Giải bài tập 5.18 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng \(d\) và \(d'\) cho bởi các phương trình sau:

a) \(d:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 6}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 5}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 20}}{1}\);

b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t\,\,\,\,\,{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{R})}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t'}\\{y = - 1 + 2t'{\mkern 1mu} (t' \in \mathbb{R})}\\{z = 2 - 2t'}\end{array}} \right.\);

c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 3 - 2t{\mkern 1mu} \,\,\,\,\,(t \in \mathbb{R})}\\{z = 1}\end{array}} \right.\) và \(d':\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{3}\).

Lời giải chi tiết

a)

Phương trình đường thẳng d:

\(\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 6}}{4}\)

Tọa độ điểm thuộc d: \(A( - 3; - 2;6)\) Vectơ chỉ phương của d: \(\overrightarrow {{u_d}} = (2;3;4)\)

Phương trình đường thẳng d':

\(\frac{{x - 5}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 20}}{1}\)

Tọa độ điểm thuộc d’: \(B(5; - 1;20)\) Vectơ chỉ phương của d’: \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = (1; - 4;1)\)

So sánh hai vectơ chỉ phương:

\(\frac{2}{1} \ne \frac{3}{{ - 4}}\)

Hai vectơ không tỉ lệ. Do đó, d và d' không song song.

Kiểm tra điểm chung:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 + 2t = 5 + t'}\\{ - 2 + 3t = - 1 - 4t'}\\{6 + 4t = 20 + t'}\end{array}} \right.\)

Với \(t = 3\) và \(t' = - 2\) thì ta được điểm \(M(3;7;18)\) là giao điểm của d và d’

Vậy, d và d’ là cắt nhau.

b)

Phương trình đường thẳng d:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\)

Tọa độ điểm thuộc d: \(A(1,2,3)\), vectơ chỉ phương của d: \(\overrightarrow {{u_d}} = (1,1, - 1)\)

Phương trình đường thẳng d':

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t'}\\{y = - 1 + 2t'}\\{z = 2 - 2t'}\end{array}} \right.\)

Tọa độ điểm thuộc d': \(B(1, - 1,2)\), vectơ chỉ phương của d': \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = (2,2, - 2)\)

So sánh hai vectơ chỉ phương:

\(\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}}\)

Nhận thấy d và d’ không có điểm chung nên hai đường thẳng này song song với nhau.

c)

Phương trình đường thẳng d:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 3 - 2t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\)

Tọa độ điểm thuộc d: \(A(1,3,1)\) Vectơ chỉ phương của d: \(\overrightarrow {{u_d}} = (1, - 2,0)\)

Phương trình đường thẳng d’:

\(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{3}\)

Tọa độ điểm thuộc d’: \(B(1,2,0)\) Vectơ chỉ phương của d’: \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = ( - 1,2,3)\)

So sánh hai vectơ chỉ phương:

\(\frac{1}{{ - 1}} = \frac{{ - 2}}{2} \ne \frac{0}{3}\)

Hai vectơ không tỉ lệ. Do đó, d và d' không song song.

Kiểm tra điểm chung:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + t = 1 - t'}\\{3 - 2t = 2 + 2t'}\\{1 = 3t'}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình của hai đường thẳng, không tìm được điểm chung

Vậy, d và d’ là chéo nhau.