Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 5.21 trang 64 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học môn Toán lớp 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả. Các em có thể tham khảo lời giải dưới đây để hiểu rõ hơn về phương pháp giải và tự luyện tập thêm các bài tập tương tự.
Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí A cao 15 m của tháp 1 này sang vị trí B cao 10 m của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ Oxyz cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của A và B lần lượt là \(A(3;2,5;15)\) và \(B(21;27,5;10)\).
Đề bài
Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí A cao 15 m của tháp 1 này sang vị trí B cao 10 m của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ Oxyz cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của A và B lần lượt là \(A(3;2,5;15)\) và \(B(21;27,5;10)\).
a) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline này.
b) Xác định tọa độ của du khách khi ở độ cao 12 mét.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình đường thẳng trong không gian:
Đường thẳng đi qua hai điểm \(A({x_1},{y_1},{z_1})\) và \(B({x_2},{y_2},{z_2})\) có vectơ chỉ phương là:
\(\overrightarrow {AB} = ({x_2} - {x_1},{y_2} - {y_1},{z_2} - {z_1})\)
Phương trình tham số của đường thẳng sẽ có dạng:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_1} + t({x_2} - {x_1})}\\{y = {y_1} + t({y_2} - {y_1})}\\{z = {z_1} + t({z_2} - {z_1})}\end{array}} \right.\)
trong đó \(t\) là tham số.
Xác định tọa độ của một điểm trên đường thẳng khi biết chiều cao \(z\):
Dùng phương trình tham số của đường thẳng để thay giá trị \(z = 12\), từ đó tính \(t\). Sử dụng giá trị \(t\) để tìm tọa độ \(x\) và \(y\).
Lời giải chi tiết
a) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline.
Tọa độ điểm A là \(A(3;2,5;15)\) và tọa độ điểm B là \(B(21;27,5;10)\).
Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:
\(\overrightarrow {AB} = (21 - 3,27,5 - 2,5,10 - 15) = (18,25, - 5)\)
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \):
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 18t}\\{y = 2,5 + 25t}\\{z = 15 - 5t}\end{array}} \right.\)
Đây là phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline.
b) Xác định tọa độ của du khách khi ở độ cao 12 mét. Biết \(z = 12\), thay vào phương trình tham số của z:
\(12 = 15 - 5t\)
Giải phương trình:
\(5t = 15 - 12 = 3\quad \Rightarrow \quad t = \frac{3}{5}\)
Thay \(t = \frac{3}{5}\) vào các phương trình tham số của x và y:
\(x = 3 + 18 \times \frac{3}{5} = 3 + 10,8 = 13,8\)
\(y = 2,5 + 25 \times \frac{3}{5} = 2,5 + 15 = 17,5\)
Vậy tọa độ của du khách khi ở độ cao 12 mét là \((13,8;17,5;12)\).
Bài tập 5.21 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để tìm cực trị và khảo sát hàm số. Đây là một dạng bài tập quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Để minh họa các bước trên, chúng ta sẽ cùng nhau giải bài tập 5.21 trang 64 SGK Toán 12 tập 2. (Giả sử bài tập là hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2)
Hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2 có tập xác định là D = R (tập hợp tất cả các số thực).
y' = 3x^2 - 6x
Giải phương trình y' = 0:
3x^2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | NB | ĐB | NB |
(NB: Đồng biến, ĐB: Nghịch biến)
Tại x = 0, y' đổi dấu từ dương sang âm, hàm số đạt cực đại. Giá trị cực đại là y(0) = 2.
Tại x = 2, y' đổi dấu từ âm sang dương, hàm số đạt cực tiểu. Giá trị cực tiểu là y(2) = -2.
y'' = 6x - 6
Giải phương trình y'' = 0:
6x - 6 = 0
x = 1
Dựa vào các thông tin đã thu thập, ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2. Đồ thị hàm số có cực đại tại điểm (0, 2) và cực tiểu tại điểm (2, -2). Điểm uốn tại (1, 0).
Bài tập 5.21 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập điển hình về khảo sát hàm số bằng đạo hàm. Việc nắm vững các bước giải và áp dụng linh hoạt các quy tắc đạo hàm sẽ giúp các em giải quyết các bài tập tương tự một cách dễ dàng và hiệu quả. loigiai.com.vn hy vọng rằng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về bài tập và củng cố kiến thức về đạo hàm.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
