Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 4.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
loigiai.com.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập hiệu quả.
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a) \(f(x) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}\) b) \(f(x) = {\sin ^2}\frac{x}{2} + {3^{2x}}\) c) \(f(x) = \sqrt {3x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\)
Đề bài
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f(x) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}\)
b) \(f(x) = {\sin ^2}\frac{x}{2} + {3^{2x}}\)
c) \(f(x) = \sqrt {3x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nguyên hàm của một số hàm cơ bản:
- \(\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}(\) với \(n \ne - 1)\);
- \(\int {\frac{1}{{{x^n}}}} dx = \frac{{{x^{1 - n}}}}{{1 - n}}\);
- \(\int {{{\sin }^2}} (x)dx = \) sử dụng công thức nửa góc: \({\sin ^2}(x) = \frac{{1 - \cos (2x)}}{2}\);
- \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}(x)}}} dx = - \cot (x)\);
- \(\int {{a^x}} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln (a)}}\), với \(a > 0\).
Lời giải chi tiết
a) \(f(x) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}\)
Nguyên hàm của \(f(x)\) là:
\(F(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\)
b) \(f(x) = {\sin ^2}\frac{x}{2} + {3^{2x}}\)
Áp dụng công thức nửa góc:
\({\sin ^2}\frac{x}{2} = \frac{{1 - \cos x}}{2}\)
Ta có:
\(F(x) = \frac{x}{2} - \frac{{\sin x}}{2} + \frac{{{3^{2x}}}}{{2\ln 3}} + C\)
c) \(f(x) = \sqrt {3x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\)
Nguyên hàm của \(f(x)\) là:
\(F(x) = \frac{2}{9} \times {(3x)^{3/2}} + 4\cot (x) + C\).
Bài tập 4.26 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị, khoảng đơn điệu, giới hạn vô cùng và vẽ đồ thị hàm số. Cụ thể, hàm số được cho là:
y = x3 - 3x2 + 2
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 xác định trên tập số thực ℝ.
a) Đạo hàm bậc nhất:
y' = 3x2 - 6x
b) Tìm cực trị:
Giải phương trình y' = 0:
3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0
Vậy x = 0 hoặc x = 2
c) Lập bảng biến thiên:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 2
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y = -2
limx→+∞ y = +∞
limx→-∞ y = -∞
Hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
| Đặc điểm | Giá trị |
|---|---|
| Tập xác định | ℝ |
| Cực đại | (0; 2) |
| Cực tiểu | (2; -2) |
| Khoảng đồng biến | (-∞; 0), (2; +∞) |
| Khoảng nghịch biến | (0; 2) |
| Giới hạn vô cùng | limx→+∞ y = +∞, limx→-∞ y = -∞ |
Dựa vào bảng biến thiên và các thông tin đã tính toán, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 2), (2; -2) và có tính đối xứng qua điểm uốn.
Bài tập 4.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 đã được giải chi tiết, bao gồm các bước khảo sát hàm số, tìm cực trị, khoảng đơn điệu, giới hạn vô cùng và vẽ đồ thị hàm số. Hy vọng lời giải này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức và kỹ năng giải bài tập Toán 12.
Các em có thể tham khảo thêm các bài giải khác tại loigiai.com.vn để nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
