Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2. loigiai.com.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, giúp các em nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt nhất.
Bài tập trong mục này tập trung vào các kiến thức về...
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\) và điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\). Gọi \({M_1}({x_1};{y_1};{z_1})\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \((\alpha )\) (Hình 5.13). a) Tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\). b) Giải thích tại sao ta có \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \ri
Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 51 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách:
a) Từ điểm \(A( - 3; - 2; - 5)\) đến mặt phẳng \((\alpha ):2x - 2y + z - 5 = 0\);
b) Giữa hai mặt phẳng \((\alpha ):y - 4 = 0\) và \((\beta ):y + 5 = 0\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng:
\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được tính bằng công thức:
\(d = \left| {\frac{{{D_1} - {D_2}}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}} \right|\)
Lời giải chi tiết:
a) Khoảng cách từ điểm \(A( - 3; - 2; - 5)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - 2y + z - 5 = 0\) là:
\({d_A} = \frac{{\left| {2.( - 3) - 2.( - 2) + 1.( - 5) - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{(2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| { - 12} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{{12}}{3} = 4\)
b) Có thể thấy hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng là:
\(d = \frac{{\left| { - 4 - 5} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\left| { - 9} \right|}}{1} = 9\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 50 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\) và điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\). Gọi \({M_1}({x_1};{y_1};{z_1})\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \((\alpha )\) (Hình 5.13).
a) Tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\).
b) Giải thích tại sao ta có \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right|\). Từ đó, tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để xác định phương của đoạn thẳng từ \({M_0}\) đến hình chiếu \({M_1}\).
- Tính tích vô hướng của vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\).
- Giải thích mối liên hệ giữa tích vô hướng và độ lớn của các vectơ.
- Từ biểu thức của tích vô hướng và độ lớn của các vectơ, tính được độ dài đoạn thẳng \({M_1}{M_0}\) là khoảng cách từ \({M_0}\) đến mặt phẳng \((\alpha )\).
Lời giải chi tiết:
a)
Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình tổng quát:
\(Ax + By + Cz + D = 0,\)
trong đó, \(\vec n = (A,B,C)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\).
\({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\) là điểm nằm ngoài mặt phẳng, và \({M_1}({x_1},{y_1},{z_1})\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) lên mặt phẳng \((\alpha )\). Do \({M_1}\) nằm trên mặt phẳng, ta có:
\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D = 0.\)
Vectơ \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \) nối từ \({M_0}\) đến \({M_1}\) có dạng:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} = ({x_1} - {x_0},{y_1} - {y_0},{z_1} - {z_0}).\)
Tích vô hướng của \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \) và \(\vec n\) được tính là:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = A({x_1} - {x_0}) + B({y_1} - {y_0}) + C({z_1} - {z_0}).\)
Khai triển:
\(A({x_1} - {x_0}) + B({y_1} - {y_0}) + C({z_1} - {z_0}) = A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}).\)
Từ phương trình mặt phẳng, ta biết:
\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D = 0\)
do đó:
\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} = - D.\)
Thay vào phương trình tích vô hướng:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = - D - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}).\)
Vậy ta có:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D).\)
Do đó:
\(\left| {\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n} \right| = |A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|.\)
b)
Theo định nghĩa của tích vô hướng, ta có:
\(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right| \cdot \cos \theta ,\)
với \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và \(\vec n\). Do \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và \(\vec n\) song song với nhau, nên \(\theta = {0^\circ }\), và \(\cos {0^\circ } = 1\). Do đó:
\(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right|.\)
Suy ra:
\(\left| {{M_1}{M_0}} \right| = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
Vậy khoảng cách từ điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) là:
\(\left| {{M_1}{M_0}} \right| = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 51 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán sau:
Bạn An muốn trưng bày một mô hình tháp Eiffel trong một cái hộp có dạng hình chóp tam giác đều với cạnh bên bằng 20 cm. Các mặt bên là các tam giác vuông và chân tháp nằm trên mặt đáy của cái hộp (Hình 5.14). Hỏi nếu mô hình tháp Eiffel này cao 11 cm thì có đặt được trong hộp không? Vì sao?
Phương pháp giải:
- Thiết lập hệ tọa độ Oxyz.
- Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác đáy.
- Sử dụng định lý Pythagoras để tính chiều cao của hình chóp.
- So sánh chiều cao của mô hình với chiều cao của hình chóp.
- Kết luận mô hình có đặt vừa trong hộp hay không.
Lời giải chi tiết:
Gọi mặt đáy là tam giác ABC. Ta có các cạnh của tam giác ABC sẽ bằng:
\(AB = AC = BC = \sqrt {{{20}^2} + {{20}^2}} = 20\sqrt 2 \,\,\,(cm)\)
Suy ra đường trung tuyến trong tam giác ABC là:
\(20\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 6 \,\,\,(cm)\)
Đặt gốc toạ độ \(O(0;0;0)\) tại trung điểm của của BC, trục Oy trùng với BC, trục Oy nằm trên đường trung tuyến của điểm A. Từ đó suy ra các toạ độ của tam giác như sau:
\(A(10\sqrt 6 ;0;0),\,\,\,\,\,B(0; - 10;0),\,\,\,\,\,\,C(0;10;0)\)
Gọi toạ độ trọng tâm tam giác ABC là G, toạ độ của G là:
\(G\left( {\frac{{10\sqrt 6 }}{3};0;0} \right)\)
Gọi h là chiều cao của hình chóp, ta gọi đỉnh hình chóp là S. Vì hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều nên toạ độ của S sẽ là: \(\left( {\frac{{10\sqrt 6 }}{3};0;h} \right)\).
Theo đề bài ta có độ dài các cạnh bên là 20cm, tương đương:
\(SA = 20 \Rightarrow \sqrt {{{\left( {10\sqrt 6 - \frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} + {h^2}} = 20 = > {h^2} = {20^2} - {\left( {10\sqrt 6 - \frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)^2}\)
\(h = \sqrt {\frac{{400}}{3}} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \approx 11,547\,\,\,(cm)\)
Vì chiều cao của hộp lớn hơn chiều cao của mô hình nên bạn An có thể đặt mô hình tháp Eiffel vào trong hộp.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 50 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\) và điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\). Gọi \({M_1}({x_1};{y_1};{z_1})\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \((\alpha )\) (Hình 5.13).
a) Tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\).
b) Giải thích tại sao ta có \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right|\). Từ đó, tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để xác định phương của đoạn thẳng từ \({M_0}\) đến hình chiếu \({M_1}\).
- Tính tích vô hướng của vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\).
- Giải thích mối liên hệ giữa tích vô hướng và độ lớn của các vectơ.
- Từ biểu thức của tích vô hướng và độ lớn của các vectơ, tính được độ dài đoạn thẳng \({M_1}{M_0}\) là khoảng cách từ \({M_0}\) đến mặt phẳng \((\alpha )\).
Lời giải chi tiết:
a)
Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình tổng quát:
\(Ax + By + Cz + D = 0,\)
trong đó, \(\vec n = (A,B,C)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\).
\({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\) là điểm nằm ngoài mặt phẳng, và \({M_1}({x_1},{y_1},{z_1})\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) lên mặt phẳng \((\alpha )\). Do \({M_1}\) nằm trên mặt phẳng, ta có:
\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D = 0.\)
Vectơ \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \) nối từ \({M_0}\) đến \({M_1}\) có dạng:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} = ({x_1} - {x_0},{y_1} - {y_0},{z_1} - {z_0}).\)
Tích vô hướng của \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \) và \(\vec n\) được tính là:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = A({x_1} - {x_0}) + B({y_1} - {y_0}) + C({z_1} - {z_0}).\)
Khai triển:
\(A({x_1} - {x_0}) + B({y_1} - {y_0}) + C({z_1} - {z_0}) = A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}).\)
Từ phương trình mặt phẳng, ta biết:
\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D = 0\)
do đó:
\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} = - D.\)
Thay vào phương trình tích vô hướng:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = - D - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}).\)
Vậy ta có:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D).\)
Do đó:
\(\left| {\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n} \right| = |A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|.\)
b)
Theo định nghĩa của tích vô hướng, ta có:
\(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right| \cdot \cos \theta ,\)
với \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và \(\vec n\). Do \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và \(\vec n\) song song với nhau, nên \(\theta = {0^\circ }\), và \(\cos {0^\circ } = 1\). Do đó:
\(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right|.\)
Suy ra:
\(\left| {{M_1}{M_0}} \right| = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
Vậy khoảng cách từ điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) là:
\(\left| {{M_1}{M_0}} \right| = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 51 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách:
a) Từ điểm \(A( - 3; - 2; - 5)\) đến mặt phẳng \((\alpha ):2x - 2y + z - 5 = 0\);
b) Giữa hai mặt phẳng \((\alpha ):y - 4 = 0\) và \((\beta ):y + 5 = 0\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng:
\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được tính bằng công thức:
\(d = \left| {\frac{{{D_1} - {D_2}}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}} \right|\)
Lời giải chi tiết:
a) Khoảng cách từ điểm \(A( - 3; - 2; - 5)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - 2y + z - 5 = 0\) là:
\({d_A} = \frac{{\left| {2.( - 3) - 2.( - 2) + 1.( - 5) - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{(2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| { - 12} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{{12}}{3} = 4\)
b) Có thể thấy hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng là:
\(d = \frac{{\left| { - 4 - 5} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\left| { - 9} \right|}}{1} = 9\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 51 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán sau:
Bạn An muốn trưng bày một mô hình tháp Eiffel trong một cái hộp có dạng hình chóp tam giác đều với cạnh bên bằng 20 cm. Các mặt bên là các tam giác vuông và chân tháp nằm trên mặt đáy của cái hộp (Hình 5.14). Hỏi nếu mô hình tháp Eiffel này cao 11 cm thì có đặt được trong hộp không? Vì sao?
Phương pháp giải:
- Thiết lập hệ tọa độ Oxyz.
- Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác đáy.
- Sử dụng định lý Pythagoras để tính chiều cao của hình chóp.
- So sánh chiều cao của mô hình với chiều cao của hình chóp.
- Kết luận mô hình có đặt vừa trong hộp hay không.
Lời giải chi tiết:
Gọi mặt đáy là tam giác ABC. Ta có các cạnh của tam giác ABC sẽ bằng:
\(AB = AC = BC = \sqrt {{{20}^2} + {{20}^2}} = 20\sqrt 2 \,\,\,(cm)\)
Suy ra đường trung tuyến trong tam giác ABC là:
\(20\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 6 \,\,\,(cm)\)
Đặt gốc toạ độ \(O(0;0;0)\) tại trung điểm của của BC, trục Oy trùng với BC, trục Oy nằm trên đường trung tuyến của điểm A. Từ đó suy ra các toạ độ của tam giác như sau:
\(A(10\sqrt 6 ;0;0),\,\,\,\,\,B(0; - 10;0),\,\,\,\,\,\,C(0;10;0)\)
Gọi toạ độ trọng tâm tam giác ABC là G, toạ độ của G là:
\(G\left( {\frac{{10\sqrt 6 }}{3};0;0} \right)\)
Gọi h là chiều cao của hình chóp, ta gọi đỉnh hình chóp là S. Vì hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều nên toạ độ của S sẽ là: \(\left( {\frac{{10\sqrt 6 }}{3};0;h} \right)\).
Theo đề bài ta có độ dài các cạnh bên là 20cm, tương đương:
\(SA = 20 \Rightarrow \sqrt {{{\left( {10\sqrt 6 - \frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} + {h^2}} = 20 = > {h^2} = {20^2} - {\left( {10\sqrt 6 - \frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)^2}\)
\(h = \sqrt {\frac{{400}}{3}} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \approx 11,547\,\,\,(cm)\)
Vì chiều cao của hộp lớn hơn chiều cao của mô hình nên bạn An có thể đặt mô hình tháp Eiffel vào trong hộp.
Mục 4 của SGK Toán 12 tập 2 thường xoay quanh các chủ đề về đạo hàm của hàm số hợp, đạo hàm của hàm ẩn, và các ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Việc nắm vững các kiến thức này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.
Bài 1: (Ví dụ minh họa) Cho hàm số y = sin(x^2 + 1). Tính đạo hàm y'.
Lời giải:
Đặt u = x^2 + 1. Khi đó y = sin(u). Ta có:
Vậy dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = cos(u) * 2x = 2x * cos(x^2 + 1).
Bài 2: (Ví dụ minh họa) Tìm đạo hàm của y khi x^2 + y^2 = 1.
Lời giải:
Vi phân hai vế của phương trình theo x, ta được:
2x + 2y * dy/dx = 0
Suy ra dy/dx = -x/y.
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập, bạn nên luyện tập thêm với các bài tập tương tự trong sách bài tập và các đề thi thử. loigiai.com.vn cung cấp đầy đủ các bài giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập Toán 12 tập 2, giúp bạn tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
Đạo hàm không chỉ là một công cụ toán học thuần túy mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau như vật lý, kinh tế, kỹ thuật... Ví dụ, đạo hàm có thể được sử dụng để tính vận tốc, gia tốc, tốc độ thay đổi của các đại lượng vật lý, hoặc để tối ưu hóa lợi nhuận, chi phí trong kinh doanh.
Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, các em sẽ giải quyết thành công bài tập mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2 và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
