Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 1 trang 2, 3, 4 sách giáo khoa Toán 12 tập 2. Chúng tôi giúp bạn nắm vững kiến thức, hiểu rõ bản chất bài toán và tự tin giải các bài tập tương tự.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những lời giải chính xác, đầy đủ và được trình bày một cách khoa học.
Một hòn đá được thả rơi tự do từ miệng của một giếng cạn. Biết rằng vận tốc của hòn đá tại thời điểm t giây tính từ lúc bắt đầu thả được tính bởi v(t)=10t (m/s). a) Tìm hàm số s(t) mô tả quãng đường chuyển động (tính theo mét) của hòn đá sau t giây kể từ khi được thả. b) Tính độ sâu của giếng, biết thời gian rơi tự do của hòn đá là 2,2 giây.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 2 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một hòn đá được thả rơi tự do từ miệng của một giếng cạn. Biết rằng vận tốc của hòn đá tại thời điểm t giây tính từ lúc bắt đầu thả được tính bởi v(t)=10t (m/s).
a) Tìm hàm số s(t) mô tả quãng đường chuyển động (tính theo mét) của hòn đá sau t giây kể từ khi được thả.
b) Tính độ sâu của giếng, biết thời gian rơi tự do của hòn đá là 2,2 giây.
Phương pháp giải:
a)
- Sử dụng mối quan hệ giữa vận tốc và quãng đường trong chuyển động thẳng đều biến đổi, ta có:
\(v(t) = \frac{{ds(t)}}{{dt}}\)
- Tích phân v(t) theo t để tìm s(t).
b) Tính giá trị s(t) tại t = 2,2 giây, đây chính là độ sâu của giếng.
Lời giải chi tiết:
a)
Vận tốc của hòn đá được cho bởi:
\(v(t) = 10t{\mkern 1mu} ({\rm{m/s)}}\)
Quãng đường s(t) được tính bằng cách tính nguyên hàm vận tốc theo thời gian:
\(s(t) = \int v (t){\mkern 1mu} dt = \int 1 0t{\mkern 1mu} dt\)
Thực hiện nguyên hàm:
\(s(t) = 10\int t {\mkern 1mu} dt = 10\left( {\frac{{{t^2}}}{2}} \right) + C = 5{t^2} + C\)
Vì tại thời điểm t = 0, hòn đá bắt đầu được thả từ miệng giếng, nên s(0) = 0. Do đó:
\(s(0) = 5{(0)^2} + C = 0 \Rightarrow C = 0\)
Vậy phương trình quãng đường là:
\(s(t) = 5{t^2}{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
b)
Để tính độ sâu của giếng, ta tính quãng đường s(t) tại t = 2,2 giây:
\(s(2,2) = 5{(2,2)^2} = 5 \times 4,84 = 24,2{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
Vậy độ sâu của giếng là 24,2 mét.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 3 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Giải thích vì sao \(F(x) = x + \cos x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 1 - \sin x\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Hàm số \(G(x) = \sqrt x \) có là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) trên khoảng \((0; + \infty )\) không? Giải thích.
Phương pháp giải:
a) Để kiểm tra \(F(x)\) có phải là nguyên hàm của \(f(x)\) không, ta cần tính đạo hàm của \(F(x)\) và so sánh với \(f(x)\).
b) Để kiểm tra \(G(x)\) có phải là nguyên hàm của \(g(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\) không, ta cần tính đạo hàm của \(G(x)\) và so sánh với \(g(x)\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có hàm \(F(x) = x + \cos x\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):
\(F'(x) = \frac{d}{{dx}}(x + \cos x) = 1 - \sin x\)
Nhận thấy \(F'(x) = f(x)\), do đó \(F(x) = x + \cos x\) là một nguyên hàm của \(f(x) = 1 - \sin x\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Ta có hàm \(G(x) = \sqrt x \). Tính đạo hàm của \(G(x)\):
\(G'(x) = \frac{d}{{dx}}\left( {\sqrt x } \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)
Nhận thấy \(G'(x) = g(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\), do đó \(G(x) = \sqrt x \) là một nguyên hàm của \(g(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) trên khoảng \((0; + \infty )\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 3 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Các hàm số \({F_1}(x) = \sin x\), \({F_2}(x) = \sin x + \sqrt 3 \), \({F_3}(x) = \sin x - 2\) là những nguyên hàm của hàm số nào?
b) Vì sao hàm số \(F(x) = \ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; + \infty )\)? Tìm thêm hai nguyên hàm khác của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\).
Phương pháp giải:
a)
- Xét đạo hàm của các hàm số \({F_1}(x)\), \({F_2}(x)\), và \({F_3}(x)\) để xác định hàm số chung mà các hàm này là nguyên hàm.
b)
- Xét đạo hàm của \(F(x) = \ln x\) để chứng minh đây là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\)
- Sử dụng tính chất của nguyên hàm để tìm thêm hai nguyên hàm khác của \(f(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\).
Lời giải chi tiết:
a)
Ta có các hàm số:
\({F_1}(x) = \sin x,\quad {F_2}(x) = \sin x + \sqrt 3 ,\quad {F_3}(x) = \sin x - 2\)
Tính đạo hàm của các hàm số này:
\(F_1'(x) = \cos x,\quad F_3'(x) = \cos x,\quad F_3'(x) = \cos x\)
Như vậy, cả ba hàm số \({F_1}(x)\), \({F_2}(x)\), và \({F_3}(x)\) đều là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \cos x\).
b)
Xét hàm số \(F(x) = \ln x\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):
\(F'(x) = \frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)
Do đó, \(F(x) = \ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; + \infty )\).
Từ tính chất của nguyên hàm, ta có thể tìm thêm hai nguyên hàm khác của \(f(x) = \frac{1}{x}\) bằng cách thêm hằng số vào nguyên hàm \(F(x)\). Cụ thể:
\({F_1}(x) = \ln x + {C_1},\quad {F_2}(x) = \ln x + {C_2}\)
Với \({C_1}\) và \({C_2}\) là các hằng số tuỳ ý, ví dụ:
\({F_1}(x) = \ln x + 1,\quad {F_2}(x) = \ln x - 2\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 4 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(\int {f(x)dx = \sin x + \cos x + C.} \) Tính \(f(\pi )\).
Phương pháp giải:
- Khi biết một phương trình nguyên hàm như \(\int f (x){\mkern 1mu} dx = g(x) + C\), để tìm hàm số \(f(x)\), cần lấy đạo hàm của \(g(x) + C\) đối với \(x\).
- Đạo hàm của \(g(x)\) chính là hàm số \(f(x)\), vì \(\frac{d}{{dx}}\left( {\int f (x){\mkern 1mu} dx} \right) = f(x)\).
- Sau khi xác định được hàm \(f(x)\), thay giá trị \(x\) cần tính vào hàm \(f(x)\) để tìm kết quả cụ thể.
Lời giải chi tiết:
Theo đề bài, ta có:
\(\int {f(x){\mkern 1mu} dx} = \sin x + \cos x + C\)
Đạo hàm hai vế của phương trình này với \(x\), ta được:
\(f(x) = \frac{d}{{dx}}(\sin x + \cos x + C)\)
Tính đạo hàm của từng hạng tử:
\(f(x) = \cos x - \sin x\)
(Vì \(C\) là hằng số, nên \(\frac{{dC}}{{dx}} = 0\)).
Thay \(x = \pi \) vào hàm \(f(x)\):
\(f(\pi ) = \cos (\pi ) - \sin (\pi )\)
Biết rằng:
\(\cos (\pi ) = - 1\quad {\rm{và }}\quad \sin (\pi ) = 0\)
Do đó:
\(f(\pi ) = - 1 - 0 = - 1\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 2 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một hòn đá được thả rơi tự do từ miệng của một giếng cạn. Biết rằng vận tốc của hòn đá tại thời điểm t giây tính từ lúc bắt đầu thả được tính bởi v(t)=10t (m/s).
a) Tìm hàm số s(t) mô tả quãng đường chuyển động (tính theo mét) của hòn đá sau t giây kể từ khi được thả.
b) Tính độ sâu của giếng, biết thời gian rơi tự do của hòn đá là 2,2 giây.
Phương pháp giải:
a)
- Sử dụng mối quan hệ giữa vận tốc và quãng đường trong chuyển động thẳng đều biến đổi, ta có:
\(v(t) = \frac{{ds(t)}}{{dt}}\)
- Tích phân v(t) theo t để tìm s(t).
b) Tính giá trị s(t) tại t = 2,2 giây, đây chính là độ sâu của giếng.
Lời giải chi tiết:
a)
Vận tốc của hòn đá được cho bởi:
\(v(t) = 10t{\mkern 1mu} ({\rm{m/s)}}\)
Quãng đường s(t) được tính bằng cách tính nguyên hàm vận tốc theo thời gian:
\(s(t) = \int v (t){\mkern 1mu} dt = \int 1 0t{\mkern 1mu} dt\)
Thực hiện nguyên hàm:
\(s(t) = 10\int t {\mkern 1mu} dt = 10\left( {\frac{{{t^2}}}{2}} \right) + C = 5{t^2} + C\)
Vì tại thời điểm t = 0, hòn đá bắt đầu được thả từ miệng giếng, nên s(0) = 0. Do đó:
\(s(0) = 5{(0)^2} + C = 0 \Rightarrow C = 0\)
Vậy phương trình quãng đường là:
\(s(t) = 5{t^2}{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
b)
Để tính độ sâu của giếng, ta tính quãng đường s(t) tại t = 2,2 giây:
\(s(2,2) = 5{(2,2)^2} = 5 \times 4,84 = 24,2{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
Vậy độ sâu của giếng là 24,2 mét.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 3 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Giải thích vì sao \(F(x) = x + \cos x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 1 - \sin x\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Hàm số \(G(x) = \sqrt x \) có là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) trên khoảng \((0; + \infty )\) không? Giải thích.
Phương pháp giải:
a) Để kiểm tra \(F(x)\) có phải là nguyên hàm của \(f(x)\) không, ta cần tính đạo hàm của \(F(x)\) và so sánh với \(f(x)\).
b) Để kiểm tra \(G(x)\) có phải là nguyên hàm của \(g(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\) không, ta cần tính đạo hàm của \(G(x)\) và so sánh với \(g(x)\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có hàm \(F(x) = x + \cos x\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):
\(F'(x) = \frac{d}{{dx}}(x + \cos x) = 1 - \sin x\)
Nhận thấy \(F'(x) = f(x)\), do đó \(F(x) = x + \cos x\) là một nguyên hàm của \(f(x) = 1 - \sin x\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Ta có hàm \(G(x) = \sqrt x \). Tính đạo hàm của \(G(x)\):
\(G'(x) = \frac{d}{{dx}}\left( {\sqrt x } \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)
Nhận thấy \(G'(x) = g(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\), do đó \(G(x) = \sqrt x \) là một nguyên hàm của \(g(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) trên khoảng \((0; + \infty )\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 3 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Các hàm số \({F_1}(x) = \sin x\), \({F_2}(x) = \sin x + \sqrt 3 \), \({F_3}(x) = \sin x - 2\) là những nguyên hàm của hàm số nào?
b) Vì sao hàm số \(F(x) = \ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; + \infty )\)? Tìm thêm hai nguyên hàm khác của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\).
Phương pháp giải:
a)
- Xét đạo hàm của các hàm số \({F_1}(x)\), \({F_2}(x)\), và \({F_3}(x)\) để xác định hàm số chung mà các hàm này là nguyên hàm.
b)
- Xét đạo hàm của \(F(x) = \ln x\) để chứng minh đây là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\)
- Sử dụng tính chất của nguyên hàm để tìm thêm hai nguyên hàm khác của \(f(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\).
Lời giải chi tiết:
a)
Ta có các hàm số:
\({F_1}(x) = \sin x,\quad {F_2}(x) = \sin x + \sqrt 3 ,\quad {F_3}(x) = \sin x - 2\)
Tính đạo hàm của các hàm số này:
\(F_1'(x) = \cos x,\quad F_3'(x) = \cos x,\quad F_3'(x) = \cos x\)
Như vậy, cả ba hàm số \({F_1}(x)\), \({F_2}(x)\), và \({F_3}(x)\) đều là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \cos x\).
b)
Xét hàm số \(F(x) = \ln x\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):
\(F'(x) = \frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)
Do đó, \(F(x) = \ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; + \infty )\).
Từ tính chất của nguyên hàm, ta có thể tìm thêm hai nguyên hàm khác của \(f(x) = \frac{1}{x}\) bằng cách thêm hằng số vào nguyên hàm \(F(x)\). Cụ thể:
\({F_1}(x) = \ln x + {C_1},\quad {F_2}(x) = \ln x + {C_2}\)
Với \({C_1}\) và \({C_2}\) là các hằng số tuỳ ý, ví dụ:
\({F_1}(x) = \ln x + 1,\quad {F_2}(x) = \ln x - 2\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 4 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(\int {f(x)dx = \sin x + \cos x + C.} \) Tính \(f(\pi )\).
Phương pháp giải:
- Khi biết một phương trình nguyên hàm như \(\int f (x){\mkern 1mu} dx = g(x) + C\), để tìm hàm số \(f(x)\), cần lấy đạo hàm của \(g(x) + C\) đối với \(x\).
- Đạo hàm của \(g(x)\) chính là hàm số \(f(x)\), vì \(\frac{d}{{dx}}\left( {\int f (x){\mkern 1mu} dx} \right) = f(x)\).
- Sau khi xác định được hàm \(f(x)\), thay giá trị \(x\) cần tính vào hàm \(f(x)\) để tìm kết quả cụ thể.
Lời giải chi tiết:
Theo đề bài, ta có:
\(\int {f(x){\mkern 1mu} dx} = \sin x + \cos x + C\)
Đạo hàm hai vế của phương trình này với \(x\), ta được:
\(f(x) = \frac{d}{{dx}}(\sin x + \cos x + C)\)
Tính đạo hàm của từng hạng tử:
\(f(x) = \cos x - \sin x\)
(Vì \(C\) là hằng số, nên \(\frac{{dC}}{{dx}} = 0\)).
Thay \(x = \pi \) vào hàm \(f(x)\):
\(f(\pi ) = \cos (\pi ) - \sin (\pi )\)
Biết rằng:
\(\cos (\pi ) = - 1\quad {\rm{và }}\quad \sin (\pi ) = 0\)
Do đó:
\(f(\pi ) = - 1 - 0 = - 1\)
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong mục này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các phần tiếp theo. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập trong mục 1, trang 2, 3 và 4, đồng thời phân tích phương pháp tiếp cận và các lưu ý quan trọng.
Bài 1 thường là bài tập khởi động, giúp học sinh ôn lại kiến thức cũ và làm quen với chủ đề mới. Lời giải bài 1 sẽ bao gồm:
Bài 2 có thể là bài tập áp dụng kiến thức đã học vào một tình huống cụ thể. Lời giải bài 2 sẽ tập trung vào việc:
Bài 3 thường là bài tập nâng cao, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức một cách linh hoạt và sáng tạo. Lời giải bài 3 sẽ bao gồm:
Bài 4 có thể là bài tập tổng hợp, kết hợp nhiều kiến thức và kỹ năng khác nhau. Lời giải bài 4 sẽ yêu cầu học sinh:
Để học tập hiệu quả môn Toán 12, bạn nên:
Khi giải các bài tập Toán 12, bạn cần lưu ý:
Hy vọng rằng, với lời giải chi tiết và phương pháp tiếp cận khoa học, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài tập trong mục 1 trang 2, 3, 4 SGK Toán 12 tập 2. Chúc bạn học tập tốt!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
