Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2 SGK Toán 12 tập 2. Chúng tôi giúp bạn nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những lời giải chính xác, đầy đủ và có phương pháp tiếp cận rõ ràng.
Cho hai đường thẳng d và d’ có các vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \), \({M_0} \in d\) như Hình 5.20.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - t}\\{y = 4 + t}\\{z = 5 - 2t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 3t'}\\{y = 5 + 3t'}\\{z = 3 - 6t'}\end{array}} \right.\quad (t' \in \mathbb{R}){\rm{ }}\)
b) \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\)
c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 3 + 3t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R}){\rm{ }}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}{\rm{ }}\)
Phương pháp giải:
- Hai đường thẳng song song: Nếu chúng có vectơ chỉ phương cùng phương và không có điểm chung.
- Hai đường thẳng cắt nhau: Nếu chúng không cùng phương và có duy nhất một điểm chung.
- Hai đường thẳng chéo nhau: Nếu chúng không nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
- Hai đường thẳng trùng nhau: Nếu chúng cùng phương và có vô số điểm chung.
Lời giải chi tiết:
a)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): \(\overrightarrow {{u_d}} = ( - 1;1; - 2)\)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng\(d'\): \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = ( - 3;3; - 6)\)
Nhận thấy: \(\overrightarrow {{u_d}} = k\overrightarrow {{u_{d'}}} \) với \(k = \frac{1}{3}\)
Vậy hai đường thẳng song song.
b)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): \(\overrightarrow {{u_d}} = (1;3; - 1)\)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng\(d'\): \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = ( - 2;1;3)\)
Nhận thấy không tồn tại giá trị k để \(\overrightarrow {{u_d}} = k\overrightarrow {{u_{d'}}} \) và \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 1.( - 2) + 3.1 + ( - 1).3 = - 2 \ne 0\) nên hai đường thẳng không song song cũng không vuông góc.
Để kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau không, ta giải hệ phương trình tham số từ hai đường thẳng.
Phương trình tham số của \(d\):
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\quad {\rm{hay}}\quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\quad \quad t \in \mathbb{R}\)
Phương trình tham số của \(d'\)
\(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\quad {\rm{hay}}\quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 2t'}\\{y = - 2 + t'}\\{z = 1 + 3t'}\end{array}} \right.\quad \quad t' \in \mathbb{R}\)
Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + t = 2 - 2t'}\\{2 + 3t = - 2 + t'}\\{3 - t = 1 + 3t'}\end{array}} \right.\)
Từ phương trình thứ nhất:
\(t = 1 - 2t'\)
Thay vào phương trình thứ hai:
\(2 + 3(1 - 2t') = - 2 + t'\quad \Rightarrow \quad 5 - 6t' = - 2 + t'\quad \Rightarrow \quad 7 = 7t'\quad \Rightarrow \quad t' = 1\)
Thay \(t' = 1\) vào \(t = 1 - 2t'\), ta có \(t = - 1\). Thay \(t = - 1\) và \(t' = 1\) vào phương trình thứ ba:
\(3 - ( - 1) = 1 + 3(1)\quad \Rightarrow \quad 4 = 4\)
Điều này đúng.
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau tại điểm \((x,y,z) = (0, - 1,4)\).
c)
- Vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow {{u_d}} = (2,1,3)\).
- Vectơ chỉ phương của \(d'\) là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = (1,2,3)\).
\(\frac{2}{1} \ne \frac{1}{2} \ne \frac{3}{3}\)
Do đó, \(d\) và \(d'\) không song song.
Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 2t = 2 + t'}\\{2 + t = - 3 + 2t'}\\{ - 3 + 3t = 1 + 3t'}\end{array}} \right.\)
Từ phương trình thứ nhất: \(t' = 2t - 1\). Thay vào phương trình thứ hai: \(t = \frac{7}{3}\), \(t' = \frac{{11}}{3}\). Thay vào phương trình thứ ba: Điều này sai
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tìm hai đường thẳng vuông góc nhau trong ba đường thẳng sau đây: \({d_1}:\frac{{x - 5}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}},\quad {d_2}:\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 1}}{6},\quad {d_3}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y = 3}\\{z = 4 - t}\end{array}} \right.\)
Phương pháp giải:
- Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng \({d_1},{d_2}\) và \({d_3}\).
- Kiểm tra tích vô hướng giữa các cặp vectơ chỉ phương để tìm ra hai đường thẳng vuông góc.
Lời giải chi tiết:
- Đường thẳng \({d_1}\): vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = (1,2, - 2)\).
- Đường thẳng \({d_2}\): vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = ( - 3,1,6)\).
- Đường thẳng \({d_3}\): vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_3}} = ( - 2,0, - 1)\).
- Tích vô hướng giữa \(\overrightarrow {{u_1}} = (1,2, - 2)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = ( - 3,1,6)\):
\(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} = 1 \cdot ( - 3) + 2 \cdot 1 + ( - 2) \cdot 6 = - 3 + 2 - 12 = - 13\quad ({\rm{kh\^o ng vu\^o ng g\'o c}}).\)
- Tích vô hướng giữa \(\overrightarrow {{u_1}} = (1,2, - 2)\) và \(\overrightarrow {{u_3}} = ( - 2,0, - 1)\):
\(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = 1 \cdot ( - 2) + 2 \cdot 0 + ( - 2) \cdot ( - 1) = - 2 + 0 + 2 = 0\quad ({\rm{vu\^o ng g\'o c}}).\)
- Tích vô hướng giữa \(\overrightarrow {{u_2}} = ( - 3,1,6)\) và \(\overrightarrow {{u_3}} = ( - 2,0, - 1)\):
\(\overrightarrow {{u_2}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = ( - 3) \cdot ( - 2) + 1 \cdot 0 + 6 \cdot ( - 1) = 6 + 0 - 6 = 0\quad ({\rm{vu\^o ng g\'o c}}).\)
- Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_3}\) vuông góc với nhau (do \(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = 0\)).
- Hai đường thẳng \({d_2}\) và \({d_3}\) cũng vuông góc với nhau (do \(\overrightarrow {{u_2}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = 0\)).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian, cho hai đường thẳng a và a' lần lượt là giá của hai vectơ (khác \(\overrightarrow 0 \)) \(\vec a\) và \(\vec a'\) (Hình 5.21). Từ một điểm A bất kỳ, vẽ hai đường thẳng d và d' lần lượt song song với a và a'.
a) Hỏi a và a' có phải lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d' không? Vì sao?
b) Nếu \(d \bot d'\), thì \(\vec a\) và \(\vec a'\) có vuông góc nhau không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Hai đường thẳng vuông góc nếu và chỉ nếu tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương tương ứng bằng 0, nghĩa là:
\(\vec a \cdot \vec a' = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ chỉ phương của d và d' là lần lượt \(\vec a\) và \(\vec a'\) vì các đường thẳng được kẻ song song với đường thẳng gốc a và a'.
b) Nếu \(d \bot d'\), thì \(\vec a\) và \(\vec a'\) có vuông góc nhau. Điều này đúng vì tính vuông góc của hai đường thẳng tương ứng với tính vuông góc của hai vectơ chỉ phương, nghĩa là:
\(\vec a \cdot \vec a' = 0\)
Trả lời câu hỏi vận dụng 2 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz cho trước (1 đơn vị = 1 cm), có một chú kiến vàng và một chú kiến đen bò trên hai sợi dây thẳng khác nhau. Giả sử tại thời điểm \(t\) (tính bằng phút), kiến vàng ở vị trí \((6 + t;8 - t;3 + t)\) trên đường thẳng \({d_1}\). Cùng thời điểm đó, kiến đen ở vị trí
\((1 + t;2 + t;2t)\) trên đường thẳng \({d_2}\).
a) Chứng minh rằng hai chú kiến bò trên hai đường thẳng chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai chú kiến tại các thời điểm \(t = 0\) và \(t = 10\).
c) Hỏi tại thời điểm nào thì khoảng cách giữa hai chú kiến là nhỏ nhất? Tính khoảng cách đó.
Phương pháp giải:
a)
- Kiểm tra xem hai đường thẳng có song song không bằng cách so sánh vectơ chỉ phương.
- Kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau không bằng cách giải hệ phương trình.
b)
Tại mỗi thời điểm t, tính tọa độ hai điểm trên hai đường thẳng tương ứng.
Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian 3 chiều:
\(d = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2} + {{({z_2} - {z_1})}^2}} \)
để tính khoảng cách giữa hai điểm tại các thời điểm yêu cầu.
c)
- Biểu diễn khoảng cách giữa hai điểm dưới dạng hàm theo t.
- Sử dụng phương pháp tìm cực trị của hàm số (tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0) để tìm giá trị t tại đó khoảng cách là nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
a)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_1}\) là: \(\overrightarrow {{u_1}} = (1, - 1,1)\).
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_2}\) là: \(\overrightarrow {{u_2}} = (1,1,2)\).
Ta thấy hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không song song với nhau vì không có tỉ lệ giữa các tọa độ của hai vectơ. Vậy hai đường thẳng không song song.
Để kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau không, ta viết phương trình vị trí của hai điểm trên đường thẳng:
- Với \({d_1}\), điểm có tọa độ: \({M_1}(6 + t,8 - t,3 + t)\).
- Với \({d_2}\), điểm có tọa độ: \({M_2}(1 + t,2 + t,2t)\).
Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6 + t = 1 + t}\\{8 - t = 2 + t}\\{3 + t = 2t}\end{array}} \right.\)
Hệ phương trình này không có nghiệm. Do đó, hai đường thẳng không cắt nhau nên hai đường thẳng chéo nhau.
b)
Tại \(t = 0\), tọa độ của hai chú kiến là:
- Kiến vàng: \({M_1}(6,8,3)\).
- Kiến đen: \({M_2}(1,2,0)\).
Khoảng cách giữa hai chú kiến:
\(d = \sqrt {{{(1 - 6)}^2} + {{(2 - 8)}^2} + {{(0 - 3)}^2}} = \sqrt {25 + 36 + 9} = \sqrt {70} \approx 8.37{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)
Tại \(t = 10\), tọa độ của hai chú kiến là:
- Kiến vàng: \({M_1}(16, - 2,13)\).
- Kiến đen: \({M_2}(11,12,20)\).
Khoảng cách giữa hai chú kiến:
\(d = \sqrt {{{(11 - 16)}^2} + {{(12 + 2)}^2} + {{(20 - 13)}^2}} = \sqrt {25 + 196 + 49} = \sqrt {270} \approx 16.43{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)
c)
Khoảng cách giữa hai chú kiến là hàm số:
\(d(t) = \sqrt {{{(1 + t - (6 + t))}^2} + {{(2 + t - (8 - t))}^2} + {{(2t - (3 + t))}^2}} .\)
Rút gọn biểu thức:
\(d(t) = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {{( - 6 + 2t)}^2} + {{(t - 3)}^2}} = \sqrt {25 + {{( - 6 + 2t)}^2} + {{(t - 3)}^2}} .\)
\(d(t) = \sqrt {25 + (4{t^2} - 24t + 36) + ({t^2} - 6t + 9)} = \sqrt {5{t^2} - 30t + 70} .\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(d(t)\) bằng cách tính đạo hàm:
\(d'(t) = \frac{1}{{2\sqrt {5{t^2} - 30t + 70} }}(10t - 30) = 0.\)
Giải phương trình: \(10t - 30 = 0\) cho \(t = 3\). Thay \(t = 3\) vào biểu thức khoảng cách:
\(d(3) = \sqrt {5{{(3)}^2} - 30(3) + 70} = \sqrt {45 - 90 + 70} = \sqrt {25} = 5{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)
Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa hai chú kiến là 5 cm tại thời điểm \(t = 3\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 59 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hai đường thẳng d và d’ có các vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \), \({M_0} \in d\) như Hình 5.20.
Chọn các cụm từ thích hợp (song song, cắt nhau, chéo nhau, trùng nhau, cùng phương, không cùng phương, không có điểm chung, đúng một điểm chung, nhiều hơn một điểm chung cho các ô 
trong bảng sau:
Phương pháp giải:
- Song song: Hai đường thẳng song song nếu chúng cùng phương nhưng không cắt nhau.
- Cắt nhau: Hai đường thẳng cắt nhau nếu chúng giao nhau tại một điểm và không cùng phương.
- Chéo nhau: Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trên một mặt phẳng và không giao nhau.
- Trùng nhau: Hai đường thẳng trùng nhau nếu chúng cùng phương và có vô số điểm chung.
- Cùng phương: Hai đường thẳng cùng phương nếu vectơ chỉ phương của chúng cùng phương hoặc song song.
Lời giải chi tiết:
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 59 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hai đường thẳng d và d’ có các vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \), \({M_0} \in d\) như Hình 5.20.
Chọn các cụm từ thích hợp (song song, cắt nhau, chéo nhau, trùng nhau, cùng phương, không cùng phương, không có điểm chung, đúng một điểm chung, nhiều hơn một điểm chung cho các ô 
trong bảng sau:
Phương pháp giải:
- Song song: Hai đường thẳng song song nếu chúng cùng phương nhưng không cắt nhau.
- Cắt nhau: Hai đường thẳng cắt nhau nếu chúng giao nhau tại một điểm và không cùng phương.
- Chéo nhau: Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trên một mặt phẳng và không giao nhau.
- Trùng nhau: Hai đường thẳng trùng nhau nếu chúng cùng phương và có vô số điểm chung.
- Cùng phương: Hai đường thẳng cùng phương nếu vectơ chỉ phương của chúng cùng phương hoặc song song.
Lời giải chi tiết:
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - t}\\{y = 4 + t}\\{z = 5 - 2t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 3t'}\\{y = 5 + 3t'}\\{z = 3 - 6t'}\end{array}} \right.\quad (t' \in \mathbb{R}){\rm{ }}\)
b) \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\)
c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 3 + 3t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R}){\rm{ }}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}{\rm{ }}\)
Phương pháp giải:
- Hai đường thẳng song song: Nếu chúng có vectơ chỉ phương cùng phương và không có điểm chung.
- Hai đường thẳng cắt nhau: Nếu chúng không cùng phương và có duy nhất một điểm chung.
- Hai đường thẳng chéo nhau: Nếu chúng không nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
- Hai đường thẳng trùng nhau: Nếu chúng cùng phương và có vô số điểm chung.
Lời giải chi tiết:
a)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): \(\overrightarrow {{u_d}} = ( - 1;1; - 2)\)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng\(d'\): \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = ( - 3;3; - 6)\)
Nhận thấy: \(\overrightarrow {{u_d}} = k\overrightarrow {{u_{d'}}} \) với \(k = \frac{1}{3}\)
Vậy hai đường thẳng song song.
b)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): \(\overrightarrow {{u_d}} = (1;3; - 1)\)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng\(d'\): \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = ( - 2;1;3)\)
Nhận thấy không tồn tại giá trị k để \(\overrightarrow {{u_d}} = k\overrightarrow {{u_{d'}}} \) và \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 1.( - 2) + 3.1 + ( - 1).3 = - 2 \ne 0\) nên hai đường thẳng không song song cũng không vuông góc.
Để kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau không, ta giải hệ phương trình tham số từ hai đường thẳng.
Phương trình tham số của \(d\):
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\quad {\rm{hay}}\quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\quad \quad t \in \mathbb{R}\)
Phương trình tham số của \(d'\)
\(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\quad {\rm{hay}}\quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 2t'}\\{y = - 2 + t'}\\{z = 1 + 3t'}\end{array}} \right.\quad \quad t' \in \mathbb{R}\)
Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + t = 2 - 2t'}\\{2 + 3t = - 2 + t'}\\{3 - t = 1 + 3t'}\end{array}} \right.\)
Từ phương trình thứ nhất:
\(t = 1 - 2t'\)
Thay vào phương trình thứ hai:
\(2 + 3(1 - 2t') = - 2 + t'\quad \Rightarrow \quad 5 - 6t' = - 2 + t'\quad \Rightarrow \quad 7 = 7t'\quad \Rightarrow \quad t' = 1\)
Thay \(t' = 1\) vào \(t = 1 - 2t'\), ta có \(t = - 1\). Thay \(t = - 1\) và \(t' = 1\) vào phương trình thứ ba:
\(3 - ( - 1) = 1 + 3(1)\quad \Rightarrow \quad 4 = 4\)
Điều này đúng.
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau tại điểm \((x,y,z) = (0, - 1,4)\).
c)
- Vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow {{u_d}} = (2,1,3)\).
- Vectơ chỉ phương của \(d'\) là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = (1,2,3)\).
\(\frac{2}{1} \ne \frac{1}{2} \ne \frac{3}{3}\)
Do đó, \(d\) và \(d'\) không song song.
Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 2t = 2 + t'}\\{2 + t = - 3 + 2t'}\\{ - 3 + 3t = 1 + 3t'}\end{array}} \right.\)
Từ phương trình thứ nhất: \(t' = 2t - 1\). Thay vào phương trình thứ hai: \(t = \frac{7}{3}\), \(t' = \frac{{11}}{3}\). Thay vào phương trình thứ ba: Điều này sai
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian, cho hai đường thẳng a và a' lần lượt là giá của hai vectơ (khác \(\overrightarrow 0 \)) \(\vec a\) và \(\vec a'\) (Hình 5.21). Từ một điểm A bất kỳ, vẽ hai đường thẳng d và d' lần lượt song song với a và a'.
a) Hỏi a và a' có phải lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d' không? Vì sao?
b) Nếu \(d \bot d'\), thì \(\vec a\) và \(\vec a'\) có vuông góc nhau không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Hai đường thẳng vuông góc nếu và chỉ nếu tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương tương ứng bằng 0, nghĩa là:
\(\vec a \cdot \vec a' = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ chỉ phương của d và d' là lần lượt \(\vec a\) và \(\vec a'\) vì các đường thẳng được kẻ song song với đường thẳng gốc a và a'.
b) Nếu \(d \bot d'\), thì \(\vec a\) và \(\vec a'\) có vuông góc nhau. Điều này đúng vì tính vuông góc của hai đường thẳng tương ứng với tính vuông góc của hai vectơ chỉ phương, nghĩa là:
\(\vec a \cdot \vec a' = 0\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tìm hai đường thẳng vuông góc nhau trong ba đường thẳng sau đây: \({d_1}:\frac{{x - 5}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}},\quad {d_2}:\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 1}}{6},\quad {d_3}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y = 3}\\{z = 4 - t}\end{array}} \right.\)
Phương pháp giải:
- Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng \({d_1},{d_2}\) và \({d_3}\).
- Kiểm tra tích vô hướng giữa các cặp vectơ chỉ phương để tìm ra hai đường thẳng vuông góc.
Lời giải chi tiết:
- Đường thẳng \({d_1}\): vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = (1,2, - 2)\).
- Đường thẳng \({d_2}\): vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = ( - 3,1,6)\).
- Đường thẳng \({d_3}\): vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_3}} = ( - 2,0, - 1)\).
- Tích vô hướng giữa \(\overrightarrow {{u_1}} = (1,2, - 2)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = ( - 3,1,6)\):
\(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} = 1 \cdot ( - 3) + 2 \cdot 1 + ( - 2) \cdot 6 = - 3 + 2 - 12 = - 13\quad ({\rm{kh\^o ng vu\^o ng g\'o c}}).\)
- Tích vô hướng giữa \(\overrightarrow {{u_1}} = (1,2, - 2)\) và \(\overrightarrow {{u_3}} = ( - 2,0, - 1)\):
\(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = 1 \cdot ( - 2) + 2 \cdot 0 + ( - 2) \cdot ( - 1) = - 2 + 0 + 2 = 0\quad ({\rm{vu\^o ng g\'o c}}).\)
- Tích vô hướng giữa \(\overrightarrow {{u_2}} = ( - 3,1,6)\) và \(\overrightarrow {{u_3}} = ( - 2,0, - 1)\):
\(\overrightarrow {{u_2}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = ( - 3) \cdot ( - 2) + 1 \cdot 0 + 6 \cdot ( - 1) = 6 + 0 - 6 = 0\quad ({\rm{vu\^o ng g\'o c}}).\)
- Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_3}\) vuông góc với nhau (do \(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = 0\)).
- Hai đường thẳng \({d_2}\) và \({d_3}\) cũng vuông góc với nhau (do \(\overrightarrow {{u_2}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = 0\)).
Trả lời câu hỏi vận dụng 2 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz cho trước (1 đơn vị = 1 cm), có một chú kiến vàng và một chú kiến đen bò trên hai sợi dây thẳng khác nhau. Giả sử tại thời điểm \(t\) (tính bằng phút), kiến vàng ở vị trí \((6 + t;8 - t;3 + t)\) trên đường thẳng \({d_1}\). Cùng thời điểm đó, kiến đen ở vị trí
\((1 + t;2 + t;2t)\) trên đường thẳng \({d_2}\).
a) Chứng minh rằng hai chú kiến bò trên hai đường thẳng chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai chú kiến tại các thời điểm \(t = 0\) và \(t = 10\).
c) Hỏi tại thời điểm nào thì khoảng cách giữa hai chú kiến là nhỏ nhất? Tính khoảng cách đó.
Phương pháp giải:
a)
- Kiểm tra xem hai đường thẳng có song song không bằng cách so sánh vectơ chỉ phương.
- Kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau không bằng cách giải hệ phương trình.
b)
Tại mỗi thời điểm t, tính tọa độ hai điểm trên hai đường thẳng tương ứng.
Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian 3 chiều:
\(d = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2} + {{({z_2} - {z_1})}^2}} \)
để tính khoảng cách giữa hai điểm tại các thời điểm yêu cầu.
c)
- Biểu diễn khoảng cách giữa hai điểm dưới dạng hàm theo t.
- Sử dụng phương pháp tìm cực trị của hàm số (tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0) để tìm giá trị t tại đó khoảng cách là nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
a)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_1}\) là: \(\overrightarrow {{u_1}} = (1, - 1,1)\).
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_2}\) là: \(\overrightarrow {{u_2}} = (1,1,2)\).
Ta thấy hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không song song với nhau vì không có tỉ lệ giữa các tọa độ của hai vectơ. Vậy hai đường thẳng không song song.
Để kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau không, ta viết phương trình vị trí của hai điểm trên đường thẳng:
- Với \({d_1}\), điểm có tọa độ: \({M_1}(6 + t,8 - t,3 + t)\).
- Với \({d_2}\), điểm có tọa độ: \({M_2}(1 + t,2 + t,2t)\).
Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6 + t = 1 + t}\\{8 - t = 2 + t}\\{3 + t = 2t}\end{array}} \right.\)
Hệ phương trình này không có nghiệm. Do đó, hai đường thẳng không cắt nhau nên hai đường thẳng chéo nhau.
b)
Tại \(t = 0\), tọa độ của hai chú kiến là:
- Kiến vàng: \({M_1}(6,8,3)\).
- Kiến đen: \({M_2}(1,2,0)\).
Khoảng cách giữa hai chú kiến:
\(d = \sqrt {{{(1 - 6)}^2} + {{(2 - 8)}^2} + {{(0 - 3)}^2}} = \sqrt {25 + 36 + 9} = \sqrt {70} \approx 8.37{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)
Tại \(t = 10\), tọa độ của hai chú kiến là:
- Kiến vàng: \({M_1}(16, - 2,13)\).
- Kiến đen: \({M_2}(11,12,20)\).
Khoảng cách giữa hai chú kiến:
\(d = \sqrt {{{(11 - 16)}^2} + {{(12 + 2)}^2} + {{(20 - 13)}^2}} = \sqrt {25 + 196 + 49} = \sqrt {270} \approx 16.43{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)
c)
Khoảng cách giữa hai chú kiến là hàm số:
\(d(t) = \sqrt {{{(1 + t - (6 + t))}^2} + {{(2 + t - (8 - t))}^2} + {{(2t - (3 + t))}^2}} .\)
Rút gọn biểu thức:
\(d(t) = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {{( - 6 + 2t)}^2} + {{(t - 3)}^2}} = \sqrt {25 + {{( - 6 + 2t)}^2} + {{(t - 3)}^2}} .\)
\(d(t) = \sqrt {25 + (4{t^2} - 24t + 36) + ({t^2} - 6t + 9)} = \sqrt {5{t^2} - 30t + 70} .\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(d(t)\) bằng cách tính đạo hàm:
\(d'(t) = \frac{1}{{2\sqrt {5{t^2} - 30t + 70} }}(10t - 30) = 0.\)
Giải phương trình: \(10t - 30 = 0\) cho \(t = 3\). Thay \(t = 3\) vào biểu thức khoảng cách:
\(d(3) = \sqrt {5{{(3)}^2} - 30(3) + 70} = \sqrt {45 - 90 + 70} = \sqrt {25} = 5{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)
Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa hai chú kiến là 5 cm tại thời điểm \(t = 3\).
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập trong mục này là rất cần thiết để chuẩn bị cho các kỳ thi sắp tới. Loigiai.com.vn sẽ cung cấp cho bạn lời giải chi tiết cho từng bài tập, giúp bạn hiểu rõ bản chất của vấn đề và cách giải quyết.
Trang 59 thường chứa các bài tập áp dụng kiến thức lý thuyết đã học. Các bài tập này có thể yêu cầu bạn tính toán, chứng minh hoặc giải phương trình. Chúng tôi sẽ trình bày lời giải từng bước một, kèm theo các giải thích rõ ràng để bạn dễ dàng theo dõi.
Các bài tập trang 60 có thể nâng cao độ khó hơn so với trang 59, đòi hỏi bạn phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học. Chúng tôi sẽ cung cấp các phương pháp giải khác nhau để bạn có thể lựa chọn cách phù hợp nhất.
Trang 61 thường chứa các bài tập liên quan đến ứng dụng thực tế của kiến thức đã học. Chúng tôi sẽ giúp bạn hiểu rõ cách áp dụng toán học vào giải quyết các vấn đề trong đời sống.
Các bài tập trang 62 có thể yêu cầu bạn kết hợp nhiều kiến thức khác nhau để giải quyết. Chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách phân tích bài toán và tìm ra phương pháp giải phù hợp.
Trang 63 thường chứa các bài tập tổng hợp, giúp bạn ôn lại kiến thức đã học trong mục 2. Chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và đầy đủ để bạn có thể tự tin làm bài.
Loigiai.com.vn là một website học toán online uy tín, được nhiều học sinh tin tưởng. Chúng tôi cung cấp:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn hữu ích trên Loigiai.com.vn, bạn sẽ học tốt môn Toán 12 tập 2 và đạt được kết quả cao trong các kỳ thi. Chúc bạn thành công!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
