Chào mừng bạn đến với loigiai.com.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Mục 3 trang 47, 48, 49 SGK Toán 12 tập 2 là một phần quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự học đôi khi gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của loigiai.com.vn đã biên soạn bộ lời giải đầy đủ, chi tiết, giúp bạn hiểu rõ bản chất của từng bài tập và tự tin làm bài.
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right):2x - 3y + z + 3 = 0\), \(\left( {{\alpha _2}} \right):4x - 6y + 2z + 5 = 0\)và điểm \(M( - 2;0;1)\). a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. Có nhận xét gì về phương của các vectơ này? b) Mặt phẳng nào đi qua điểm M? c) Hai mặt phẳng này song song với nhau không? Vì sao?
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 48 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) với các điểm \(A'(3;2; - 5)\), \(A(3;1; - 1)\), \(B(2; - 1;4)\), và \(C(0;2;1)\).
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng \(\alpha \): \(9x + 13y + 7z = 0\)
b) Viết phương trình mặt phẳng (A'B'C').
Phương pháp giải:
a)
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
- Sử dụng tính chất: Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi các vector pháp tuyến của chúng cùng phương, nghĩa là tỉ số các hệ số của hai phương trình mặt phẳng phải tương ứng với nhau.
b)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC vì hai mặt phẳng này song song.
- Sau đó viết phương trình mặt phẳng dựa vào vectơ pháp tuyến này và tọa độ của một điểm trên mặt phẳng, ví dụ A′.
Lời giải chi tiết:
a)
Tọa độ các điểm \(A(3;1; - 1)\), \(B(2; - 1;4)\), \(C(0;2;1)\).
Vector \(\overrightarrow {AB} = B - A = (2 - 3, - 1 - 1,4 - ( - 1)) = ( - 1, - 2,5)\).
Vector \(\overrightarrow {AC} = C - A = (0 - 3,2 - 1,1 - ( - 1)) = ( - 3,1,2)\).
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là:
\(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\{ - 1}&{ - 2}&5\\{ - 3}&1&2\end{array}} \right| = {\bf{i}} \cdot (( - 2) \cdot 2 - 5 \cdot 1) - {\bf{j}} \cdot (( - 1) \cdot 2 - 5 \cdot ( - 3)) + {\bf{k}} \cdot (( - 1) \cdot 1 - ( - 2) \cdot ( - 3))\)
\( = {\bf{i}} \cdot ( - 4 - 5) - {\bf{j}} \cdot ( - 2 + 15) + {\bf{k}} \cdot ( - 1 - 6) = {\bf{i}} \cdot ( - 9) - {\bf{j}} \cdot (13) + {\bf{k}} \cdot ( - 7) = ( - 9, - 13, - 7).\)
Vậy vector pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = ( - 9, - 13, - 7)\).
Phương trình mặt phẳng \(\alpha \) cho trước là: \(9x + 13y + 7z = 0\).
Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\alpha \) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (9,13,7)\).
Ta thấy \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = ( - 9, - 13, - 7)\) là cùng phương với \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \), do đó hai mặt phẳng (ABC) và \(\alpha \) song song với nhau.
b)
Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ nên mặt phẳng ABC và mặt phẳng A′B′C′ song song với nhau nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′.
Suy ra vector pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′ là \(\overrightarrow {{n_{A'B'C'}}} = ( - 9, - 13, - 7)\).
Phương trình mặt phẳng (A'B'C') là:
\( - 9(x - 3) - 13(y - 2) - 7(z + 5) = 0\)
hay rút gọn lại là:
\( - 9x - 13y - 7z + 18 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 47 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right):2x - 3y + z + 3 = 0\), \(\left( {{\alpha _2}} \right):4x - 6y + 2z + 5 = 0\)và điểm \(M( - 2;0;1)\).
a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. Có nhận xét gì về phương của các vectơ này?
b) Mặt phẳng nào đi qua điểm M?
c) Hai mặt phẳng này song song với nhau không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Phương trình mặt phẳng có dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\) thì \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
b) Thay \(M\) vào từng phương trình của mặt phẳng để kiểm tra.
c) Nếu vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì hai mặt phẳng đó cũng song song hoặc trùng nhau.
Lời giải chi tiết:
a)
Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng là:
\(\overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}} = \left( {2; - 3;1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}} = \left( {4; - 6;2} \right)\)
Có thể thấy hai vectơ này cùng phương với nhau vì:
\(\frac{4}{2} = \frac{{ - 6}}{{ - 3}} = \frac{2}{1} = 2\)
b)
Thay M vào phương trình mặt phẳng \(({\alpha _1})\):
\(2.( - 2) - 3.0 + 1 + 3 = 0\)
Thay M vào phương trình mặt phẳng \(({\alpha _2})\):
\(4.( - 2) - 6.0 + 2.1 + 5 = - 1 \ne 0\)
Vậy M thuộc mặt phẳng \(({\alpha _1})\) nhưng không thuộc mặt phẳng \(({\alpha _2})\).
c)
Từ câu a có thể thấy hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}} ,\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}} \) song song với nhau nên hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) có thể song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác, điểm M thuộc mặt phẳng \(({\alpha _1})\) nhưng không thuộc mặt phẳng \(({\alpha _2})\) nên hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) song song với nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 49 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABC có \(S(2; - 1;7)\), \(A(2; - 1;3)\), \(B(5;2;3)\), \(C(8; - 1;3)\). Chứng minh rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
Phương pháp giải:
Để chứng minh mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), ta cần kiểm tra xem tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng này có bằng 0 hay không. - Tương tự, để chứng minh mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\), ta cũng kiểm tra điều kiện tích vô hướng giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng.
Lời giải chi tiết:
* Tìm vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng
a) Mặt phẳng \((ABC)\):
- Ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((ABC)\):
\(\overrightarrow {AB} = B - A = (5 - 2;2 + 1;3 - 3) = (3;3;0),\)
\(\overrightarrow {AC} = C - A = (8 - 2; - 1 + 1;3 - 3) = (6;0;0).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\3&3&0\\6&0&0\end{array}} \right| = (0;0; - 18).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = (0;0; - 18)\).
b) Mặt phẳng \((SAB)\):
- Ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((SAB)\):
\(\overrightarrow {SA} = A - S = (2 - 2; - 1 + 1;3 - 7) = (0;0; - 4),\)
\(\overrightarrow {SB} = B - S = (5 - 2;2 + 1;3 - 7) = (3;3; - 4).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {SB} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} = \overrightarrow {SA} \times \overrightarrow {SB} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\0&0&{ - 4}\\3&3&{ - 4}\end{array}} \right| = (12; - 12;0).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) là \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} = (12; - 12;0)\).
c) Mặt phẳng \((SBC)\):
- Tương tự, ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((SBC)\):
\(\overrightarrow {SB} = (3;3; - 4)\quad {\rm{v\`a }}\quad \overrightarrow {SC} = C - S = (8 - 2; - 1 + 1;3 - 7) = (6;0; - 4).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBC)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {SB} \) và \(\overrightarrow {SC} \):
\(\overrightarrow {{n_{SBC}}} = \overrightarrow {SB} \times \overrightarrow {SC} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\3&3&{ - 4}\\6&0&{ - 4}\end{array}} \right| = ( - 12; - 12; - 18).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBC)\) là:
\(\overrightarrow {{n_{SBC}}} = ( - 12; - 12; - 18)\)
* Chứng minh các mặt phẳng vuông góc
a) Mặt phẳng \((SAB)\) và \((ABC)\):
- Để kiểm tra \((SAB)\) vuông góc với \((ABC)\), ta tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \cdot \overrightarrow {{n_{ABC}}} = (12; - 12;0) \cdot (0;0; - 18) = 12 \times 0 + ( - 12) \times 0 + 0 \times ( - 18) = 0.\)
- Vì tích vô hướng bằng 0, nên \((SAB) \bot (ABC)\).
b) Mặt phẳng \((SAB)\) và \((SBC)\):
- Tương tự, ta tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{SBC}}} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \cdot \overrightarrow {{n_{SBC}}} = (12; - 12;0) \cdot ( - 12; - 12; - 18) = 12 \times ( - 12) + ( - 12) \times ( - 12) + 0 \times ( - 18) = - 144 + 144 + 0 = 0.\)
- Vì tích vô hướng bằng 0, nên \((SAB) \bot (SBC)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 49 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua \(A( - 3;2; - 1)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \((P):2x - y + 3z - 1 = 0\), \((Q):x + 2y - 2z + 3 = 0\).
Phương pháp giải:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) phải vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\).
- Từ đó, ta tìm vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\) bằng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến của \((P)\) và \((Q)\).
- Sau khi có vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\), sử dụng điểm \(A( - 3;2; - 1)\) để lập phương trình mặt phẳng \((\alpha )\).
Lời giải chi tiết:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là:
\(\overrightarrow {{n_P}} = (2; - 1;3).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\) là:
\(\overrightarrow {{n_Q}} = (1;2; - 2).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) phải vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \), do đó ta tìm tích có hướng của hai vectơ này:
\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} \times \overrightarrow {{n_Q}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\2&{ - 1}&3\\1&2&{ - 2}\end{array}} \right| = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\2&{ - 2}\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\1&{ - 2}\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&2\end{array}} \right|\)
Tính các định thức con:
\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = {\bf{i}} \cdot (( - 1)( - 2) - (3)(2)) - {\bf{j}} \cdot ((2)( - 2) - (3)(1)) + {\bf{k}} \cdot ((2)(2) - ( - 1)(1))\)
\( = {\bf{i}} \cdot (2 - 6) - {\bf{j}} \cdot ( - 4 - 3) + {\bf{k}} \cdot (4 + 1)\)
\( = {\bf{i}} \cdot ( - 4) - {\bf{j}} \cdot ( - 7) + {\bf{k}} \cdot (5)\)
\( = ( - 4;7;5).\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = ( - 4;7;5)\).
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng:
\( - 4(x + 3) + 7(y - 2) + 5(z + 1) = 0.\)
- Ta thế tọa độ điểm \(A( - 3;2; - 1)\) vào phương trình:
\( - 4(x + 3) + 7(y - 2) + 5(z + 1) = 0.\)
Mở rộng phương trình:
\( - 4x - 12 + 7y - 14 + 5z + 5 = 0\)
\( - 4x + 7y + 5z - 21 = 0.\)
Vậy phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) là:
\( - 4x + 7y + 5z - 21 = 0.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 48 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) có vectơ pháp tuyến tương ứng là \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) (Hình 5.12).
a) Có nhận xét gì về góc giữa \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) khi \(({\alpha _1}) \bot ({\alpha _2})\)?
b) Nếu \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) vuông góc với nhau thì \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) có vuông góc với nhau không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Góc giữa hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) cũng là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \).
b) Tương tự thì góc góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cũng là góc giữa hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và.
Lời giải chi tiết:
a)
Khi hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) vuông góc, điều này có nghĩa rằng góc giữa hai mặt phẳng bằng \({90^\circ }\).
Do đó, vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \) của mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} \) của mặt phẳng \(({\alpha _2})\) cũng sẽ vuông góc với nhau.
Điều này được biểu diễn bằng tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \):
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 0.\)
Kết luận: Khi \(({\alpha _1}) \bot ({\alpha _2})\), thì \(\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \).
b)
Nếu \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) vuông góc với nhau, tức là \(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 0\), thì hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) cũng sẽ vuông góc với nhau vì:
\(\left( {{\alpha _1}} \right) \bot \overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \to \left( {{\alpha _1}} \right)//\overrightarrow {{n_2}} \)
Mà
\(\left( {{\alpha _2}} \right) \bot \overrightarrow {{n_2}} \to \left( {{\alpha _1}} \right) \bot \left( {{\alpha _2}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 47 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right):2x - 3y + z + 3 = 0\), \(\left( {{\alpha _2}} \right):4x - 6y + 2z + 5 = 0\)và điểm \(M( - 2;0;1)\).
a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. Có nhận xét gì về phương của các vectơ này?
b) Mặt phẳng nào đi qua điểm M?
c) Hai mặt phẳng này song song với nhau không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Phương trình mặt phẳng có dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\) thì \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
b) Thay \(M\) vào từng phương trình của mặt phẳng để kiểm tra.
c) Nếu vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì hai mặt phẳng đó cũng song song hoặc trùng nhau.
Lời giải chi tiết:
a)
Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng là:
\(\overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}} = \left( {2; - 3;1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}} = \left( {4; - 6;2} \right)\)
Có thể thấy hai vectơ này cùng phương với nhau vì:
\(\frac{4}{2} = \frac{{ - 6}}{{ - 3}} = \frac{2}{1} = 2\)
b)
Thay M vào phương trình mặt phẳng \(({\alpha _1})\):
\(2.( - 2) - 3.0 + 1 + 3 = 0\)
Thay M vào phương trình mặt phẳng \(({\alpha _2})\):
\(4.( - 2) - 6.0 + 2.1 + 5 = - 1 \ne 0\)
Vậy M thuộc mặt phẳng \(({\alpha _1})\) nhưng không thuộc mặt phẳng \(({\alpha _2})\).
c)
Từ câu a có thể thấy hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}} ,\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}} \) song song với nhau nên hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) có thể song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác, điểm M thuộc mặt phẳng \(({\alpha _1})\) nhưng không thuộc mặt phẳng \(({\alpha _2})\) nên hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) song song với nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 48 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) với các điểm \(A'(3;2; - 5)\), \(A(3;1; - 1)\), \(B(2; - 1;4)\), và \(C(0;2;1)\).
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng \(\alpha \): \(9x + 13y + 7z = 0\)
b) Viết phương trình mặt phẳng (A'B'C').
Phương pháp giải:
a)
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
- Sử dụng tính chất: Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi các vector pháp tuyến của chúng cùng phương, nghĩa là tỉ số các hệ số của hai phương trình mặt phẳng phải tương ứng với nhau.
b)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC vì hai mặt phẳng này song song.
- Sau đó viết phương trình mặt phẳng dựa vào vectơ pháp tuyến này và tọa độ của một điểm trên mặt phẳng, ví dụ A′.
Lời giải chi tiết:
a)
Tọa độ các điểm \(A(3;1; - 1)\), \(B(2; - 1;4)\), \(C(0;2;1)\).
Vector \(\overrightarrow {AB} = B - A = (2 - 3, - 1 - 1,4 - ( - 1)) = ( - 1, - 2,5)\).
Vector \(\overrightarrow {AC} = C - A = (0 - 3,2 - 1,1 - ( - 1)) = ( - 3,1,2)\).
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là:
\(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\{ - 1}&{ - 2}&5\\{ - 3}&1&2\end{array}} \right| = {\bf{i}} \cdot (( - 2) \cdot 2 - 5 \cdot 1) - {\bf{j}} \cdot (( - 1) \cdot 2 - 5 \cdot ( - 3)) + {\bf{k}} \cdot (( - 1) \cdot 1 - ( - 2) \cdot ( - 3))\)
\( = {\bf{i}} \cdot ( - 4 - 5) - {\bf{j}} \cdot ( - 2 + 15) + {\bf{k}} \cdot ( - 1 - 6) = {\bf{i}} \cdot ( - 9) - {\bf{j}} \cdot (13) + {\bf{k}} \cdot ( - 7) = ( - 9, - 13, - 7).\)
Vậy vector pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = ( - 9, - 13, - 7)\).
Phương trình mặt phẳng \(\alpha \) cho trước là: \(9x + 13y + 7z = 0\).
Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\alpha \) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (9,13,7)\).
Ta thấy \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = ( - 9, - 13, - 7)\) là cùng phương với \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \), do đó hai mặt phẳng (ABC) và \(\alpha \) song song với nhau.
b)
Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ nên mặt phẳng ABC và mặt phẳng A′B′C′ song song với nhau nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′.
Suy ra vector pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′ là \(\overrightarrow {{n_{A'B'C'}}} = ( - 9, - 13, - 7)\).
Phương trình mặt phẳng (A'B'C') là:
\( - 9(x - 3) - 13(y - 2) - 7(z + 5) = 0\)
hay rút gọn lại là:
\( - 9x - 13y - 7z + 18 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 48 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) có vectơ pháp tuyến tương ứng là \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) (Hình 5.12).
a) Có nhận xét gì về góc giữa \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) khi \(({\alpha _1}) \bot ({\alpha _2})\)?
b) Nếu \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) vuông góc với nhau thì \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) có vuông góc với nhau không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Góc giữa hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) cũng là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \).
b) Tương tự thì góc góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cũng là góc giữa hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và.
Lời giải chi tiết:
a)
Khi hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) vuông góc, điều này có nghĩa rằng góc giữa hai mặt phẳng bằng \({90^\circ }\).
Do đó, vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \) của mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} \) của mặt phẳng \(({\alpha _2})\) cũng sẽ vuông góc với nhau.
Điều này được biểu diễn bằng tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \):
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 0.\)
Kết luận: Khi \(({\alpha _1}) \bot ({\alpha _2})\), thì \(\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \).
b)
Nếu \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) vuông góc với nhau, tức là \(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 0\), thì hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) cũng sẽ vuông góc với nhau vì:
\(\left( {{\alpha _1}} \right) \bot \overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \to \left( {{\alpha _1}} \right)//\overrightarrow {{n_2}} \)
Mà
\(\left( {{\alpha _2}} \right) \bot \overrightarrow {{n_2}} \to \left( {{\alpha _1}} \right) \bot \left( {{\alpha _2}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 49 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABC có \(S(2; - 1;7)\), \(A(2; - 1;3)\), \(B(5;2;3)\), \(C(8; - 1;3)\). Chứng minh rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
Phương pháp giải:
Để chứng minh mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), ta cần kiểm tra xem tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng này có bằng 0 hay không. - Tương tự, để chứng minh mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\), ta cũng kiểm tra điều kiện tích vô hướng giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng.
Lời giải chi tiết:
* Tìm vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng
a) Mặt phẳng \((ABC)\):
- Ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((ABC)\):
\(\overrightarrow {AB} = B - A = (5 - 2;2 + 1;3 - 3) = (3;3;0),\)
\(\overrightarrow {AC} = C - A = (8 - 2; - 1 + 1;3 - 3) = (6;0;0).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\3&3&0\\6&0&0\end{array}} \right| = (0;0; - 18).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = (0;0; - 18)\).
b) Mặt phẳng \((SAB)\):
- Ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((SAB)\):
\(\overrightarrow {SA} = A - S = (2 - 2; - 1 + 1;3 - 7) = (0;0; - 4),\)
\(\overrightarrow {SB} = B - S = (5 - 2;2 + 1;3 - 7) = (3;3; - 4).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {SB} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} = \overrightarrow {SA} \times \overrightarrow {SB} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\0&0&{ - 4}\\3&3&{ - 4}\end{array}} \right| = (12; - 12;0).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) là \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} = (12; - 12;0)\).
c) Mặt phẳng \((SBC)\):
- Tương tự, ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((SBC)\):
\(\overrightarrow {SB} = (3;3; - 4)\quad {\rm{v\`a }}\quad \overrightarrow {SC} = C - S = (8 - 2; - 1 + 1;3 - 7) = (6;0; - 4).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBC)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {SB} \) và \(\overrightarrow {SC} \):
\(\overrightarrow {{n_{SBC}}} = \overrightarrow {SB} \times \overrightarrow {SC} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\3&3&{ - 4}\\6&0&{ - 4}\end{array}} \right| = ( - 12; - 12; - 18).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBC)\) là:
\(\overrightarrow {{n_{SBC}}} = ( - 12; - 12; - 18)\)
* Chứng minh các mặt phẳng vuông góc
a) Mặt phẳng \((SAB)\) và \((ABC)\):
- Để kiểm tra \((SAB)\) vuông góc với \((ABC)\), ta tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \cdot \overrightarrow {{n_{ABC}}} = (12; - 12;0) \cdot (0;0; - 18) = 12 \times 0 + ( - 12) \times 0 + 0 \times ( - 18) = 0.\)
- Vì tích vô hướng bằng 0, nên \((SAB) \bot (ABC)\).
b) Mặt phẳng \((SAB)\) và \((SBC)\):
- Tương tự, ta tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{SBC}}} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \cdot \overrightarrow {{n_{SBC}}} = (12; - 12;0) \cdot ( - 12; - 12; - 18) = 12 \times ( - 12) + ( - 12) \times ( - 12) + 0 \times ( - 18) = - 144 + 144 + 0 = 0.\)
- Vì tích vô hướng bằng 0, nên \((SAB) \bot (SBC)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 49 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua \(A( - 3;2; - 1)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \((P):2x - y + 3z - 1 = 0\), \((Q):x + 2y - 2z + 3 = 0\).
Phương pháp giải:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) phải vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\).
- Từ đó, ta tìm vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\) bằng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến của \((P)\) và \((Q)\).
- Sau khi có vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\), sử dụng điểm \(A( - 3;2; - 1)\) để lập phương trình mặt phẳng \((\alpha )\).
Lời giải chi tiết:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là:
\(\overrightarrow {{n_P}} = (2; - 1;3).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\) là:
\(\overrightarrow {{n_Q}} = (1;2; - 2).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) phải vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \), do đó ta tìm tích có hướng của hai vectơ này:
\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} \times \overrightarrow {{n_Q}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\2&{ - 1}&3\\1&2&{ - 2}\end{array}} \right| = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\2&{ - 2}\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\1&{ - 2}\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&2\end{array}} \right|\)
Tính các định thức con:
\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = {\bf{i}} \cdot (( - 1)( - 2) - (3)(2)) - {\bf{j}} \cdot ((2)( - 2) - (3)(1)) + {\bf{k}} \cdot ((2)(2) - ( - 1)(1))\)
\( = {\bf{i}} \cdot (2 - 6) - {\bf{j}} \cdot ( - 4 - 3) + {\bf{k}} \cdot (4 + 1)\)
\( = {\bf{i}} \cdot ( - 4) - {\bf{j}} \cdot ( - 7) + {\bf{k}} \cdot (5)\)
\( = ( - 4;7;5).\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = ( - 4;7;5)\).
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng:
\( - 4(x + 3) + 7(y - 2) + 5(z + 1) = 0.\)
- Ta thế tọa độ điểm \(A( - 3;2; - 1)\) vào phương trình:
\( - 4(x + 3) + 7(y - 2) + 5(z + 1) = 0.\)
Mở rộng phương trình:
\( - 4x - 12 + 7y - 14 + 5z + 5 = 0\)
\( - 4x + 7y + 5z - 21 = 0.\)
Vậy phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) là:
\( - 4x + 7y + 5z - 21 = 0.\)
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, ví dụ như các dạng bài tập về đạo hàm, tích phân, hoặc hình học không gian. Để giải tốt các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững lý thuyết, công thức và phương pháp giải tương ứng.
Tùy thuộc vào chương trình học, Mục 3 có thể bao gồm các nội dung sau:
Bài 1: (Nêu đề bài tập) Giải thích chi tiết từng bước giải, sử dụng công thức và lý thuyết liên quan. Đưa ra kết quả cuối cùng và kiểm tra lại tính đúng đắn.
Bài 2: (Nêu đề bài tập) Tương tự như bài 1, giải thích chi tiết và rõ ràng.
Bài 3: (Nêu đề bài tập) ...
Bài 4: (Nêu đề bài tập) ...
Bài 5: (Nêu đề bài tập) ...
Bài 6: (Nêu đề bài tập) ...
Bài 7: (Nêu đề bài tập) ...
Kiến thức và kỹ năng được học trong Mục 3 có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như khoa học kỹ thuật, kinh tế, và đời sống xã hội. Ví dụ, đạo hàm được sử dụng để tính tốc độ thay đổi của một đại lượng, tích phân được sử dụng để tính diện tích và thể tích, và hình học không gian được sử dụng để mô tả và phân tích các vật thể trong không gian.
Toán 12 là một môn học quan trọng, đòi hỏi sự nỗ lực và kiên trì. Để học tốt môn Toán 12, bạn cần:
Loigiai.com.vn hy vọng rằng với bộ lời giải chi tiết và các phương pháp học tập hiệu quả, bạn sẽ học tốt môn Toán 12 và đạt được kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
