Loigiai.com.vn xin giới thiệu bộ giải bài tập Toán 12 tập 2, đặc biệt là phần Giải mục 2 trang 43, 44, 45, 46. Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Mục tiêu của chúng tôi là hỗ trợ tối đa cho học sinh trong quá trình học tập môn Toán, đồng thời giúp các em tiết kiệm thời gian và công sức.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\). Gọi \(M(x;y;z)\) là một điểm tùy ý (Hình 5.5). Hãy điền các kí tự thích hợp vào \(?\). Điều kiện cần và đủ để điểm \(M(x;y;z)\) thuộc \((\alpha )\) là: \(\vec n \cdot \overrightarrow {{M_0}M} = ?\) Hay: \(A(x - ?) + B(y - ?) + C(z - ?) = 0\) (*) Đặt \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\) thì phương trình (*) trở thành: \(?x + ?y + ?z + D = 0\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 44 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tìm một vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng sau:
a) \((\alpha ):x - 5y + 2 = 0;\)
b) \((\beta ):2y + 3 = 0.\)
Phương pháp giải:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec n = (A,B,C)\), trong đó \(A\), \(B\), \(C\) là các hệ số của \(x\), \(y\), \(z\) trong phương trình.
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng \((\alpha ):x - 5y + 2 = 0\).
So sánh với phương trình tổng quát \(Ax + By + Cz + D = 0\), ta có:
\(A = 1,\quad B = - 5,\quad C = 0\)
Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là:
\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (1, - 5,0)\)
b) Mặt phẳng \((\beta ):2y + 3 = 0\).
So sánh với phương trình tổng quát \(Ax + By + Cz + D = 0\), ta có:
\(A = 0,\quad B = 2,\quad C = 0\)
Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\beta )\) là:
\(\overrightarrow {{n_\beta }} = (0,2,0)\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 44 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(M(1;1;1)\), \(N(4;3;2)\), \(P(5;2;1)\). Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \(P\) và vuông góc với \(MN\).
Phương pháp giải:
- Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(MN\) bằng cách lấy hiệu tọa độ của \(N\) và \(M\):
\(\overrightarrow {MN} = N - M\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là chính vectơ chỉ phương của đường thẳng \(MN\), vì mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này.
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \(P({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\) có dạng:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\).
Lời giải chi tiết:
Tính vectơ chỉ phương của \(MN\):
\(\overrightarrow {MN} = N - M = (4 - 1,3 - 1,2 - 1) = (3,2,1)\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là \(\vec n = (3,2,1)\).
Phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \(P(5;2;1)\) có dạng:
\(3(x - 5) + 2(y - 2) + 1(z - 1) = 0\)
Khai triển biểu thức trên:
\(3x - 15 + 2y - 4 + z - 1 = 0\)
\(3x + 2y + z - 20 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) là:
\(3x + 2y + z - 20 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 44 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(2; - 1;3)\) và có cặp vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;1; - 2)\), \(\vec b = (2; - 1;0)\).
a) Tìm \([\vec a,\vec b]\), và một vectơ pháp tuyến của \((P)\)
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((P)\).
Phương pháp giải:
- Tính tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\). Công thức tính tích có hướng:
\(\vec n = \vec a \times \vec b = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})\)
- Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\).
Lời giải chi tiết:
Tính tích có hướng \(\vec n = \vec a \times \vec b\):
\(\vec n = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\2&1&{ - 2}\\2&{ - 1}&0\end{array}} \right|\)
Tính từng bước:
\(\vec n = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\{ - 1}&0\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 2}\\2&0\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\2&{ - 1}\end{array}} \right|\)
\( = {\bf{i}}(1 \cdot 0 - ( - 2) \cdot ( - 1)) - {\bf{j}}(2 \cdot 0 - ( - 2) \cdot 2) + {\bf{k}}(2 \cdot ( - 1) - 1 \cdot 2)\)
\( = {\bf{i}}(0 - 2) - {\bf{j}}(0 + 4) + {\bf{k}}( - 2 - 2)\)
\( = ( - 2, - 4, - 4)\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là:
\(\vec n = ( - 2, - 4, - 4)\)
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(2; - 1;3)\):
\( - 2(x - 2) - 4(y + 1) - 4(z - 3) = 0\)
Khai triển:
\( - 2x + 4 - 4y - 4 - 4z + 12 = 0\)
\( - 2x - 4y - 4z + 12 = 0\)
Chia cả hai vế cho \( - 2\):
\(x + 2y + 2z - 6 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng \((P)\) là:
\(x + 2y + 2z - 6 = 0\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 45 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\vec a = (1; - 2;3)\), \(\vec b = (3;2; - 1)\), \(\vec c = ( - 2;4; - 6)\) và điểm \(A(4;1;0)\). Viết phương trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua \(A\) và nhận hai trong ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) làm cặp vectơ chỉ phương.
Phương pháp giải:
1. Chọn hai vectơ chỉ phương từ ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\).
2. Tìm tích có hướng của hai vectơ đã chọn để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
3. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm \(A({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\):
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\).
Lời giải chi tiết:
- Mặt phẳng thứ nhất chứa \(\vec a\) và \(\vec b\):
Tích có hướng của \(\vec a\) và \(\vec b\):
\({\vec n_1} = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&3\\2&{ - 1}\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\3&{ - 1}\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\3&2\end{array}} \right|\)
\( = {\bf{i}}(\left( { - 2} \right) \cdot ( - 1) - 3 \cdot 2) - {\bf{j}}(1 \cdot ( - 1) - 3 \cdot 3) + {\bf{k}}(1 \cdot 2 - ( - 2) \cdot 3)\)
\( = {\bf{i}}( - 2 - 6) - {\bf{j}}( - 1 - 9) + {\bf{k}}(2 + 6)\)
\( = ( - 4,10,8)\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 1 là \({\vec n_1} = ( - 4,10,8)\). 2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng 1 đi qua điểm \(A(4;1;0)\):
\( - 4(x - 4) + 10(y - 1) + 8(z - 0) = 0\)
\( - 4x + 16 + 10y - 10 + 8z = 0\)
\( - 4x + 10y + 8z + 6 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng thứ nhất là:
\( - 4x + 10y + 8z + 6 = 0\)
- Mặt phẳng thứ hai chứa \(\vec a\) và \(\vec c\):
Tích có hướng của \(\vec a\) và \(\vec c\):
\({\vec n_2} = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&3\\4&{ - 6}\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\{ - 2}&{ - 6}\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\{ - 2}&4\end{array}} \right|\)
\( = {\bf{i}}(( - 2) \cdot ( - 6) - 3 \cdot 4) - {\bf{j}}(1 \cdot ( - 6) - 3 \cdot ( - 2)) + {\bf{k}}(1 \cdot 4 - ( - 2) \cdot ( - 2))\)
\( = {\bf{i}}(12 - 12) - {\bf{j}}( - 6 + 6) + {\bf{k}}(4 - 4)\)
\( = (0,0,0)\)
Kết quả cho thấy hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec c\) cùng phương, nên không tạo thành mặt phẳng mới. Chúng ta không cần xét tiếp trường hợp này.
- Mặt phẳng thứ 3 chứa \(\vec b\) và \(\vec c\):
Tích có hướng của \(\vec b\) và \(\vec c\):
\({\vec n_3} = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\4&{ - 6}\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 6}\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\{ - 2}&4\end{array}} \right|\)
\( = {\bf{i}}(2 \cdot ( - 6) - ( - 1) \cdot 4) - {\bf{j}}(3 \cdot ( - 6) - ( - 1) \cdot ( - 2)) + {\bf{k}}(3 \cdot 4 - 2 \cdot ( - 2))\)
\( = {\bf{i}}( - 12 + 4) - {\bf{j}}( - 18 - 2) + {\bf{k}}(12 + 4)\)
\( = ( - 8, - 20,16)\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 3 là \({\vec n_3} = ( - 8, - 20,16)\). 2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng 3 đi qua điểm \(A(4;1;0)\):
\( - 8(x - 4) - 20(y - 1) + 16(z - 0) = 0\)
\( - 8x + 32 - 20y + 20 + 16z = 0\)
\( - 8x - 20y + 16z + 52 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng thứ 3 là:
\( - 8x - 20y + 16z + 52 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 45 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(4; - 1;2)\), \(B(1;4; - 3)\), \(C(3; - 4;7)\).
a) Chứng minh ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng.
b) Tìm một cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\).
c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((ABC)\).
Phương pháp giải:
1. Để chứng minh ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng, tính hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \). Nếu hai vectơ này không cùng phương thì ba điểm không thẳng hàng.
2. Tìm tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
3. Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\).
Lời giải chi tiết:
a) Tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {AB} = B - A = (1 - 4,4 + 1, - 3 - 2) = ( - 3,5, - 5)\)
\(\overrightarrow {AC} = C - A = (3 - 4, - 4 + 1,7 - 2) = ( - 1, - 3,5)\)
Xét tỉ số giữa các tọa độ của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\frac{{ - 3}}{{ - 1}} = 3,\quad \frac{5}{{ - 3}} = - \frac{5}{3},\quad \frac{{ - 5}}{5} = - 1\)
Các tỉ số không bằng nhau, nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương. Do đó, ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng.
b) Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\vec n = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 5}\\{ - 3}&5\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&{ - 5}\\{ - 1}&5\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&5\\{ - 1}&{ - 3}\end{array}} \right|\)
\( = {\bf{i}}(5 \cdot 5 - ( - 5) \cdot ( - 3)) - {\bf{j}}(( - 3) \cdot 5 - ( - 5) \cdot ( - 1)) + {\bf{k}}(( - 3) \cdot ( - 3) - 5 \cdot ( - 1))\)
\( = {\bf{i}}(25 - 15) - {\bf{j}}(( - 15 - 5)) + {\bf{k}}(9 + 5)\)
\( = (10,20,14)\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là \(\vec n = (10,20,14)\).
c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm \(A(4; - 1;2)\):
\(10(x - 4) + 20(y + 1) + 14(z - 2) = 0\)
\(10x - 40 + 20y + 20 + 14z - 28 = 0\)
\(10x + 20y + 14z - 48 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng \((ABC)\) là:
\(10x + 20y + 14z - 48 = 0\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 46 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A(4;0;0)\), \(B(0; - 5;0)\), \(C(0;0;6)\), \(D( - 5;3;4)\). Viết phương trình các mặt phẳng \((ABC)\), \((BCD)\), \((ABD)\), \((ACD)\).
Phương pháp giải:
1. Xác định các vectơ chỉ phương từ các điểm đã cho. Ví dụ, để viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\), ta tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng cách lấy tích có hướng của hai vectơ chỉ phương vừa tìm được.
3. Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \((A,B,C)\) là tọa độ của vectơ pháp tuyến và \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\), trong đó \(({x_0},{y_0},{z_0})\) là tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
1. Phương trình mặt phẳng \((ABC)\):
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {AB} = B - A = (0 - 4, - 5 - 0,0 - 0) = ( - 4, - 5,0)\)
\(\overrightarrow {AC} = C - A = (0 - 4,0 - 0,6 - 0) = ( - 4,0,6)\)
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\left( {( - 5).6 - 0.0,0.( - 4) - ( - 4).6,( - 4).0 - ( - 5).( - 4)} \right)\)
\( = ( - 30,24, - 20)\)
Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là:
\( - 30(x - 4) + 24(y - 0) - 20(z - 0) = 0\)
\( - 30x + 120 + 24y - 20z = 0\)
\(30x - 24y + 20z = 120\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là:
\(30x - 24y + 20z = 120\)
2. Phương trình mặt phẳng \((BCD)\):
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BD} \):
\(\overrightarrow {BC} = C - B = (0 - 0,0 - ( - 5),6 - 0) = (0,5,6)\)
\(\overrightarrow {BD} = D - B = ( - 5 - 0,3 - ( - 5),4 - 0) = ( - 5,8,4)\)
Tích có hướng của \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BD} \):
\(\left( {5.4 - 6.8,6.( - 5) - 0.4,0.8 - ( - 5).5} \right)\)
\( = ( - 28, - 30,25)\)
Phương trình mặt phẳng \((BCD)\) là:
\( - 28(x - 0) - 30(y + 5) + 25(z - 0) = 0\)
\( - 28x - 30y - 150 + 25z = 0\)
\(28x + 30y - 25z = - 150\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((BCD)\) là:
\(28x + 30y - 25z = - 150\)
3. Phương trình mặt phẳng \((ABD)\):
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\overrightarrow {AB} = ( - 4, - 5,0)\)
\(\overrightarrow {AD} = D - A = ( - 5 - 4,3 - 0,4 - 0) = ( - 9,3,4)\)
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\left( {( - 5).4 - 0.3,\,\,0.( - 9) - ( - 4).4,\,\,( - 4).3 - ( - 5).( - 9)} \right)\)
\( = ( - 20,16, - 57)\)
Phương trình mặt phẳng \((ABD)\) là:
\( - 20(x - 4) + 16(y - 0) - 57(z - 0) = 0\)
\( - 20x + 80 + 16y - 57z = 0\)
\(20x - 16y + 57z = 80\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((ABD)\) là:
\(20x - 16y + 57z = 80\)
4. Phương trình mặt phẳng \((ACD)\):
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\overrightarrow {AC} = ( - 4,0,6)\)
\(\overrightarrow {AD} = ( - 9,3,4)\)
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\left( {0.4 - 6.3,\,\,6.( - 9) - ( - 4).4,\,\,( - 4).3 - 0.( - 9)} \right)\)
\(( - 18, - 38, - 12)\)
Phương trình mặt phẳng \((ACD)\) là:
\( - 18(x - 4) - 38(y - 0) - 12(z - 0) = 0\)
\( - 18x + 72 - 38y - 12z = 0\)
\(18x + 38y + 12z = 72\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((ACD)\) là:
\(18x + 38y + 12z = 72\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 43 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\). Gọi \(M(x;y;z)\) là một điểm tùy ý (Hình 5.5). Hãy điền các kí tự thích hợp vào \(?\). Điều kiện cần và đủ để điểm \(M(x;y;z)\) thuộc \((\alpha )\) là:
\(\vec n \cdot \overrightarrow {{M_0}M} = ?\)
Hay:
\(A(x - ?) + B(y - ?) + C(z - ?) = 0\) (*)
Đặt \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\) thì phương trình (*) trở thành:
\(?x + ?y + ?z + D = 0\)
Phương pháp giải:
Để xác định phương trình mặt phẳng, ta cần biết một điểm thuộc mặt phẳng \(({x_0},{y_0},{z_0})\) và một vectơ pháp tuyến \((A,B,C)\). Sử dụng công thức tổng quát của phương trình mặt phẳng:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
Một điểm \(M(x;y;z)\) nằm trên mặt phẳng khi và chỉ khi thay tọa độ của điểm đó vào phương trình mặt phẳng, vế trái bằng 0.
Lời giải chi tiết:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\):
Giả sử mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\). Phương trình mặt phẳng là:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc dưới dạng khác:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với:
\(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\)
Ý nghĩa điều kiện \(\vec n \cdot \overrightarrow {{M_0}M} = 0\):
Điều kiện này biểu diễn rằng tích vô hướng giữa vectơ pháp tuyến \(\vec n\) và vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) (nối từ \({M_0}\) đến một điểm bất kỳ \(M\)) bằng 0, có nghĩa là hai vectơ này vuông góc, đảm bảo rằng điểm \(M\) nằm trên mặt phẳng.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 46 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một phần sân nhà bác An có dạng hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(B\) với độ dài \(AB = 9{\mkern 1mu} m\), \(AD = 5{\mkern 1mu} m\) và \(BC = 6{\mkern 1mu} m\) như Hình 5.9. Theo thiết kế ban đầu thì mặt sân bằng phẳng và các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) có độ cao như nhau. Sau đó bác An thay đổi thiết kế để nước có thể thoát về phía góc sân ở vị trí \(C\) bằng cách giữ nguyên độ cao ở \(A\), giảm độ cao của sân ở vị trí \(B\) và \(D\) xuống thấp hơn độ cao ở \(A\) lần lượt là \(6{\mkern 1mu} cm\) và \(3,6{\mkern 1mu} cm\). Để mặt sân sau khi lát gạch vẫn là bề mặt phẳng thì bác An cần phải giảm độ cao ở \(C\) xuống bao nhiêu centimet so với độ cao ở \(A\)?
Phương pháp giải:
- Ta coi các độ cao là tọa độ \(z\) của các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) trong không gian. Do độ cao của điểm \(A\) không thay đổi, ta đặt \({z_A} = 0\). Giả sử các tọa độ khác của các điểm là tọa độ trong mặt phẳng \(Oxy\), ta có:
\(A(0;0;0),\quad B(9;0; - 0,06),\quad D(0;5; - 0,036),\quad C({x_C};{y_C};{z_C})\)
- Xác định phương trình mặt phẳng chứa các điểm \(A\), \(B\), \(D\) (vì mặt phẳng này là phẳng nên tọa độ \(z\) của \(C\) phải thỏa mãn phương trình này).
- Tìm tọa độ \({z_C}\) bằng cách giải hệ phương trình.
Lời giải chi tiết:
Gọi độ cao của các điểm \(A,B,C,D\)lần lượt là \({z_A}\), \({z_B}\), \({z_C}\), \({z_D}\). Theo đề bài, ta có:
\({z_A} = {z_B} = {z_D} = 0.\)
Sau khi điều chỉnh, độ cao của các điểm \(B,D\) được thay đổi như sau:
\({z_B} = - 0,06{\mkern 1mu} {\rm{m}},\quad {z_D} = - 0,036{\mkern 1mu} {\rm{m}}.\)
Để mặt sân sau khi lát gạch là một mặt phẳng, ta cần lập phương trình mặt phẳng \((ABCD)\) đi qua ba điểm \(A(0;0;0)\), \(B(9;0; - 0,06)\), \(D(0;5; - 0,036)\). Phương trình mặt phẳng có dạng:
\(Ax + By + Cz + D = 0.\)
Vì mặt phẳng đi qua \(A(0;0;0)\), thay \(A(0;0;0)\) vào phương trình ta được:
\(D = 0.\)
Do đó, phương trình mặt phẳng có dạng:
\(Ax + By + Cz = 0.\)
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\overrightarrow {AB} = (9;0; - 0,06)\)
\(\overrightarrow {AD} = \left( {0;5; - 0,036} \right)\)
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\left( {0.( - 0,036) - ( - 0,06).5;( - 0,06).0 - 9.( - 0,036);9.5 - 0.0} \right)\)
\( = (0,3;0,324;45)\)
Ta có phương trình mặt phẳng:
\(0,3x + 0,324y + 45z = 0\)
Thay tọa độ \(C(9;6;{z_C})\) vào phương trình:
\(0,3.(9) + 0,324.(6) + 45{z_C} = 0\)
\(2,7 + 1,944 + 45{z_C} = 0\)
\({z_C} = - 0,1032{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
Vậy độ cao của điểm \(C\) cần giảm là:
\({z_C} = - 0.1032{\mkern 1mu} {\rm{m}} = - 10.32{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)
Bác An cần hạ độ cao của điểm \(C\) xuống khoảng \(10.32{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\) so với độ cao của điểm \(A\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 43 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\). Gọi \(M(x;y;z)\) là một điểm tùy ý (Hình 5.5). Hãy điền các kí tự thích hợp vào \(?\). Điều kiện cần và đủ để điểm \(M(x;y;z)\) thuộc \((\alpha )\) là:
\(\vec n \cdot \overrightarrow {{M_0}M} = ?\)
Hay:
\(A(x - ?) + B(y - ?) + C(z - ?) = 0\) (*)
Đặt \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\) thì phương trình (*) trở thành:
\(?x + ?y + ?z + D = 0\)
Phương pháp giải:
Để xác định phương trình mặt phẳng, ta cần biết một điểm thuộc mặt phẳng \(({x_0},{y_0},{z_0})\) và một vectơ pháp tuyến \((A,B,C)\). Sử dụng công thức tổng quát của phương trình mặt phẳng:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
Một điểm \(M(x;y;z)\) nằm trên mặt phẳng khi và chỉ khi thay tọa độ của điểm đó vào phương trình mặt phẳng, vế trái bằng 0.
Lời giải chi tiết:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\):
Giả sử mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\). Phương trình mặt phẳng là:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc dưới dạng khác:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với:
\(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\)
Ý nghĩa điều kiện \(\vec n \cdot \overrightarrow {{M_0}M} = 0\):
Điều kiện này biểu diễn rằng tích vô hướng giữa vectơ pháp tuyến \(\vec n\) và vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) (nối từ \({M_0}\) đến một điểm bất kỳ \(M\)) bằng 0, có nghĩa là hai vectơ này vuông góc, đảm bảo rằng điểm \(M\) nằm trên mặt phẳng.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 44 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tìm một vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng sau:
a) \((\alpha ):x - 5y + 2 = 0;\)
b) \((\beta ):2y + 3 = 0.\)
Phương pháp giải:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec n = (A,B,C)\), trong đó \(A\), \(B\), \(C\) là các hệ số của \(x\), \(y\), \(z\) trong phương trình.
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng \((\alpha ):x - 5y + 2 = 0\).
So sánh với phương trình tổng quát \(Ax + By + Cz + D = 0\), ta có:
\(A = 1,\quad B = - 5,\quad C = 0\)
Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là:
\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (1, - 5,0)\)
b) Mặt phẳng \((\beta ):2y + 3 = 0\).
So sánh với phương trình tổng quát \(Ax + By + Cz + D = 0\), ta có:
\(A = 0,\quad B = 2,\quad C = 0\)
Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\beta )\) là:
\(\overrightarrow {{n_\beta }} = (0,2,0)\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 44 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(M(1;1;1)\), \(N(4;3;2)\), \(P(5;2;1)\). Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \(P\) và vuông góc với \(MN\).
Phương pháp giải:
- Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(MN\) bằng cách lấy hiệu tọa độ của \(N\) và \(M\):
\(\overrightarrow {MN} = N - M\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là chính vectơ chỉ phương của đường thẳng \(MN\), vì mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này.
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \(P({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\) có dạng:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\).
Lời giải chi tiết:
Tính vectơ chỉ phương của \(MN\):
\(\overrightarrow {MN} = N - M = (4 - 1,3 - 1,2 - 1) = (3,2,1)\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là \(\vec n = (3,2,1)\).
Phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \(P(5;2;1)\) có dạng:
\(3(x - 5) + 2(y - 2) + 1(z - 1) = 0\)
Khai triển biểu thức trên:
\(3x - 15 + 2y - 4 + z - 1 = 0\)
\(3x + 2y + z - 20 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) là:
\(3x + 2y + z - 20 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 44 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(2; - 1;3)\) và có cặp vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;1; - 2)\), \(\vec b = (2; - 1;0)\).
a) Tìm \([\vec a,\vec b]\), và một vectơ pháp tuyến của \((P)\)
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((P)\).
Phương pháp giải:
- Tính tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\). Công thức tính tích có hướng:
\(\vec n = \vec a \times \vec b = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})\)
- Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\).
Lời giải chi tiết:
Tính tích có hướng \(\vec n = \vec a \times \vec b\):
\(\vec n = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\2&1&{ - 2}\\2&{ - 1}&0\end{array}} \right|\)
Tính từng bước:
\(\vec n = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\{ - 1}&0\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 2}\\2&0\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\2&{ - 1}\end{array}} \right|\)
\( = {\bf{i}}(1 \cdot 0 - ( - 2) \cdot ( - 1)) - {\bf{j}}(2 \cdot 0 - ( - 2) \cdot 2) + {\bf{k}}(2 \cdot ( - 1) - 1 \cdot 2)\)
\( = {\bf{i}}(0 - 2) - {\bf{j}}(0 + 4) + {\bf{k}}( - 2 - 2)\)
\( = ( - 2, - 4, - 4)\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là:
\(\vec n = ( - 2, - 4, - 4)\)
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(2; - 1;3)\):
\( - 2(x - 2) - 4(y + 1) - 4(z - 3) = 0\)
Khai triển:
\( - 2x + 4 - 4y - 4 - 4z + 12 = 0\)
\( - 2x - 4y - 4z + 12 = 0\)
Chia cả hai vế cho \( - 2\):
\(x + 2y + 2z - 6 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng \((P)\) là:
\(x + 2y + 2z - 6 = 0\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 45 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\vec a = (1; - 2;3)\), \(\vec b = (3;2; - 1)\), \(\vec c = ( - 2;4; - 6)\) và điểm \(A(4;1;0)\). Viết phương trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua \(A\) và nhận hai trong ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) làm cặp vectơ chỉ phương.
Phương pháp giải:
1. Chọn hai vectơ chỉ phương từ ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\).
2. Tìm tích có hướng của hai vectơ đã chọn để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
3. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm \(A({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\):
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\).
Lời giải chi tiết:
- Mặt phẳng thứ nhất chứa \(\vec a\) và \(\vec b\):
Tích có hướng của \(\vec a\) và \(\vec b\):
\({\vec n_1} = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&3\\2&{ - 1}\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\3&{ - 1}\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\3&2\end{array}} \right|\)
\( = {\bf{i}}(\left( { - 2} \right) \cdot ( - 1) - 3 \cdot 2) - {\bf{j}}(1 \cdot ( - 1) - 3 \cdot 3) + {\bf{k}}(1 \cdot 2 - ( - 2) \cdot 3)\)
\( = {\bf{i}}( - 2 - 6) - {\bf{j}}( - 1 - 9) + {\bf{k}}(2 + 6)\)
\( = ( - 4,10,8)\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 1 là \({\vec n_1} = ( - 4,10,8)\). 2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng 1 đi qua điểm \(A(4;1;0)\):
\( - 4(x - 4) + 10(y - 1) + 8(z - 0) = 0\)
\( - 4x + 16 + 10y - 10 + 8z = 0\)
\( - 4x + 10y + 8z + 6 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng thứ nhất là:
\( - 4x + 10y + 8z + 6 = 0\)
- Mặt phẳng thứ hai chứa \(\vec a\) và \(\vec c\):
Tích có hướng của \(\vec a\) và \(\vec c\):
\({\vec n_2} = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&3\\4&{ - 6}\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\{ - 2}&{ - 6}\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\{ - 2}&4\end{array}} \right|\)
\( = {\bf{i}}(( - 2) \cdot ( - 6) - 3 \cdot 4) - {\bf{j}}(1 \cdot ( - 6) - 3 \cdot ( - 2)) + {\bf{k}}(1 \cdot 4 - ( - 2) \cdot ( - 2))\)
\( = {\bf{i}}(12 - 12) - {\bf{j}}( - 6 + 6) + {\bf{k}}(4 - 4)\)
\( = (0,0,0)\)
Kết quả cho thấy hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec c\) cùng phương, nên không tạo thành mặt phẳng mới. Chúng ta không cần xét tiếp trường hợp này.
- Mặt phẳng thứ 3 chứa \(\vec b\) và \(\vec c\):
Tích có hướng của \(\vec b\) và \(\vec c\):
\({\vec n_3} = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\4&{ - 6}\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 6}\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\{ - 2}&4\end{array}} \right|\)
\( = {\bf{i}}(2 \cdot ( - 6) - ( - 1) \cdot 4) - {\bf{j}}(3 \cdot ( - 6) - ( - 1) \cdot ( - 2)) + {\bf{k}}(3 \cdot 4 - 2 \cdot ( - 2))\)
\( = {\bf{i}}( - 12 + 4) - {\bf{j}}( - 18 - 2) + {\bf{k}}(12 + 4)\)
\( = ( - 8, - 20,16)\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 3 là \({\vec n_3} = ( - 8, - 20,16)\). 2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng 3 đi qua điểm \(A(4;1;0)\):
\( - 8(x - 4) - 20(y - 1) + 16(z - 0) = 0\)
\( - 8x + 32 - 20y + 20 + 16z = 0\)
\( - 8x - 20y + 16z + 52 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng thứ 3 là:
\( - 8x - 20y + 16z + 52 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 45 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(4; - 1;2)\), \(B(1;4; - 3)\), \(C(3; - 4;7)\).
a) Chứng minh ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng.
b) Tìm một cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\).
c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((ABC)\).
Phương pháp giải:
1. Để chứng minh ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng, tính hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \). Nếu hai vectơ này không cùng phương thì ba điểm không thẳng hàng.
2. Tìm tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
3. Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\).
Lời giải chi tiết:
a) Tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {AB} = B - A = (1 - 4,4 + 1, - 3 - 2) = ( - 3,5, - 5)\)
\(\overrightarrow {AC} = C - A = (3 - 4, - 4 + 1,7 - 2) = ( - 1, - 3,5)\)
Xét tỉ số giữa các tọa độ của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\frac{{ - 3}}{{ - 1}} = 3,\quad \frac{5}{{ - 3}} = - \frac{5}{3},\quad \frac{{ - 5}}{5} = - 1\)
Các tỉ số không bằng nhau, nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương. Do đó, ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng.
b) Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\vec n = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 5}\\{ - 3}&5\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&{ - 5}\\{ - 1}&5\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&5\\{ - 1}&{ - 3}\end{array}} \right|\)
\( = {\bf{i}}(5 \cdot 5 - ( - 5) \cdot ( - 3)) - {\bf{j}}(( - 3) \cdot 5 - ( - 5) \cdot ( - 1)) + {\bf{k}}(( - 3) \cdot ( - 3) - 5 \cdot ( - 1))\)
\( = {\bf{i}}(25 - 15) - {\bf{j}}(( - 15 - 5)) + {\bf{k}}(9 + 5)\)
\( = (10,20,14)\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là \(\vec n = (10,20,14)\).
c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm \(A(4; - 1;2)\):
\(10(x - 4) + 20(y + 1) + 14(z - 2) = 0\)
\(10x - 40 + 20y + 20 + 14z - 28 = 0\)
\(10x + 20y + 14z - 48 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng \((ABC)\) là:
\(10x + 20y + 14z - 48 = 0\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 46 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A(4;0;0)\), \(B(0; - 5;0)\), \(C(0;0;6)\), \(D( - 5;3;4)\). Viết phương trình các mặt phẳng \((ABC)\), \((BCD)\), \((ABD)\), \((ACD)\).
Phương pháp giải:
1. Xác định các vectơ chỉ phương từ các điểm đã cho. Ví dụ, để viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\), ta tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng cách lấy tích có hướng của hai vectơ chỉ phương vừa tìm được.
3. Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \((A,B,C)\) là tọa độ của vectơ pháp tuyến và \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\), trong đó \(({x_0},{y_0},{z_0})\) là tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
1. Phương trình mặt phẳng \((ABC)\):
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {AB} = B - A = (0 - 4, - 5 - 0,0 - 0) = ( - 4, - 5,0)\)
\(\overrightarrow {AC} = C - A = (0 - 4,0 - 0,6 - 0) = ( - 4,0,6)\)
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\left( {( - 5).6 - 0.0,0.( - 4) - ( - 4).6,( - 4).0 - ( - 5).( - 4)} \right)\)
\( = ( - 30,24, - 20)\)
Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là:
\( - 30(x - 4) + 24(y - 0) - 20(z - 0) = 0\)
\( - 30x + 120 + 24y - 20z = 0\)
\(30x - 24y + 20z = 120\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là:
\(30x - 24y + 20z = 120\)
2. Phương trình mặt phẳng \((BCD)\):
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BD} \):
\(\overrightarrow {BC} = C - B = (0 - 0,0 - ( - 5),6 - 0) = (0,5,6)\)
\(\overrightarrow {BD} = D - B = ( - 5 - 0,3 - ( - 5),4 - 0) = ( - 5,8,4)\)
Tích có hướng của \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BD} \):
\(\left( {5.4 - 6.8,6.( - 5) - 0.4,0.8 - ( - 5).5} \right)\)
\( = ( - 28, - 30,25)\)
Phương trình mặt phẳng \((BCD)\) là:
\( - 28(x - 0) - 30(y + 5) + 25(z - 0) = 0\)
\( - 28x - 30y - 150 + 25z = 0\)
\(28x + 30y - 25z = - 150\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((BCD)\) là:
\(28x + 30y - 25z = - 150\)
3. Phương trình mặt phẳng \((ABD)\):
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\overrightarrow {AB} = ( - 4, - 5,0)\)
\(\overrightarrow {AD} = D - A = ( - 5 - 4,3 - 0,4 - 0) = ( - 9,3,4)\)
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\left( {( - 5).4 - 0.3,\,\,0.( - 9) - ( - 4).4,\,\,( - 4).3 - ( - 5).( - 9)} \right)\)
\( = ( - 20,16, - 57)\)
Phương trình mặt phẳng \((ABD)\) là:
\( - 20(x - 4) + 16(y - 0) - 57(z - 0) = 0\)
\( - 20x + 80 + 16y - 57z = 0\)
\(20x - 16y + 57z = 80\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((ABD)\) là:
\(20x - 16y + 57z = 80\)
4. Phương trình mặt phẳng \((ACD)\):
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\overrightarrow {AC} = ( - 4,0,6)\)
\(\overrightarrow {AD} = ( - 9,3,4)\)
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\left( {0.4 - 6.3,\,\,6.( - 9) - ( - 4).4,\,\,( - 4).3 - 0.( - 9)} \right)\)
\(( - 18, - 38, - 12)\)
Phương trình mặt phẳng \((ACD)\) là:
\( - 18(x - 4) - 38(y - 0) - 12(z - 0) = 0\)
\( - 18x + 72 - 38y - 12z = 0\)
\(18x + 38y + 12z = 72\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((ACD)\) là:
\(18x + 38y + 12z = 72\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 46 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một phần sân nhà bác An có dạng hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(B\) với độ dài \(AB = 9{\mkern 1mu} m\), \(AD = 5{\mkern 1mu} m\) và \(BC = 6{\mkern 1mu} m\) như Hình 5.9. Theo thiết kế ban đầu thì mặt sân bằng phẳng và các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) có độ cao như nhau. Sau đó bác An thay đổi thiết kế để nước có thể thoát về phía góc sân ở vị trí \(C\) bằng cách giữ nguyên độ cao ở \(A\), giảm độ cao của sân ở vị trí \(B\) và \(D\) xuống thấp hơn độ cao ở \(A\) lần lượt là \(6{\mkern 1mu} cm\) và \(3,6{\mkern 1mu} cm\). Để mặt sân sau khi lát gạch vẫn là bề mặt phẳng thì bác An cần phải giảm độ cao ở \(C\) xuống bao nhiêu centimet so với độ cao ở \(A\)?
Phương pháp giải:
- Ta coi các độ cao là tọa độ \(z\) của các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) trong không gian. Do độ cao của điểm \(A\) không thay đổi, ta đặt \({z_A} = 0\). Giả sử các tọa độ khác của các điểm là tọa độ trong mặt phẳng \(Oxy\), ta có:
\(A(0;0;0),\quad B(9;0; - 0,06),\quad D(0;5; - 0,036),\quad C({x_C};{y_C};{z_C})\)
- Xác định phương trình mặt phẳng chứa các điểm \(A\), \(B\), \(D\) (vì mặt phẳng này là phẳng nên tọa độ \(z\) của \(C\) phải thỏa mãn phương trình này).
- Tìm tọa độ \({z_C}\) bằng cách giải hệ phương trình.
Lời giải chi tiết:
Gọi độ cao của các điểm \(A,B,C,D\)lần lượt là \({z_A}\), \({z_B}\), \({z_C}\), \({z_D}\). Theo đề bài, ta có:
\({z_A} = {z_B} = {z_D} = 0.\)
Sau khi điều chỉnh, độ cao của các điểm \(B,D\) được thay đổi như sau:
\({z_B} = - 0,06{\mkern 1mu} {\rm{m}},\quad {z_D} = - 0,036{\mkern 1mu} {\rm{m}}.\)
Để mặt sân sau khi lát gạch là một mặt phẳng, ta cần lập phương trình mặt phẳng \((ABCD)\) đi qua ba điểm \(A(0;0;0)\), \(B(9;0; - 0,06)\), \(D(0;5; - 0,036)\). Phương trình mặt phẳng có dạng:
\(Ax + By + Cz + D = 0.\)
Vì mặt phẳng đi qua \(A(0;0;0)\), thay \(A(0;0;0)\) vào phương trình ta được:
\(D = 0.\)
Do đó, phương trình mặt phẳng có dạng:
\(Ax + By + Cz = 0.\)
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\overrightarrow {AB} = (9;0; - 0,06)\)
\(\overrightarrow {AD} = \left( {0;5; - 0,036} \right)\)
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\left( {0.( - 0,036) - ( - 0,06).5;( - 0,06).0 - 9.( - 0,036);9.5 - 0.0} \right)\)
\( = (0,3;0,324;45)\)
Ta có phương trình mặt phẳng:
\(0,3x + 0,324y + 45z = 0\)
Thay tọa độ \(C(9;6;{z_C})\) vào phương trình:
\(0,3.(9) + 0,324.(6) + 45{z_C} = 0\)
\(2,7 + 1,944 + 45{z_C} = 0\)
\({z_C} = - 0,1032{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
Vậy độ cao của điểm \(C\) cần giảm là:
\({z_C} = - 0.1032{\mkern 1mu} {\rm{m}} = - 10.32{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)
Bác An cần hạ độ cao của điểm \(C\) xuống khoảng \(10.32{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\) so với độ cao của điểm \(A\).
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, ví dụ như nguyên hàm, tích phân, hoặc các bài toán về số phức. Để giải tốt các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản, các định lý và công thức liên quan.
Giả sử chúng ta cần giải bài tập tính tích phân: ∫(x^2 + 1) dx. Để giải bài này, ta sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C. Áp dụng công thức, ta có:
Vậy, ∫(x^2 + 1) dx = (x^3)/3 + x + C.
Khi giải các bài toán về số phức, học sinh cần nhớ các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia số phức, cũng như các công thức liên quan đến module và argument của số phức.
Ví dụ, để tìm nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số phức, ta có thể sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai.
Để giải nhanh các bài tập Toán 12, học sinh nên:
Toán 12 tập 2 là một phần quan trọng trong chương trình học. Để học tốt môn Toán 12, học sinh cần:
Loigiai.com.vn hy vọng rằng với bộ giải bài tập này, các em học sinh sẽ học tập tốt hơn và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Chúng tôi luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục tri thức.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
