^2} - 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left[ { - (x + 1) - \frac{1}{{x + 1}}} \right] = - \infty .\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {\frac{{ - {{(x + 1)}^2} - 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left[ { - (x + 1) - \frac{1}{{x + 1}}} \right] = \infty .\)
Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } [ - (x + 1)] - 0 = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [ - (x + 1)] - 0 = \infty \).
Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang
\(\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}} = - x - 1 + \frac{{ - 1}}{{x + 1}}\) (Sử dụng phép chia đa thức)
Khi \(x \to \pm \infty ,\frac{{ - 1}}{{x + 1}} \to 0\) nên \(y = - x - 1\) là tiệm cận xiên của hàm số.
Ta có: \({y^\prime } = \frac{{ - (2x + 2)(x + 1) + \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\).
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow - {x^2} - 2x \leftrightarrow - x(x + 2) = 0 \leftrightarrow x = 0,{\rm{ }}x = - 2\).
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞,-2) và (-1,0), đồng biến trên khoảng (-2,-1) và (-1,0).
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 2,{y_{CT}} = 2\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0,{y_{CD}} = - 2\).
- Vẽ đồ thị:
Tiệm cận đứng \({\rm{x}} = - 1\), tiệm cận xiên \(y = - x - 1\).
Giao điểm với trục Oy là \((0, - 2)\).
b)
- Tập xác định: D = R \ {2}.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \).
Suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = - \infty \).
Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang
\(\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = x + \frac{{ - 3}}{{x + 1}}\) .
Khi \(x \to \pm \infty ,\frac{{ - 3}}{{x + 1}} \to 0\) nên \(y = x\) là tiệm cận xiên của hàm số.
Ta có: \({y^\prime } = \frac{{(2x - 2)(x - 2) - \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 7}}{{{{(x - 2)}^2}}} > 0\forall x \in D\).
Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định.
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng (-\(\infty ,2\)) và (2,\(\infty \)).
Cực trị: Hàm số không có cực trị.
- Vẽ đồ thị:
Tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x.
Giao điểm với trục Oy là (0,\(\frac{3}{2}\)).
Giao điểm với trục Ox là (-1,0) và (3,0).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 30 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:
a) \(y = \frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}\)
b) \({\rm{y}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}\)
Phương pháp giải:
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Xét sự biến thiên của hàm số.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
a)
- Tập xác định: D = R \ {-1}.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{ - {{(x + 1)}^2} - 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left[ { - (x + 1) - \frac{1}{{x + 1}}} \right] = - \infty .\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {\frac{{ - {{(x + 1)}^2} - 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left[ { - (x + 1) - \frac{1}{{x + 1}}} \right] = \infty .\)
Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } [ - (x + 1)] - 0 = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [ - (x + 1)] - 0 = \infty \).
Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang
\(\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}} = - x - 1 + \frac{{ - 1}}{{x + 1}}\) (Sử dụng phép chia đa thức)
Khi \(x \to \pm \infty ,\frac{{ - 1}}{{x + 1}} \to 0\) nên \(y = - x - 1\) là tiệm cận xiên của hàm số.
Ta có: \({y^\prime } = \frac{{ - (2x + 2)(x + 1) + \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\).
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow - {x^2} - 2x \leftrightarrow - x(x + 2) = 0 \leftrightarrow x = 0,{\rm{ }}x = - 2\).
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞,-2) và (-1,0), đồng biến trên khoảng (-2,-1) và (-1,0).
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 2,{y_{CT}} = 2\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0,{y_{CD}} = - 2\).
- Vẽ đồ thị:
Tiệm cận đứng \({\rm{x}} = - 1\), tiệm cận xiên \(y = - x - 1\).
Giao điểm với trục Oy là \((0, - 2)\).
b)
- Tập xác định: D = R \ {2}.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \).
Suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = - \infty \).
Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang
\(\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = x + \frac{{ - 3}}{{x + 1}}\) .
Khi \(x \to \pm \infty ,\frac{{ - 3}}{{x + 1}} \to 0\) nên \(y = x\) là tiệm cận xiên của hàm số.
Ta có: \({y^\prime } = \frac{{(2x - 2)(x - 2) - \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 7}}{{{{(x - 2)}^2}}} > 0\forall x \in D\).
Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định.
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng (-\(\infty ,2\)) và (2,\(\infty \)).
Cực trị: Hàm số không có cực trị.
- Vẽ đồ thị:
Tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x.
Giao điểm với trục Oy là (0,\(\frac{3}{2}\)).
Giao điểm với trục Ox là (-1,0) và (3,0).
Mục 4 của SGK Toán 12 tập 1 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình Đại số hoặc Hình học. Để giải quyết các bài tập trong mục này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm, định lý và công thức liên quan. Loigiai.com.vn sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập, kèm theo các giải thích rõ ràng và dễ hiểu.
Tùy thuộc vào chương trình học, Mục 4 trang 30 có thể bao gồm các nội dung sau:
Để giải bài tập Toán 12 một cách hiệu quả, bạn có thể áp dụng các phương pháp sau:
Bài tập: (Giả sử đây là một bài tập cụ thể về hàm số bậc hai) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số y = x2 - 4x + 3.
Lời giải:
Khi giải bài tập Toán 12, bạn cần chú ý đến các điểm sau:
(Phần này sẽ chứa lời giải chi tiết cho từng bài tập còn lại trong Mục 4 trang 30. Mỗi bài tập sẽ được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các giải thích chi tiết và các ví dụ minh họa.)
Để học Toán 12 hiệu quả hơn, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Loigiai.com.vn hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn hữu ích, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài tập trong Mục 4 trang 30 SGK Toán 12 tập 1 và đạt kết quả cao trong môn Toán. Chúc bạn học tập tốt!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
