Giải Bài Tập 4.41 Trang 38 Sgk Toán 12 Tập 2

Giải bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Giải bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học môn Toán lớp 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả. Các em có thể tham khảo lời giải dưới đây để hiểu rõ hơn về phương pháp giải và tự luyện tập thêm các bài tập tương tự.

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc \(v\) (km/h) phụ thuộc vào thời gian \(t\) (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh \(I(2;9)\) và trục đối xứng song song với trục tung như Hình 4.30. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó. A. \(25,25{\mkern 1mu} {\rm{km}}\) B. \(24,25{\mkern 1mu} {\rm{km}}\) C. \(24,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}\) D. \(26,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)

Đề bài

A. \(25,25{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)

B. \(24,25{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)

C. \(24,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)

D. \(26,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)

Giải bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 2

- Quãng đường mà vật di chuyển được tính bằng tích phân của vận tốc theo thời gian:

\(S = \int_0^3 v (t){\mkern 1mu} dt\)

- Hàm \(v(t)\) là một phần của parabol, có đỉnh \(I(2;9)\) và trục đối xứng song song với trục tung. Từ đó, ta cần tìm phương trình của \(v(t)\) và tính tích phân trên đoạn từ \(0\) đến \(3\).

Lời giải chi tiết

Ta biết rằng đồ thị \(v(t)\) có dạng một parabol với đỉnh \(I(2;9)\), vậy phương trình của parabol có dạng:

\(v(t) = a{(t - 2)^2} + 9\)

Dựa vào điểm \((0,6)\) trên đồ thị (vận tốc tại thời điểm \(t = 0\)), ta thay vào phương trình để tìm \(a\):

\(6 = a{(0 - 2)^2} + 9\)

\(6 = 4a + 9 \Rightarrow 4a = - 3 \Rightarrow a = - \frac{3}{4}\)

Vậy phương trình của vận tốc là:

\(v(t) = - \frac{3}{4}{(t - 2)^2} + 9\)

Bây giờ, ta tính quãng đường \(S\) bằng cách lấy tích phân:

\(S = \int_0^3 {\left( { - \frac{3}{4}{{(t - 2)}^2} + 9} \right)} dt = \int_0^3 - \frac{3}{4}{(t - 2)^2}{\mkern 1mu} dt + \int_0^3 9 {\mkern 1mu} dt\)

Tính tích phân của \(9\):

\(\int_0^3 9 {\mkern 1mu} dt = 9t|_0^3 = 9(3 - 0) = 27\)

Tính tích phân của \( - \frac{3}{4}{(t - 2)^2}\): Sử dụng biến đổi \(u = t - 2\), tích phân trở thành:

\(\int_0^3 - \frac{3}{4}{(t - 2)^2}{\mkern 1mu} dt = \int_{ - 2}^1 - \frac{3}{4}{u^2}{\mkern 1mu} du\)

Tính tích phân của \({u^2}\):

\(\int_{ - 2}^1 - \frac{3}{4}{u^2}{\mkern 1mu} du = - \frac{3}{4} \cdot \frac{{{u^3}}}{3}|_{ - 2}^1 = - \frac{1}{4}\left( {{1^3} - {{( - 2)}^3}} \right) = - \frac{1}{4}(1 + 8) = - \frac{9}{4}\)

Vậy quãng đường \(S\) là:

\(S = 27 - \frac{9}{4} = \frac{{108}}{4} - \frac{9}{4} = \frac{{99}}{4} = 24,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)

Chọn C.

Tự Tin Bứt Phá Kỳ Thi THPT Quốc Gia Môn Toán! Bạn muốn tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán và vào đại học mơ ước? Đừng bỏ lỡ Giải bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá đặc sắc thuộc chuyên mục toán 12 trên nền tảng tài liệu toán của chúng tôi! Với bộ toán trung học phổ thông bài tập được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa quá trình ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả. Nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào cánh cửa đại học mơ ước!

Giải bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2: Phân tích chi tiết và hướng dẫn giải

Bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để tìm cực trị và khảo sát hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Xác định tập xác định của hàm số: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
Tính đạo hàm bậc nhất: Sử dụng các quy tắc đạo hàm để tính đạo hàm f'(x) của hàm số.
Tìm điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0. Đây là các điểm nghi ngờ là cực trị.
Khảo sát dấu của đạo hàm bậc nhất: Lập bảng xét dấu f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn. Dựa vào dấu của f'(x) để xác định khoảng hàm số đồng biến, nghịch biến.
Tìm cực trị: Dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm bậc nhất, xác định các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Tính đạo hàm bậc hai: Tính đạo hàm f''(x) của hàm số.
Khảo sát tính lồi, lõm của hàm số: Giải phương trình f''(x) = 0 để tìm các điểm uốn. Lập bảng xét dấu f''(x) để xác định khoảng hàm số lồi, lõm.
Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các thông tin đã thu thập được, vẽ đồ thị hàm số.

Ví dụ minh họa giải bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2

Giả sử hàm số cần khảo sát là y = x³ - 3x² + 2. Chúng ta sẽ áp dụng các bước trên để giải bài tập này:

Tập xác định: D = R
Đạo hàm bậc nhất: y' = 3x² - 6x
Điểm tới hạn: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Bảng xét dấu y':
x -∞ 0 2 +∞
y' + - +
y Đồng biến Nghịch biến Đồng biến
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ = 2. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y_CT = -2.
Đạo hàm bậc hai: y'' = 6x - 6
Điểm uốn: 6x - 6 = 0 => x = 1
Bảng xét dấu y'':
x -∞ 1 +∞
y'' - +
y Lõm Lồi

x	-∞	0	2	+∞
y'	+	-	+
y	Đồng biến	Nghịch biến	Đồng biến

x	-∞	1	+∞
y''	-	+
y	Lõm	Lồi

Lưu ý khi giải bài tập về đạo hàm

Luôn kiểm tra tập xác định của hàm số trước khi tính đạo hàm.
Sử dụng đúng các quy tắc đạo hàm để tránh sai sót.
Lập bảng xét dấu đạo hàm một cách cẩn thận để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị.
Vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra lại kết quả.

Tổng kết

Bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em học sinh có thể tự tin giải quyết bài tập này và các bài tập tương tự một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!