Giải Bài Tập 2.25 Trang 82 Sgk Toán 12 Tập 1

Giải bài tập 2.25 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Giải bài tập 2.25 trang 82 SGK Toán 12 tập 1

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 2.25 trang 82 SGK Toán 12 tập 1. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

Loigiai.com.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập hiệu quả.

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh B, D, A’ tương ứng thuộc các tia Ox, Oy, Oz và AB = 1, AD = 2, AA’ = 3. a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình hộp. b) Tìm điểm E trên đường thẳng DD’ sao cho \(B'E \bot A'C'\).

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh B, D, A’ tương ứng thuộc các tia Ox, Oy, Oz và AB = 1, AD = 2, AA’ = 3.

a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình hộp.

b) Tìm điểm E trên đường thẳng DD’ sao cho \(B'E \bot A'C'\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 2.25 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 1

a) Sử dụng thông tin về các cạnh của hình hộp để xác định tọa độ của các đỉnh.

b) Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng DD’ và B’E. Sử dụng điều kiện \(B'E \bot A'C'\) để thiết lập phương trình và giải tìm tọa độ của E.

Lời giải chi tiết

Giải bài tập 2.25 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 2

a) Tọa độ các đỉnh của hình hộp chữ nhật là:

- A trùng với gốc tọa độ, tức A(0; 0; 0) .

- B thuộc tia Ox , nên B(1; 0; 0) (vì AB = 1 ).

- D thuộc tia Oy , nên D(0; 2; 0) (vì AD = 2 ).

- A’ thuộc tia Oz , nên A’(0; 0; 3) (vì AA’ = 3 ).

Các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật:

- C đối với A qua BD , tọa độ là C(1; 2; 0) .

- B’ đối với A qua A’C , tọa độ là B’(1; 0; 3) .

- D’ đối với A qua A’D , tọa độ là D’(0; 2; 3) .

- C’ đối với A qua B’D , tọa độ là C’(1; 2; 3) .

b) Tọa độ của điểm E trên đường thẳng DD’ :

- Đường thẳng DD’ có phương trình dạng:

\(x = 0,\quad y = 2,\quad z = t{\rm{.}}\) với t là tham số.

Tọa độ của E là E(0; 2; t) . Để \(B'E \bot A'C\), cần:

\(\overrightarrow {B'E} \cdot \overrightarrow {A'C} = 0\)

Tính các vectơ:

\(\overrightarrow {B'E} = (0 - 1;2 - 0;t - 3) = ( - 1;2;t - 3)\)

\(\overrightarrow {A'C} = (1 - 0;2 - 0;0 - 3) = (1;2; - 3)\)

Điều kiện vuông góc:

\(\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {A'C} = ( - 1) \times 1 + 2 \times 2 + (t - 3) \times ( - 3) = - 1 + 4 - 3t + 9 = 0\)

Giải phương trình này:

\( - 1 + 4 - 3t + 9 = 0\quad \Rightarrow \quad 12 = 3t\quad \Rightarrow \quad t = 4\)

Vậy tọa độ của E là E(0; 2; 4) .

Tự Tin Bứt Phá Kỳ Thi THPT Quốc Gia Môn Toán! Bạn muốn tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán và vào đại học mơ ước? Đừng bỏ lỡ Giải bài tập 2.25 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá đặc sắc thuộc chuyên mục toán 12 trên nền tảng học toán của chúng tôi! Với bộ toán trung học phổ thông bài tập được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa quá trình ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả. Nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào cánh cửa đại học mơ ước!

Giải bài tập 2.25 trang 82 SGK Toán 12 tập 1: Phân tích chi tiết và phương pháp giải

Bài tập 2.25 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điều kiện cực trị và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

I. Đề bài và phân tích yêu cầu

Đề bài: Cho hàm số y = f(x) = x³ - 3x² + 2. Hãy khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị.

Yêu cầu: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm bậc nhất f'(x).
Tìm các điểm tới hạn (điểm mà f'(x) = 0 hoặc không xác định).
Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng xác định để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.
Sử dụng tiêu chuẩn đạo hàm bậc hai hoặc xét dấu của f'(x) để xác định các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu).

II. Lời giải chi tiết

Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất

f'(x) = 3x² - 6x

Bước 2: Tìm các điểm tới hạn

Giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2 là các điểm tới hạn.

Bước 3: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến

Xét dấu của f'(x) trên các khoảng (-∞, 0), (0, 2), (2, +∞):

Trên khoảng (-∞, 0): Chọn x = -1, f'(-1) = 3(-1)² - 6(-1) = 9 > 0. Vậy hàm số đồng biến trên (-∞, 0).
Trên khoảng (0, 2): Chọn x = 1, f'(1) = 3(1)² - 6(1) = -3 < 0. Vậy hàm số nghịch biến trên (0, 2).
Trên khoảng (2, +∞): Chọn x = 3, f'(3) = 3(3)² - 6(3) = 9 > 0. Vậy hàm số đồng biến trên (2, +∞).

Bước 4: Xác định các điểm cực trị

Vì f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại x = 0, nên hàm số đạt cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2.

Vì f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại x = 2, nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = 8 - 12 + 2 = -2.

III. Kết luận

Hàm số y = x³ - 3x² + 2:

Đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞).
Nghịch biến trên khoảng (0, 2).
Đạt cực đại tại x = 0, với giá trị là 2.
Đạt cực tiểu tại x = 2, với giá trị là -2.

IV. Mở rộng và bài tập tương tự

Để hiểu sâu hơn về cách khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 1 và các tài liệu ôn thi THPT Quốc gia. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.

Loigiai.com.vn hy vọng rằng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về bài tập 2.25 trang 82 SGK Toán 12 tập 1. Chúc các em học tập tốt!