Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2. Chúng tôi giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán, chuẩn bị tốt nhất cho các kỳ thi.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những lời giải chính xác, khoa học và phù hợp với chương trình học.
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = x\). Chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = x\). Chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
- Tìm đạo hàm của hàm số \(2F(x)\).
- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số \(2f(x)\) để chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\) là:
\(F(x) = \int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Ta cần chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\), tức là:
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)\)
Tính đạo hàm của \(2F(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2 \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + C} \right] = 2 \cdot \left( x \right) = 2x\)
Mà \(2f(x) = 2x\). Do đó, ta có:
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)\)
Vậy \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = 2x\) và một nguyên hàm \(G(x)\) của hàm số \(g(x) = 3\). Chứng minh \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm của \(f(x) = 2x\) và \(g(x) = 3\).
- Tìm đạo hàm của hàm số \(F(x) + G(x)\).
- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số \(f(x) + g(x)\) để chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2x\) là:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}\)
trong đó \({C_1}\) là hằng số tích phân.
Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = 3\) là:
\(G(x) = \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x + {C_2}\)
trong đó \({C_2}\) là hằng số tích phân.
Ta cần chứng minh \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x) = 2x + 3\), tức là:
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)\)
Tính đạo hàm của \(F(x) + G(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = \frac{d}{{dx}}\left[ {{x^2} + {C_1} + 3x + {C_2}} \right] = 2x + 3\)
Mà \(f(x) + g(x) = 2x + 3\).
Do đó, ta có:
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)\)
Vậy \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(f(x) = {e^{2x + 1}};\)
b) \(g(x) = \frac{8}{x}\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng phương pháp tích phân với hàm mũ. Áp dụng kỹ thuật đổi biến nếu cần thiết.
b) Sử dụng công thức tích phân cơ bản đối với hàm số dạng \(\frac{1}{x}\).
Lời giải chi tiết:
a) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{2x + 1}}\) được tính như sau:
Trước tiên, ta đổi biến đặt \(u = 2x + 1\). Khi đó, \(du = 2dx\) hay \(dx = \frac{{du}}{2}\). Tích phân của \(f(x)\) trở thành:
\(\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{e^u}} \cdot \frac{{du}}{2} = \frac{1}{2}\int {{e^u}} {\mkern 1mu} du = \frac{1}{2}{e^u} + C\)
Thay \(u = 2x + 1\) trở lại:
\(\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{2x + 1}}\) là:
\(F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
b)
Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{8}{x}\) được tính như sau: Ta biết rằng:
\(\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + C\)
Do đó:
\(\int {\frac{8}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\ln |x| + C\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{8}{x}\) là:
\(G(x) = 8\ln |x| + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(f(x) = {x^3} - {3^x};\)
b) \(g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\).
Phương pháp giải:
a) Tính nguyên hàm của từng thành phần của hàm số. Đối với \({x^3}\), áp dụng công thức tích phân cơ bản của đa thức. Đối với \({3^x}\), sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ với cơ số khác \(e\).
b) Tính nguyên hàm của từng thành phần. Đối với \(\frac{1}{x}\), áp dụng công thức tích phân cơ bản. Đối với \(\frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\), nhận dạng và sử dụng công thức tích phân của \({\csc ^2}x\).
Lời giải chi tiết:
a) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^3} - {3^x}\) được tính như sau:
Tính nguyên hàm của \({x^3}\):
\(\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + {C_1}\)
Tính nguyên hàm của \( - {3^x}\):
\(\int - {3^x}{\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {C_2}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) là:
\(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_1}\) và \({C_2}\)).
b) Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\) được tính như sau:
Tính nguyên hàm của \(\frac{1}{x}\):
\(\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + {C_3}\)
Tính nguyên hàm của \( - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\):
\(\int - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}{\mkern 1mu} dx = - 4\int {{{\csc }^2}} x{\mkern 1mu} dx = - 4( - \cot x) = 4\cot x + {C_4}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) là:
\(G(x) = \ln |x| + 4\cot x + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_3}\) và \({C_4}\)).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm \(t\) tháng kể từ khi người ta thả 100 cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức \(P'(t) = 8t + 30\) (con/tháng), với \(P(t)\) là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm \(t\) tháng tương ứng. Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm 3 tháng kể từ khi chúng được thả vào rừng.
Phương pháp giải:
Tìm hàm số lượng cá thể \(P(t)\):
- Biết \(P'(t) = 8t + 30\) là đạo hàm của hàm số lượng cá thể \(P(t)\), ta tìm \(P(t)\) bằng cách lấy tích phân của \(P'(t)\) và thêm hằng số tích phân \(C\).
- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của \(C\).
Tính số lượng cá thể tại \(t = 3\):
- Thay \(t = 3\) vào hàm \(P(t)\) đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.
Lời giải chi tiết:
Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là \(P'(t) = 8t + 30\). Tích phân của \(P'(t)\) là:
\(P(t) = \int {(8t + 30)} {\mkern 1mu} dt = 4{t^2} + 30t + C\)
với \(C\) là hằng số tích phân.
Theo đề bài, tại thời điểm \(t = 0\), số lượng cá thể là 100:
\(P(0) = 4{(0)^2} + 30(0) + C = 100\)
Do đó, \(C = 100\). Vậy hàm số lượng cá thể là:
\(P(t) = 4{t^2} + 30t + 100\)
Thay \(t = 3\) vào hàm \(P(t)\):
\(P(3) = 4{(3)^2} + 30(3) + 100 = 4(9) + 90 + 100 = 36 + 90 + 100 = 226\)
Số lượng cá thể của đàn gấu mèo tại thời điểm 3 tháng là 226 cá thể.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}};\)
b) \(h(t) = 2t(t - 3)\).
Phương pháp giải:
a)
- Chia từng thành phần của tử số cho mẫu số để đơn giản hóa hàm số.
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
b)
- Phân phối 2t qua dấu ngoặc để đơn giản hóa biểu thức.
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
Lời giải chi tiết:
a)
Đầu tiên, ta đơn giản hóa hàm số bằng cách chia tử số cho mẫu số:
\(g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^2}}} = {x^2} + 2{x^{ - 2}}\)
Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số \(g(x) = {x^2} + 2{x^{ - 2}}\):
\(\int g (x){\mkern 1mu} dx = \int {({x^2} + 2{x^{ - 2}})} {\mkern 1mu} dx\)
Tính nguyên hàm của từng thành phần:
\(\int {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1}\)
\(\int 2 {x^{ - 2}}{\mkern 1mu} dx = 2\int {{x^{ - 2}}} {\mkern 1mu} dx = 2 \cdot \left( { - {x^{ - 1}}} \right) = - \frac{2}{x} + {C_2}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) là:
\(G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_1}\) và \({C_2}\)).
b)
Đầu tiên, ta phân phối $2t$ qua dấu ngoặc:
\(h(t) = 2t(t - 3) = 2{t^2} - 6t\)
Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số \(h(t) = 2{t^2} - 6t\):
\(\int h (t){\mkern 1mu} dt = \int {(2{t^2} - 6t)} {\mkern 1mu} dt\)
Tính nguyên hàm của từng thành phần:
\(\int 2 {t^2}{\mkern 1mu} dt = 2 \cdot \frac{{{t^3}}}{3} = \frac{{2{t^3}}}{3} + {C_3}\)
\(\int - 6t{\mkern 1mu} dt = - 6 \cdot \frac{{{t^2}}}{2} = - 3{t^2} + {C_4}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(h(t)\) là:
\(H(t) = \frac{{2{t^3}}}{3} - 3{t^2} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_3}\) và \({C_4}\)).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = x\). Chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
- Tìm đạo hàm của hàm số \(2F(x)\).
- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số \(2f(x)\) để chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\) là:
\(F(x) = \int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Ta cần chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\), tức là:
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)\)
Tính đạo hàm của \(2F(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2 \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + C} \right] = 2 \cdot \left( x \right) = 2x\)
Mà \(2f(x) = 2x\). Do đó, ta có:
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)\)
Vậy \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(f(x) = {e^{2x + 1}};\)
b) \(g(x) = \frac{8}{x}\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng phương pháp tích phân với hàm mũ. Áp dụng kỹ thuật đổi biến nếu cần thiết.
b) Sử dụng công thức tích phân cơ bản đối với hàm số dạng \(\frac{1}{x}\).
Lời giải chi tiết:
a) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{2x + 1}}\) được tính như sau:
Trước tiên, ta đổi biến đặt \(u = 2x + 1\). Khi đó, \(du = 2dx\) hay \(dx = \frac{{du}}{2}\). Tích phân của \(f(x)\) trở thành:
\(\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{e^u}} \cdot \frac{{du}}{2} = \frac{1}{2}\int {{e^u}} {\mkern 1mu} du = \frac{1}{2}{e^u} + C\)
Thay \(u = 2x + 1\) trở lại:
\(\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{2x + 1}}\) là:
\(F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
b)
Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{8}{x}\) được tính như sau: Ta biết rằng:
\(\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + C\)
Do đó:
\(\int {\frac{8}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\ln |x| + C\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{8}{x}\) là:
\(G(x) = 8\ln |x| + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = 2x\) và một nguyên hàm \(G(x)\) của hàm số \(g(x) = 3\). Chứng minh \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm của \(f(x) = 2x\) và \(g(x) = 3\).
- Tìm đạo hàm của hàm số \(F(x) + G(x)\).
- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số \(f(x) + g(x)\) để chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2x\) là:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}\)
trong đó \({C_1}\) là hằng số tích phân.
Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = 3\) là:
\(G(x) = \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x + {C_2}\)
trong đó \({C_2}\) là hằng số tích phân.
Ta cần chứng minh \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x) = 2x + 3\), tức là:
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)\)
Tính đạo hàm của \(F(x) + G(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = \frac{d}{{dx}}\left[ {{x^2} + {C_1} + 3x + {C_2}} \right] = 2x + 3\)
Mà \(f(x) + g(x) = 2x + 3\).
Do đó, ta có:
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)\)
Vậy \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(f(x) = {x^3} - {3^x};\)
b) \(g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\).
Phương pháp giải:
a) Tính nguyên hàm của từng thành phần của hàm số. Đối với \({x^3}\), áp dụng công thức tích phân cơ bản của đa thức. Đối với \({3^x}\), sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ với cơ số khác \(e\).
b) Tính nguyên hàm của từng thành phần. Đối với \(\frac{1}{x}\), áp dụng công thức tích phân cơ bản. Đối với \(\frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\), nhận dạng và sử dụng công thức tích phân của \({\csc ^2}x\).
Lời giải chi tiết:
a) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^3} - {3^x}\) được tính như sau:
Tính nguyên hàm của \({x^3}\):
\(\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + {C_1}\)
Tính nguyên hàm của \( - {3^x}\):
\(\int - {3^x}{\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {C_2}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) là:
\(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_1}\) và \({C_2}\)).
b) Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\) được tính như sau:
Tính nguyên hàm của \(\frac{1}{x}\):
\(\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + {C_3}\)
Tính nguyên hàm của \( - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\):
\(\int - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}{\mkern 1mu} dx = - 4\int {{{\csc }^2}} x{\mkern 1mu} dx = - 4( - \cot x) = 4\cot x + {C_4}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) là:
\(G(x) = \ln |x| + 4\cot x + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_3}\) và \({C_4}\)).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}};\)
b) \(h(t) = 2t(t - 3)\).
Phương pháp giải:
a)
- Chia từng thành phần của tử số cho mẫu số để đơn giản hóa hàm số.
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
b)
- Phân phối 2t qua dấu ngoặc để đơn giản hóa biểu thức.
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
Lời giải chi tiết:
a)
Đầu tiên, ta đơn giản hóa hàm số bằng cách chia tử số cho mẫu số:
\(g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^2}}} = {x^2} + 2{x^{ - 2}}\)
Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số \(g(x) = {x^2} + 2{x^{ - 2}}\):
\(\int g (x){\mkern 1mu} dx = \int {({x^2} + 2{x^{ - 2}})} {\mkern 1mu} dx\)
Tính nguyên hàm của từng thành phần:
\(\int {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1}\)
\(\int 2 {x^{ - 2}}{\mkern 1mu} dx = 2\int {{x^{ - 2}}} {\mkern 1mu} dx = 2 \cdot \left( { - {x^{ - 1}}} \right) = - \frac{2}{x} + {C_2}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) là:
\(G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_1}\) và \({C_2}\)).
b)
Đầu tiên, ta phân phối $2t$ qua dấu ngoặc:
\(h(t) = 2t(t - 3) = 2{t^2} - 6t\)
Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số \(h(t) = 2{t^2} - 6t\):
\(\int h (t){\mkern 1mu} dt = \int {(2{t^2} - 6t)} {\mkern 1mu} dt\)
Tính nguyên hàm của từng thành phần:
\(\int 2 {t^2}{\mkern 1mu} dt = 2 \cdot \frac{{{t^3}}}{3} = \frac{{2{t^3}}}{3} + {C_3}\)
\(\int - 6t{\mkern 1mu} dt = - 6 \cdot \frac{{{t^2}}}{2} = - 3{t^2} + {C_4}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(h(t)\) là:
\(H(t) = \frac{{2{t^3}}}{3} - 3{t^2} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_3}\) và \({C_4}\)).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm \(t\) tháng kể từ khi người ta thả 100 cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức \(P'(t) = 8t + 30\) (con/tháng), với \(P(t)\) là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm \(t\) tháng tương ứng. Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm 3 tháng kể từ khi chúng được thả vào rừng.
Phương pháp giải:
Tìm hàm số lượng cá thể \(P(t)\):
- Biết \(P'(t) = 8t + 30\) là đạo hàm của hàm số lượng cá thể \(P(t)\), ta tìm \(P(t)\) bằng cách lấy tích phân của \(P'(t)\) và thêm hằng số tích phân \(C\).
- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của \(C\).
Tính số lượng cá thể tại \(t = 3\):
- Thay \(t = 3\) vào hàm \(P(t)\) đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.
Lời giải chi tiết:
Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là \(P'(t) = 8t + 30\). Tích phân của \(P'(t)\) là:
\(P(t) = \int {(8t + 30)} {\mkern 1mu} dt = 4{t^2} + 30t + C\)
với \(C\) là hằng số tích phân.
Theo đề bài, tại thời điểm \(t = 0\), số lượng cá thể là 100:
\(P(0) = 4{(0)^2} + 30(0) + C = 100\)
Do đó, \(C = 100\). Vậy hàm số lượng cá thể là:
\(P(t) = 4{t^2} + 30t + 100\)
Thay \(t = 3\) vào hàm \(P(t)\):
\(P(3) = 4{(3)^2} + 30(3) + 100 = 4(9) + 90 + 100 = 36 + 90 + 100 = 226\)
Số lượng cá thể của đàn gấu mèo tại thời điểm 3 tháng là 226 cá thể.
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình Giải tích hoặc Hình học. Để giải quyết các bài tập trong mục này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững kiến thức lý thuyết, các định nghĩa, định lý và công thức liên quan. Loigiai.com.vn sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết, từng bước để bạn có thể tự tin giải quyết các bài toán.
Tùy thuộc vào chương trình học, mục 3 có thể bao gồm các nội dung sau:
Bài tập này thường yêu cầu tính đạo hàm của một hàm số lượng giác. Để giải bài tập này, bạn cần áp dụng các công thức đạo hàm của hàm số lượng giác đã học. Ví dụ, đạo hàm của sinx là cosx, đạo hàm của cosx là -sinx.
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = 2sin(x) + 3cos(x).
Lời giải: y' = 2cos(x) - 3sin(x)
Bài tập này có thể yêu cầu khảo sát hàm số bằng cách tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị. Để giải bài tập này, bạn cần tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số, sau đó phân tích dấu của đạo hàm để xác định tính chất của hàm số.
Ví dụ: Khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Lời giải:
Để giải nhanh các bài tập trong mục 3, bạn nên:
Ngoài SGK Toán 12 tập 2, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 đòi hỏi sự nắm vững kiến thức lý thuyết và kỹ năng giải toán. Loigiai.com.vn hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết và các mẹo giải nhanh trên, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
