Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 3.15 trang 106 SGK Toán 12 tập 1. Bài tập này thuộc chương trình học môn Toán lớp 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
loigiai.com.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập hiệu quả. Hãy cùng chúng tôi khám phá lời giải chi tiết cho bài tập 3.15 này nhé!
Hai bảng dưới đây biểu diễn kết quả đo đường kính (tính theo mm) của một số ổ bi được sản xuất bởi các máy X và Y:
Đề bài
Hai bảng dưới đây biểu diễn kết quả đo đường kính (tính theo mm) của một số ổ bi được sản xuất bởi các máy X và Y:
a) Ước tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của đường kính các ổ bi được sản xuất bởi mỗi máy.
b) Biết rằng đường kính mong muốn cho các ổ bi là 30,4 mm. Hãy phân tích chất lượng sản phẩm do mỗi máy sản xuất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Áp dụng các công thức sau:
- Công thức tính trung bình:
\(\bar x = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {{x_i}{f_i}} \right)} }}{N}\)
- Công thức tính độ lệch chuẩn:
\(S = \sqrt {\overline {{x^2}} - {{\left( {\bar x} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{\sum {{f_i}x_i^2} }}{N} - {{\left( {\bar x} \right)}^2}} \)
b) So sánh giá trị trung bình và độ lệch chuẩn với giá trị mong muốn (30,4 mm) để đánh giá sự chính xác và độ phân tán của sản phẩm.
Lời giải chi tiết
Bảng phân phối tần số cho máy X và Y:
Dựa vào bảng phân phối ta thấy N = 60.
Giá trị trung bình của máy X:
\({\bar x_X} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^k {{f_i}} \times {x_i} = \frac{{2 \times 28,5 + 23 \times 29,5 + 25 \times 30,5 + 7 \times 31,5 + 3 \times 32,5}}{{60}} = \frac{{1816}}{{60}} \approx 30,27\)
Độ lệch chuẩn của máy X:
\({S_X} = \sqrt {\overline {x_X^2} - {{\left( {{{\bar x}_X}} \right)}^2}} \)
\(\overline {x_X^2} = \frac{{\sum {{f_i}x_i^2} }}{N} = \frac{{2 \times 28,{5^2} + 23 \times 29,{5^2} + 25 \times 30,{5^2} + 7 \times 31,{5^2} + 3 \times 32,{5^2}}}{{60}} = \frac{{55011}}{{60}} = 916,85\)
\({S_X} = \sqrt {916,85 - 30,{{27}^2}} = \sqrt {0,78} \approx 0,88\)
Giá trị trung bình của máy Y:
\({\bar x_Y} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^k {{f_i}} \times {x_i} = \frac{{9 \times 28,5 + 8 \times 29,5 + 20 \times 30,5 + 17 \times 31,5 + 6 \times 32,5}}{{60}} = \frac{{1833}}{{60}} = 30,55\)
Độ lệch chuẩn của phương pháp B:
\({S_Y} = \sqrt {\overline {x_Y^2} - {{\left( {{{\bar x}_Y}} \right)}^2}} \)
\(\overline {x_Y^2} = \frac{{\sum {{f_i}x_i^2} }}{N} = \frac{{9 \times 28,{5^2} + 8 \times 29,{5^2} + 20 \times 30,{5^2} + 17 \times 31,{5^2} + 6 \times 32,{5^2}}}{{60}} = \frac{{56083}}{{60}} \approx 934,72\)
\({S_Y} = \sqrt {934,72 - 30,{{55}^2}} = \sqrt {1,4175} \approx 1,19\)
b)
Phân tích chất lượng sản phẩm:
- Máy X: Như đã tính trước đó, giá trị trung bình là 30.27 mm và độ lệch chuẩn là 0.88 mm.
- Máy Y: Với giá trị trung bình mới là 30.55 mm và độ lệch chuẩn là 1.19 mm.
Kết luận:
- Máy X sản xuất sản phẩm có đường kính trung bình gần với giá trị mong muốn hơn (30,27 mm so với 30,4 mm), với độ lệch chuẩn nhỏ hơn, cho thấy sản phẩm đều hơn.
- Máy Y có giá trị trung bình lớn hơn 30,4 mm (30,55 mm), và độ lệch chuẩn cũng lớn hơn, cho thấy sản phẩm có sự biến thiên lớn hơn về kích thước, chất lượng không đồng đều bằng sản phẩm của máy X.
Do đó, sản phẩm của máy X vẫn được đánh giá là có chất lượng tốt hơn so với máy Y.
Bài tập 3.15 trang 106 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến việc tìm điểm cực trị của hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Để minh họa các bước giải trên, chúng ta sẽ cùng nhau giải bài tập 3.15 trang 106 SGK Toán 12 tập 1. (Nội dung lời giải chi tiết sẽ được trình bày tại đây, bao gồm các bước tính toán cụ thể, giải thích rõ ràng và kết luận chính xác. Ví dụ: Giả sử bài tập yêu cầu tìm cực trị của hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2, lời giải sẽ bao gồm các bước tính đạo hàm y' = 3x^2 - 6x, giải phương trình 3x^2 - 6x = 0 để tìm x = 0 và x = 2, sau đó tính đạo hàm cấp hai y'' = 6x - 6 và xét dấu y'' tại x = 0 và x = 2 để xác định điểm cực đại và cực tiểu.)
Ngoài bài tập 3.15, còn rất nhiều bài tập tương tự yêu cầu vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải:
Để học tập và ôn thi môn Toán 12 hiệu quả, các em cần:
Bài tập 3.15 trang 106 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp các em củng cố kiến thức về đạo hàm và rèn luyện kỹ năng giải toán. Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải được trình bày ở trên, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và ôn thi môn Toán 12.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
