Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
loigiai.com.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập hiệu quả.
Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M và N theo thứ tự là trung điểm của BC và AD. Cho biết AB = 10, CD = 6, MN = 7. a) Chứng minh rằng (overrightarrow {NM} = frac{1}{2}left( {overrightarrow {AB} + overrightarrow {DC} } right)). b) Từ kết quả câu a, hãy tính (overrightarrow {AB} .overrightarrow {DC} ). c) Tính (left( {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {DC} } right)).
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M và N theo thứ tự là trung điểm của BC và AD. Cho biết AB = 10, CD = 6, MN = 7.
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right)\).
b) Từ kết quả câu a, hãy tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DC} \).
c) Tính \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} } \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Để chứng minh \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\), ta cần sử dụng tính chất trung điểm và phép cộng vectơ.
b) Sử dụng kết quả từ phần a) để tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} \). Áp dụng tính chất “Bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó”.
c) Sử dụng tích vô hướng để tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \).
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} }}{{|\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {DC} |}}\)
Lời giải chi tiết
a) Chứng minh \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\):
- Vì \(M\) là trung điểm của BC, nên \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).
- Vì \(N\) là trung điểm của AD, nên \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).
- Vectơ \(\overrightarrow {NM} \) có thể được viết là: \(\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {BM} \).
Với: \(\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} \)
Và: \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DC} } \right)\).
Suy ra: \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\).
b) Từ kết quả câu a, tính \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} \):
- Từ câu a, ta có:
\(\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NM} = \frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} ) \cdot (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\).
Biểu thức này mở rộng thành:
\(\frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {DC} )\).
Biết rằng \(\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NM} = M{N^2} = 49\), \(AB = 10\), \(DC = 6\), ta suy ra:
\(49 = \frac{1}{4}(100 + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} + 36)\).
\(49 = \frac{1}{4}(136 + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} )\).
\(196 = 136 + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} = 30\).
c) Tính \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} } \right)\):
- Góc giữa hai vectơ được tính bởi:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} }}{{|\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {DC} |}}\).
\(\cos \theta = \frac{{30}}{{10 \cdot 6}} = \frac{1}{2}\).
Suy ra \(\theta = {60^\circ }\).
Bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điều kiện cực trị và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Hãy khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị.
Bước 1: Tính đạo hàm cấp một
y' = 3x2 - 6x
Bước 2: Tìm điểm dừng
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
=> x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Lập bảng biến thiên
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | NB | ĐB | NB |
(NB: Nghịch biến, ĐB: Đồng biến)
Bước 4: Xác định điểm cực đại, cực tiểu
y'' = 6x - 6
Tại x = 0: y'' = -6 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là y(0) = 2.
Tại x = 2: y'' = 6 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là y(2) = 8 - 12 + 2 = -2.
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 đạt cực đại tại điểm (0; 2) và đạt cực tiểu tại điểm (2; -2).
Để hiểu sâu hơn về phương pháp khảo sát hàm số và tìm cực trị, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 1 và các tài liệu ôn thi THPT Quốc gia. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Ngoài ra, các em có thể sử dụng các công cụ trực tuyến để vẽ đồ thị hàm số và kiểm tra lại kết quả của mình. Điều này sẽ giúp các em trực quan hóa được quá trình biến thiên của hàm số và hiểu rõ hơn về các điểm cực trị.
Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
