Giải bài tập 5.11 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh \(A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)\).

a) Viết phương trình các mặt phẳng \((ABCD),(A'B'C'D')\) và \((ADDA')\).

b) Tính chiều cao của hình hộp.

Lời giải chi tiết

a) Viết phương trình các mặt phẳng:

- Mặt phẳng \((ABCD)\): Xét các điểm \(A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)\), ta có:

\(\overrightarrow {AB} = (2 - 1,1 - 0,2 - 1) = (1,1,1)\)

\(\overrightarrow {AD} = (1 - 1, - 1 - 0,1 - 1) = (0, - 1,0)\)

Tìm tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):

\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AD} = (1 \cdot 0 - 1 \cdot ( - 1);1 \cdot 0 - 1 \cdot 0;1 \cdot ( - 1) - 1 \cdot 0) = (1;0; - 1)\)

Phương trình mặt phẳng có dạng:

\(1(x - 1) + 0(y - 0) - 1(z - 1) = 0 \Rightarrow x - z = 0\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((ABCD)\) là \(x - z = 0\).

- Mặt phẳng \((A'B'C'D')\):

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên hai mặt phẳng \((ABCD)\) và \((A'B'C'D')\) song song với nhau, suy ra vectơ phép tuyến của mặt phẳng \((A'B'C'D')\) cũng là \(\overrightarrow n = (1;0; - 1)\).

Phương trình mặt phẳng có dạng:

\(1(x - 4) + 0(y - 5) - 1(z + 5) = 0 \Rightarrow x - z - 9 = 0\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((A'B'C'D')\) là \(x - z - 9 = 0\).

- Mặt phẳng \((ADDA')\):

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên:

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {D'C'} \to \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OC'} - \overrightarrow {OD'} \to \overrightarrow {OD'} = \overrightarrow {OC'} - \overrightarrow {AB} = (4 - 1;5 - 1; - 5 - 1) = (3;4; - 6)\)

Ta có điểm \(D = (3;4; - 6)\)

\(\overrightarrow {AD'} = (3 - 1;4 - 0; - 6 - 1) = (2;4; - 7)\)

\(\overrightarrow {AD} = (0; - 1;0)\)

Tìm tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):

\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AD} = (4 \cdot 0 - ( - 7) \cdot ( - 1);( - 7) \cdot 0 - 2 \cdot 0;2 \cdot ( - 1) - 4 \cdot 0) = ( - 7;0; - 2)\)

Phương trình mặt phẳng có dạng:

\( - 7(x - 1) + 0(y - 0) - 2(z - 1) = 0 \Rightarrow - 7x - 2z + 9 = 0\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((ADDA')\) là \(x - z = 0\).

b) Tính chiều cao của hình hộp. Chiều cao của hình hộp có thể tính bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng đáy \((A'B'C'D')\), sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

\(d = \frac{{|1.1 - 1.1 - 9|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 9} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{9}{{\sqrt 2 }}\)

Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng đáy \((A'B'C'D')\) là \(\frac{9}{{\sqrt 2 }}\).