Chào mừng bạn đến với loigiai.com.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 thường chứa các bài tập về một chủ đề quan trọng trong chương trình học.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự giải bài tập đôi khi gặp khó khăn, vì vậy đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của chúng tôi đã biên soạn lời giải đầy đủ, chính xác, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Tìm a) \(\int {{x^{\frac{2}{3}}}dx;} \) b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} dx\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 4 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3}\).
b) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left| x \right|\)trên các khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((0; + \infty )\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số đa thức:
\(\frac{d}{{dx}}(a{x^n}) = a \cdot n \cdot {x^{n - 1}}\)
b) Chia bài toán thành các khoảng, áp dụng công thức sau để tính đạo hàm của hàm logarit cho từng khoảng.
\(\frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)
Lời giải chi tiết:
a)
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(a{x^n}\), với \(a = \frac{1}{3}\) và \(n = 3\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{3}{x^3}} \right) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {x^{3 - 1}} = {x^2}\)
b)
Trên khoảng \((0, + \infty )\):, \(|x| = x\). Do đó, hàm số trở thành \(y = \ln x\). Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\ln x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)
Trên khoảng \(( - \infty ,0)\), \(|x| = - x\). Do đó, hàm số trở thành \(y = \ln ( - x)\). Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\ln ( - x)\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}(\ln ( - x)) = \frac{1}{{ - x}} \cdot ( - 1) = \frac{1}{x}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 5 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm
a) \(\int {{x^{\frac{2}{3}}}dx;} \)
b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} dx\).
Phương pháp giải:
a) Để tính tích phân của hàm số dạng \({x^n}\), với \(n \ne - 1\), ta sử dụng quy tắc tích phân cơ bản: \(\int {{x^n}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
b) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{1}{{{x^n}}}\), ta chuyển hàm số này thành dạng \({x^{ - n}}\) và sử dụng quy tắc tích phân cơ bản.
Lời giải chi tiết:
a) Tính tích phân
\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx\)
Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số dạng \({x^n}\), với \(n = \frac{2}{3}\):
\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\frac{2}{3} + 1}} + C\)
Tính \(\frac{2}{3} + 1\):
\(\frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3}\)
Do đó:
\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}} + C = \frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + C\)
b) Tính tích phân
\(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} {\mkern 1mu} dx\)
Chuyển biểu thức \(\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}\) thành dạng \({x^n}\):
\(\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }} = {x^{ - \frac{3}{2}}}\)
Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({x^n}\), với \(n = - \frac{3}{2}\):
\(\int {{x^{ - \frac{3}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{ - \frac{3}{2} + 1}}}}{{ - \frac{3}{2} + 1}} + C\)
Tính \( - \frac{3}{2} + 1\):
\( - \frac{3}{2} + 1 = - \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}\)
Do đó:
\(\int {{x^{ - \frac{3}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{ - \frac{1}{2}}}}}{{ - \frac{1}{2}}} + C = - 2{x^{ - \frac{1}{2}}} + C\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).
b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).
Phương pháp giải:
Để chứng minh rằng một hàm số F(x) là một nguyên hàm của một hàm số f(x), ta cần chỉ ra rằng đạo hàm của F(x) bằng f(x).
Lời giải chi tiết:
a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).
Để chứng minh rằng hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\), ta cần kiểm tra đạo hàm của \(F(x)\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = \frac{d}{{dx}}({e^x}) + \frac{d}{{dx}}(3)\)
\(\frac{d}{{dx}}({e^x}) = {e^x}{\rm{ và }}\frac{d}{{dx}}(3) = 0\)
\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} + 0 = {e^x}\)
Vậy:
\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} = f(x)\)
Do đó, \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {e^x}\).
b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).
Để chứng minh rằng hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\), ta cần kiểm tra đạo hàm của \(F(x)\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot \frac{d}{{dx}}({2^x})\)
\(\frac{d}{{dx}}({2^x}) = {2^x} \cdot \ln 2\)
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot ({2^x} \cdot \ln 2) = {2^x}\)
Vậy:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = {2^x} = f(x)\)
Do đó, \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {2^x}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm
a) \(\int {\frac{1}{{{3^x}}}dx;} \)
b) \(\int {{e^{ - x}}} dx;\)
c) \(\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}dx} \).
Phương pháp giải:
a) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{1}{{{a^x}}}\), ta có thể viết nó dưới dạng \({a^{ - x}}\). Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({a^x}\), ta có:
\(\int {{a^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^{ - x}}}}{{ - \ln a}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
b) Để tính tích phân của hàm số \({e^{ - x}}\), ta sử dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({e^x}\). Đạo hàm của \({e^{ - x}}\) là \( - {e^{ - x}}\), vì vậy ta cần điều chỉnh dấu trong tích phân.
c) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{{{a^x}}}{{{b^x}}}\), ta có thể viết nó dưới dạng \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^x}\). Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({a^x}\), ta có:
\(\int {{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{a}{b}} \right)}} + C\)
Lời giải chi tiết:
a)
Chuyển biểu thức \(\frac{1}{{{3^x}}}\) thành dạng \({3^{ - x}}\):
\(\frac{1}{{{3^x}}} = {3^{ - x}}\)
Áp dụng quy tắc tích phân:
\(\int {{3^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^{ - x}}}}{{ - \ln 3}} + C\)
Kết quả:
\(\int {\frac{1}{{{3^x}}}} {\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^{ - x}}}}{{\ln 3}} + C\)
b)
Áp dụng quy tắc tích phân vào:
\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx\)
Đạo hàm của \({e^{ - x}}\) là \( - {e^{ - x}}\), do đó:
\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = - {e^{ - x}} + C\)
Kết quả:
\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = - {e^{ - x}} + C\)
c)
Ta có:
\(\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}\)
Áp dụng quy tắc tích phân vào:
\(\int {{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C\)
Kết quả:
\(\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \sin x;\)
b) \(y = - \cos x;\)
c) \(y = \tan x;\)
d) \(y = - \cot x\).
Phương pháp giải:
Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm lượng giác.
Lời giải chi tiết:
a) Đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\):
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\sin x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}(\sin x) = \cos x\)
b) Đạo hàm của hàm số \(y = - \cos x\):
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \( - \cos x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}( - \cos x) = - \frac{d}{{dx}}(\cos x) = - ( - \sin x) = \sin x\)
c) Đạo hàm của hàm số \(y = \tan x\):
Hàm số \(\tan x\) có thể viết lại dưới dạng \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}}\).
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(\frac{u}{v}\) với \(u = \sin x\) và \(v = \cos x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right) = \frac{{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot ( - \sin x)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
d) Đạo hàm của hàm số \(y = - \cot x\):
Hàm số \(\cot x\) có thể viết lại dưới dạng \(\frac{{\cos x}}{{\sin x}}\).
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(\frac{u}{v}\) với \(u = \cos x\) và \(v = \sin x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right) = \frac{{\sin x \cdot ( - \sin x) - \cos x \cdot \cos x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{ - {{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f(x) = {3^x}\) biết \(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\).
Phương pháp giải:
- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ với cơ số a, tức là \(\int {{a^x}dx} \) với a>0 và a≠1.
- Sau khi tìm được nguyên hàm tổng quát, sử dụng điều kiện F(0) để xác định hằng số tích phân C.
Lời giải chi tiết:
Tính nguyên hàm của hàm số \({3^x}\):
\(\int {{3^x}} {\mkern 1mu} dx\)
- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ \({a^x}\):
\(\int {{a^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
- Với \(a = 3\), ta có:
\(\int {{3^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
Sử dụng điều kiện ban đầu để xác định hằng số tích phân:
- Điều kiện ban đầu là \(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\). Thay \(x = 0\) vào nguyên hàm tổng quát:
\(F(0) = \frac{{{3^0}}}{{\ln 3}} + C\)
- Vì \({3^0} = 1\), ta có:
\(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + C\)
- Theo điều kiện ban đầu:
\(\frac{1}{{\ln 3}} + C = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\)
Kết quả:
\(F(x) = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + 2\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(G(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\). Tính \(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng phương pháp tích phân để tìm nguyên hàm của hàm số.
- Áp dụng điều kiện ban đầu \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) để tìm hằng số tích phân.
- Tính giá trị của \(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của \(g(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) là \(G(x) = - \cot x + C\), trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Ta có điều kiện \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\), do đó:
\(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + C = 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0\)
Vậy nguyên hàm cần tìm là:
\(G(x) = - \cot x\)
\(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ 1°C. Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại thời điểm 𝑡 phút (0≤ 𝑡 ≤5) được cho bởi hàm số \[f(t) = 3{t^2}\] (°C/phút). Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại thời điểm 𝑡 là một nguyên hàm của hàm số \[f(t)\], tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền nhiệt.
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 3{t^2}\) để xác định nhiệt độ \(T(t)\) tại thời điểm \(t\).
- Sử dụng điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu là \({1^\circ }C\) để tìm hằng số tích phân.
- Tính nhiệt độ tại thời điểm \(t = 3\) phút.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 3{t^2}\) là:
\(T(t) = \int 3 {t^2}{\mkern 1mu} dt = {t^3} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Ta có điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm t = 0 là \({1^\circ }C\), do đó:
\(T(0) = {0^3} + C = 1 \Rightarrow C = 1\)
Vậy nhiệt độ tại thời điểm \(t\) phút là:
\(T(t) = {t^3} + 1\)
Tính nhiệt độ tại thời điểm \(t = 3\) phút:
\(T(3) = {3^3} + 1 = 27 + 1 = {28^\circ }C\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 4 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3}\).
b) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left| x \right|\)trên các khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((0; + \infty )\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số đa thức:
\(\frac{d}{{dx}}(a{x^n}) = a \cdot n \cdot {x^{n - 1}}\)
b) Chia bài toán thành các khoảng, áp dụng công thức sau để tính đạo hàm của hàm logarit cho từng khoảng.
\(\frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)
Lời giải chi tiết:
a)
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(a{x^n}\), với \(a = \frac{1}{3}\) và \(n = 3\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{3}{x^3}} \right) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {x^{3 - 1}} = {x^2}\)
b)
Trên khoảng \((0, + \infty )\):, \(|x| = x\). Do đó, hàm số trở thành \(y = \ln x\). Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\ln x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)
Trên khoảng \(( - \infty ,0)\), \(|x| = - x\). Do đó, hàm số trở thành \(y = \ln ( - x)\). Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\ln ( - x)\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}(\ln ( - x)) = \frac{1}{{ - x}} \cdot ( - 1) = \frac{1}{x}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 5 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm
a) \(\int {{x^{\frac{2}{3}}}dx;} \)
b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} dx\).
Phương pháp giải:
a) Để tính tích phân của hàm số dạng \({x^n}\), với \(n \ne - 1\), ta sử dụng quy tắc tích phân cơ bản: \(\int {{x^n}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
b) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{1}{{{x^n}}}\), ta chuyển hàm số này thành dạng \({x^{ - n}}\) và sử dụng quy tắc tích phân cơ bản.
Lời giải chi tiết:
a) Tính tích phân
\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx\)
Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số dạng \({x^n}\), với \(n = \frac{2}{3}\):
\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\frac{2}{3} + 1}} + C\)
Tính \(\frac{2}{3} + 1\):
\(\frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3}\)
Do đó:
\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}} + C = \frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + C\)
b) Tính tích phân
\(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} {\mkern 1mu} dx\)
Chuyển biểu thức \(\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}\) thành dạng \({x^n}\):
\(\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }} = {x^{ - \frac{3}{2}}}\)
Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({x^n}\), với \(n = - \frac{3}{2}\):
\(\int {{x^{ - \frac{3}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{ - \frac{3}{2} + 1}}}}{{ - \frac{3}{2} + 1}} + C\)
Tính \( - \frac{3}{2} + 1\):
\( - \frac{3}{2} + 1 = - \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}\)
Do đó:
\(\int {{x^{ - \frac{3}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{ - \frac{1}{2}}}}}{{ - \frac{1}{2}}} + C = - 2{x^{ - \frac{1}{2}}} + C\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).
b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).
Phương pháp giải:
Để chứng minh rằng một hàm số F(x) là một nguyên hàm của một hàm số f(x), ta cần chỉ ra rằng đạo hàm của F(x) bằng f(x).
Lời giải chi tiết:
a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).
Để chứng minh rằng hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\), ta cần kiểm tra đạo hàm của \(F(x)\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = \frac{d}{{dx}}({e^x}) + \frac{d}{{dx}}(3)\)
\(\frac{d}{{dx}}({e^x}) = {e^x}{\rm{ và }}\frac{d}{{dx}}(3) = 0\)
\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} + 0 = {e^x}\)
Vậy:
\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} = f(x)\)
Do đó, \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {e^x}\).
b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).
Để chứng minh rằng hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\), ta cần kiểm tra đạo hàm của \(F(x)\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot \frac{d}{{dx}}({2^x})\)
\(\frac{d}{{dx}}({2^x}) = {2^x} \cdot \ln 2\)
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot ({2^x} \cdot \ln 2) = {2^x}\)
Vậy:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = {2^x} = f(x)\)
Do đó, \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {2^x}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm
a) \(\int {\frac{1}{{{3^x}}}dx;} \)
b) \(\int {{e^{ - x}}} dx;\)
c) \(\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}dx} \).
Phương pháp giải:
a) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{1}{{{a^x}}}\), ta có thể viết nó dưới dạng \({a^{ - x}}\). Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({a^x}\), ta có:
\(\int {{a^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^{ - x}}}}{{ - \ln a}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
b) Để tính tích phân của hàm số \({e^{ - x}}\), ta sử dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({e^x}\). Đạo hàm của \({e^{ - x}}\) là \( - {e^{ - x}}\), vì vậy ta cần điều chỉnh dấu trong tích phân.
c) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{{{a^x}}}{{{b^x}}}\), ta có thể viết nó dưới dạng \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^x}\). Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({a^x}\), ta có:
\(\int {{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{a}{b}} \right)}} + C\)
Lời giải chi tiết:
a)
Chuyển biểu thức \(\frac{1}{{{3^x}}}\) thành dạng \({3^{ - x}}\):
\(\frac{1}{{{3^x}}} = {3^{ - x}}\)
Áp dụng quy tắc tích phân:
\(\int {{3^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^{ - x}}}}{{ - \ln 3}} + C\)
Kết quả:
\(\int {\frac{1}{{{3^x}}}} {\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^{ - x}}}}{{\ln 3}} + C\)
b)
Áp dụng quy tắc tích phân vào:
\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx\)
Đạo hàm của \({e^{ - x}}\) là \( - {e^{ - x}}\), do đó:
\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = - {e^{ - x}} + C\)
Kết quả:
\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = - {e^{ - x}} + C\)
c)
Ta có:
\(\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}\)
Áp dụng quy tắc tích phân vào:
\(\int {{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C\)
Kết quả:
\(\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f(x) = {3^x}\) biết \(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\).
Phương pháp giải:
- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ với cơ số a, tức là \(\int {{a^x}dx} \) với a>0 và a≠1.
- Sau khi tìm được nguyên hàm tổng quát, sử dụng điều kiện F(0) để xác định hằng số tích phân C.
Lời giải chi tiết:
Tính nguyên hàm của hàm số \({3^x}\):
\(\int {{3^x}} {\mkern 1mu} dx\)
- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ \({a^x}\):
\(\int {{a^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
- Với \(a = 3\), ta có:
\(\int {{3^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
Sử dụng điều kiện ban đầu để xác định hằng số tích phân:
- Điều kiện ban đầu là \(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\). Thay \(x = 0\) vào nguyên hàm tổng quát:
\(F(0) = \frac{{{3^0}}}{{\ln 3}} + C\)
- Vì \({3^0} = 1\), ta có:
\(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + C\)
- Theo điều kiện ban đầu:
\(\frac{1}{{\ln 3}} + C = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\)
Kết quả:
\(F(x) = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + 2\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \sin x;\)
b) \(y = - \cos x;\)
c) \(y = \tan x;\)
d) \(y = - \cot x\).
Phương pháp giải:
Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm lượng giác.
Lời giải chi tiết:
a) Đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\):
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\sin x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}(\sin x) = \cos x\)
b) Đạo hàm của hàm số \(y = - \cos x\):
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \( - \cos x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}( - \cos x) = - \frac{d}{{dx}}(\cos x) = - ( - \sin x) = \sin x\)
c) Đạo hàm của hàm số \(y = \tan x\):
Hàm số \(\tan x\) có thể viết lại dưới dạng \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}}\).
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(\frac{u}{v}\) với \(u = \sin x\) và \(v = \cos x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right) = \frac{{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot ( - \sin x)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
d) Đạo hàm của hàm số \(y = - \cot x\):
Hàm số \(\cot x\) có thể viết lại dưới dạng \(\frac{{\cos x}}{{\sin x}}\).
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(\frac{u}{v}\) với \(u = \cos x\) và \(v = \sin x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right) = \frac{{\sin x \cdot ( - \sin x) - \cos x \cdot \cos x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{ - {{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(G(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\). Tính \(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng phương pháp tích phân để tìm nguyên hàm của hàm số.
- Áp dụng điều kiện ban đầu \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) để tìm hằng số tích phân.
- Tính giá trị của \(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của \(g(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) là \(G(x) = - \cot x + C\), trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Ta có điều kiện \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\), do đó:
\(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + C = 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0\)
Vậy nguyên hàm cần tìm là:
\(G(x) = - \cot x\)
\(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ 1°C. Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại thời điểm 𝑡 phút (0≤ 𝑡 ≤5) được cho bởi hàm số \[f(t) = 3{t^2}\] (°C/phút). Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại thời điểm 𝑡 là một nguyên hàm của hàm số \[f(t)\], tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền nhiệt.
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 3{t^2}\) để xác định nhiệt độ \(T(t)\) tại thời điểm \(t\).
- Sử dụng điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu là \({1^\circ }C\) để tìm hằng số tích phân.
- Tính nhiệt độ tại thời điểm \(t = 3\) phút.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 3{t^2}\) là:
\(T(t) = \int 3 {t^2}{\mkern 1mu} dt = {t^3} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Ta có điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm t = 0 là \({1^\circ }C\), do đó:
\(T(0) = {0^3} + C = 1 \Rightarrow C = 1\)
Vậy nhiệt độ tại thời điểm \(t\) phút là:
\(T(t) = {t^3} + 1\)
Tính nhiệt độ tại thời điểm \(t = 3\) phút:
\(T(3) = {3^3} + 1 = 27 + 1 = {28^\circ }C\)
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, ví dụ như đạo hàm, tích phân, hoặc các bài toán về hình học không gian. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và phương pháp giải là yếu tố then chốt để giải quyết thành công các bài tập trong mục này.
(Nội dung bài tập và lời giải chi tiết)
(Nội dung bài tập và lời giải chi tiết)
(Nội dung bài tập và lời giải chi tiết)
(Nội dung bài tập và lời giải chi tiết)
Toán 12 là một môn học quan trọng, đòi hỏi sự chăm chỉ và nỗ lực. Để học tốt môn Toán 12, bạn cần:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và phương pháp giải hiệu quả mà loigiai.com.vn cung cấp, bạn sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán 12. Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
