Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 1 trang 74, 75, 76 SGK Toán 12 tập 1. loigiai.com.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập hiệu quả.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, tự tin giải quyết các bài toán và đạt kết quả cao trong môn Toán.
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ (vec a = ({x_1};{y_1};{z_1})) và (vec b = ({x_2};{y_2};{z_2})). a) Hãy biểu diễn các vectơ (vec a), (vec b) theo ba vectơ đơn vị (vec i), (vec j), (vec k). b) Tính (vec a + vec b) theo (vec i), (vec j), (vec k), từ đó tìm tọa độ của vectơ (vec a + vec b).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\vec a = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\vec b = ({x_2};{y_2};{z_2})\).
a) Hãy biểu diễn các vectơ \(\vec a\), \(\vec b\) theo ba vectơ đơn vị \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\).
b) Tính \(\vec a + \vec b\) theo \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\), từ đó tìm tọa độ của vectơ \(\vec a + \vec b\).
Phương pháp giải:
- Mỗi vectơ trong không gian Oxyz với tọa độ (x,y,z) có thể được biểu diễn dưới dạng: \(\vec v = x\vec i + y\vec j + z\vec k\)
- Cộng các thành phần tương ứng của hai vectơ để tìm tổng: \(\vec a + \vec b = ({x_1} + {x_2})\vec i + ({y_1} + {y_2})\vec j + ({z_1} + {z_2})\vec k\)
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ \(\vec a\) có tọa độ \(({x_1},{y_1},{z_1})\) nên nó có thể được biểu diễn theo các vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\) như sau:
\(\vec a = {x_1}\vec i + {y_1}\vec j + {z_1}\vec k\)
Tương tự, vectơ \(\vec b\) có tọa độ \(({x_2},{y_2},{z_2})\) nên:
\(\vec b = {x_2}\vec i + {y_2}\vec j + {z_2}\vec k\)
b) Tổng của hai vectơ \(\vec a + \vec b\) là:
\(\vec a + \vec b = ({x_1}\vec i + {y_1}\vec j + {z_1}\vec k) + ({x_2}\vec i + {y_2}\vec j + {z_2}\vec k)\)
Kết hợp các thành phần tương ứng:
\(\vec a + \vec b = ({x_1} + {x_2})\vec i + ({y_1} + {y_2})\vec j + ({z_1} + {z_2})\vec k\)
Vậy tọa độ của vectơ \(\vec a + \vec b\) là \(({x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2};{z_1} + {z_2})\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(5; -3; 0), B(2; 1; -1), C(4; 1; 2).
a) Tìm tọa độ của vectơ \(\vec u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - 5\overrightarrow {BC} \).
b) Tìm điểm N sao cho \(2\overrightarrow {NA} = - \overrightarrow {NB} \)
Phương pháp giải:
a) Tính toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BC} \) sau đó thay vào biểu thức để xác định toạ độ của \(\overrightarrow u \).
b)
- Gọi toạ độ của N là (x,y,z).
- Biểu diễn \(\overrightarrow {NA} ,\overrightarrow {NB} \) theo x, y, z.
- Sử dụng điều kiện \(2\overrightarrow {NA} = - \overrightarrow {NB} \) để thiết lập hệ phương trình.
- Giải hệ phương trình để tìm toạ độ N.
Lời giải chi tiết:
a) Trước hết, chúng ta tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AC} \), và \(\overrightarrow {BC} \):
\(\overrightarrow {AB} = \vec B - \vec A = (2 - 5;1 + 3; - 1 - 0) = ( - 3;4; - 1)\)
\(\overrightarrow {AC} = \vec C - \vec A = (4 - 5;1 + 3;2 - 0) = ( - 1;4;2)\)
\(\overrightarrow {BC} = \vec C - \vec B = (4 - 2;1 - 1;2 + 1) = (2;0;3)\)
Bây giờ tính vectơ \(\vec u\):
\(\vec u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - 5\overrightarrow {BC} \)
Thay các vectơ đã tính:
\(\vec u = 2( - 3;4; - 1) + ( - 1;4;2) - 5(2;0;3)\)
\(\vec u = ( - 6;8; - 2) + ( - 1;4;2) - (10;0;15)\)
\(\vec u = ( - 6 - 1 - 10;8 + 4 - 0; - 2 + 2 - 15)\)
\(\vec u = ( - 17;12; - 15)\)
Vậy tọa độ của vectơ \(\vec u\) là \(( - 17;12; - 15)\).
b) Điều kiện \(2\overrightarrow {NA} = - \overrightarrow {NB} \) có thể được viết lại như sau:
\(2\left( {\overrightarrow A - \overrightarrow N } \right) = \left( {\overrightarrow B - \overrightarrow N } \right)\)
Giải phương trình này:
\(2\overrightarrow A - 2\overrightarrow N = - \overrightarrow B + \overrightarrow N \)
Chuyển vế: \(3\vec N = 2\vec A + \vec B\)
Từ đó: \(\vec N = \frac{{2\vec A + \vec B}}{3}\)
Tính tọa độ của điểm N: \(\vec N = \frac{{2(5; - 3;0) + (2;1; - 1)}}{3}\)
\(\vec N = \frac{{(10; - 6;0) + (2;1; - 1)}}{3} = \frac{{(12; - 5; - 1)}}{3}\)
\(\vec N = \left( {4; - \frac{5}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\)
Vậy tọa độ của điểm N là \(\left( {4; - \frac{5}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(4; 1; -1), B(2; -1; 5), C(3; 0; 2). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Phương pháp giải:
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương.
Lời giải chi tiết:
Tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {AB} = \vec B - \vec A = (2 - 4; - 1 - 1;5 + 1) = ( - 2; - 2;6)\)
\(\overrightarrow {AC} = \vec C - \vec A = (3 - 4;0 - 1;2 + 1) = ( - 1; - 1;3)\)
Xét tỉ lệ:
\(\frac{{ - 2}}{{ - 1}} = 2,\quad \frac{{ - 2}}{{ - 1}} = 2,\quad \frac{6}{3} = 2\)
Vì \(\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{\overrightarrow {AC} }} = 2\), hai vectơ này cùng phương, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tam giác ABC có \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\), và \(C\left( {{x_C},{y_C},{z_C}} \right)\)
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A B. Tìm tọa độ điểm M.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm G.
Phương pháp giải:
- Công thức trung điểm: Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng nối hai điểm \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\) được tính theo công thức:
\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
- Công thức trọng tâm: Tọa độ trọng tâm G của tam giác có các đỉnh \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right),B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\), và \(C\left( {{x_C},{y_C},{z_C}} \right)\) được tính theo công thức:
\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
a) Tọa độ điểm M là: \(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
b) Tọa độ điểm G là: \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(1;3; - 5)\), \(M\left( {\frac{3}{2};2; - \frac{1}{2}} \right)\), \(G\left( {2;\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).
a) Tìm tọa độ điểm B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
Phương pháp giải:
- Tọa độ điểm B: Sử dụng công thức trung điểm:
\({x_B} = 2{x_M} - {x_A},\quad {y_B} = 2{y_M} - {y_A},\quad {z_B} = 2{z_M} - {z_A}\).
Thay tọa độ A và M để tìm B.
- Tọa độ điểm C: Sử dụng công thức trọng tâm:
\({x_C} = 3{x_G} - ({x_A} + {x_B}),\quad {y_C} = 3{y_G} - ({y_A} + {y_B}),\quad {z_C} = 3{z_G} - ({z_A} + {z_B})\).
Thay tọa độ A, B, và G để tìm C.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có tọa độ điểm M là trung điểm của AB nên:
\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
Từ đó, tọa độ điểm B được xác định bằng cách giải phương trình:
\({x_B} = 2{x_M} - {x_A},\quad {y_B} = 2{y_M} - {y_A},\quad {z_B} = 2{z_M} - {z_A}\)
Thay toạ độ của điểm A, M vào:
\({x_B} = 2 \times \frac{3}{2} - 1 = 2,\quad {y_B} = 2 \times 2 - 3 = 1,\quad {z_B} = 2 \times \left( { - \frac{1}{2}} \right) - ( - 5) = 4\)
Vậy tọa độ điểm B là B(2; 1; 4).
b)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:
\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Từ đó, ta có hệ phương trình:
\({x_C} = 3{x_G} - ({x_A} + {x_B}),\quad {y_C} = 3{y_G} - ({y_A} + {y_B}),\quad {z_C} = 3{z_G} - ({z_A} + {z_B})\)
Thay toạ độ của điểm A, B, G vào:
\({x_C} = 3 \times 2 - (1 + 2) = 3, \quad {y_C} = 3 \times \frac{2}{3} - (3 + 1) = 0,\quad {z_C} = 3 \times \left( { - \frac{2}{3}} \right) - ( - 5 + 4) = - 3\)
Vậy tọa độ điểm C là C (3; 0; -3).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong Hình 2.41, gốc tọa độ O là nơi máy bay xuất phát, trục Ox theo hướng Nam, trục Oy theo hướng Đông, trục Oz theo hướng thẳng đứng. Đơn vị trên các trục là km. Vào thời điểm 9h30 sáng, máy bay ở độ cao 9 km, cách điểm xuất phát theo hướng Nam 150 km và theo hướng Đông 300 km. Phi công để chế độ bay tự động, với vận tốc theo hướng Đông 750 km/h, độ cao không đổi. Biết rằng gió thổi theo hướng Bắc với vận tốc 10 m/s. Tìm tọa độ của máy bay lúc 10h30, với giả định là trong khoảng thời gian 9h30 đến 10h30, vận tốc và hướng của gió không thay đổi.
Phương pháp giải:
- Tìm tọa độ của máy bay tại thời điểm ban đầu.
- Tính vận tốc của máy bay theo các trục Ox, Oy (bao gồm cả ảnh hưởng của gió) và xác định vận tốc theo trục Oz.
- Sử dụng công thức \(x = {x_0} + {v_x} \times t\), \(y = {y_0} + {v_y} \times t\), \(z = {z_0} + {v_z} \times t\) để tính tọa độ máy bay sau thời gian \(t\).
Lời giải chi tiết:
Tọa độ máy bay lúc 9h30 là: A = (150; 300; 9).
Vận tốc gió là 10 m/s = 36 km/h.
Hướng di chuyển của máy bay trong 1 giờ là: \(\overrightarrow v = ( - 36;750;0)\).
Tọa độ của máy bay lúc 10h30 là: B = (150 – 36; 300 + 750; 9 + 0) = (114; 1050; 9).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\vec a = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\vec b = ({x_2};{y_2};{z_2})\).
a) Hãy biểu diễn các vectơ \(\vec a\), \(\vec b\) theo ba vectơ đơn vị \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\).
b) Tính \(\vec a + \vec b\) theo \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\), từ đó tìm tọa độ của vectơ \(\vec a + \vec b\).
Phương pháp giải:
- Mỗi vectơ trong không gian Oxyz với tọa độ (x,y,z) có thể được biểu diễn dưới dạng: \(\vec v = x\vec i + y\vec j + z\vec k\)
- Cộng các thành phần tương ứng của hai vectơ để tìm tổng: \(\vec a + \vec b = ({x_1} + {x_2})\vec i + ({y_1} + {y_2})\vec j + ({z_1} + {z_2})\vec k\)
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ \(\vec a\) có tọa độ \(({x_1},{y_1},{z_1})\) nên nó có thể được biểu diễn theo các vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\) như sau:
\(\vec a = {x_1}\vec i + {y_1}\vec j + {z_1}\vec k\)
Tương tự, vectơ \(\vec b\) có tọa độ \(({x_2},{y_2},{z_2})\) nên:
\(\vec b = {x_2}\vec i + {y_2}\vec j + {z_2}\vec k\)
b) Tổng của hai vectơ \(\vec a + \vec b\) là:
\(\vec a + \vec b = ({x_1}\vec i + {y_1}\vec j + {z_1}\vec k) + ({x_2}\vec i + {y_2}\vec j + {z_2}\vec k)\)
Kết hợp các thành phần tương ứng:
\(\vec a + \vec b = ({x_1} + {x_2})\vec i + ({y_1} + {y_2})\vec j + ({z_1} + {z_2})\vec k\)
Vậy tọa độ của vectơ \(\vec a + \vec b\) là \(({x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2};{z_1} + {z_2})\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(5; -3; 0), B(2; 1; -1), C(4; 1; 2).
a) Tìm tọa độ của vectơ \(\vec u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - 5\overrightarrow {BC} \).
b) Tìm điểm N sao cho \(2\overrightarrow {NA} = - \overrightarrow {NB} \)
Phương pháp giải:
a) Tính toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BC} \) sau đó thay vào biểu thức để xác định toạ độ của \(\overrightarrow u \).
b)
- Gọi toạ độ của N là (x,y,z).
- Biểu diễn \(\overrightarrow {NA} ,\overrightarrow {NB} \) theo x, y, z.
- Sử dụng điều kiện \(2\overrightarrow {NA} = - \overrightarrow {NB} \) để thiết lập hệ phương trình.
- Giải hệ phương trình để tìm toạ độ N.
Lời giải chi tiết:
a) Trước hết, chúng ta tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AC} \), và \(\overrightarrow {BC} \):
\(\overrightarrow {AB} = \vec B - \vec A = (2 - 5;1 + 3; - 1 - 0) = ( - 3;4; - 1)\)
\(\overrightarrow {AC} = \vec C - \vec A = (4 - 5;1 + 3;2 - 0) = ( - 1;4;2)\)
\(\overrightarrow {BC} = \vec C - \vec B = (4 - 2;1 - 1;2 + 1) = (2;0;3)\)
Bây giờ tính vectơ \(\vec u\):
\(\vec u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - 5\overrightarrow {BC} \)
Thay các vectơ đã tính:
\(\vec u = 2( - 3;4; - 1) + ( - 1;4;2) - 5(2;0;3)\)
\(\vec u = ( - 6;8; - 2) + ( - 1;4;2) - (10;0;15)\)
\(\vec u = ( - 6 - 1 - 10;8 + 4 - 0; - 2 + 2 - 15)\)
\(\vec u = ( - 17;12; - 15)\)
Vậy tọa độ của vectơ \(\vec u\) là \(( - 17;12; - 15)\).
b) Điều kiện \(2\overrightarrow {NA} = - \overrightarrow {NB} \) có thể được viết lại như sau:
\(2\left( {\overrightarrow A - \overrightarrow N } \right) = \left( {\overrightarrow B - \overrightarrow N } \right)\)
Giải phương trình này:
\(2\overrightarrow A - 2\overrightarrow N = - \overrightarrow B + \overrightarrow N \)
Chuyển vế: \(3\vec N = 2\vec A + \vec B\)
Từ đó: \(\vec N = \frac{{2\vec A + \vec B}}{3}\)
Tính tọa độ của điểm N: \(\vec N = \frac{{2(5; - 3;0) + (2;1; - 1)}}{3}\)
\(\vec N = \frac{{(10; - 6;0) + (2;1; - 1)}}{3} = \frac{{(12; - 5; - 1)}}{3}\)
\(\vec N = \left( {4; - \frac{5}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\)
Vậy tọa độ của điểm N là \(\left( {4; - \frac{5}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(4; 1; -1), B(2; -1; 5), C(3; 0; 2). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Phương pháp giải:
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương.
Lời giải chi tiết:
Tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {AB} = \vec B - \vec A = (2 - 4; - 1 - 1;5 + 1) = ( - 2; - 2;6)\)
\(\overrightarrow {AC} = \vec C - \vec A = (3 - 4;0 - 1;2 + 1) = ( - 1; - 1;3)\)
Xét tỉ lệ:
\(\frac{{ - 2}}{{ - 1}} = 2,\quad \frac{{ - 2}}{{ - 1}} = 2,\quad \frac{6}{3} = 2\)
Vì \(\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{\overrightarrow {AC} }} = 2\), hai vectơ này cùng phương, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong Hình 2.41, gốc tọa độ O là nơi máy bay xuất phát, trục Ox theo hướng Nam, trục Oy theo hướng Đông, trục Oz theo hướng thẳng đứng. Đơn vị trên các trục là km. Vào thời điểm 9h30 sáng, máy bay ở độ cao 9 km, cách điểm xuất phát theo hướng Nam 150 km và theo hướng Đông 300 km. Phi công để chế độ bay tự động, với vận tốc theo hướng Đông 750 km/h, độ cao không đổi. Biết rằng gió thổi theo hướng Bắc với vận tốc 10 m/s. Tìm tọa độ của máy bay lúc 10h30, với giả định là trong khoảng thời gian 9h30 đến 10h30, vận tốc và hướng của gió không thay đổi.
Phương pháp giải:
- Tìm tọa độ của máy bay tại thời điểm ban đầu.
- Tính vận tốc của máy bay theo các trục Ox, Oy (bao gồm cả ảnh hưởng của gió) và xác định vận tốc theo trục Oz.
- Sử dụng công thức \(x = {x_0} + {v_x} \times t\), \(y = {y_0} + {v_y} \times t\), \(z = {z_0} + {v_z} \times t\) để tính tọa độ máy bay sau thời gian \(t\).
Lời giải chi tiết:
Tọa độ máy bay lúc 9h30 là: A = (150; 300; 9).
Vận tốc gió là 10 m/s = 36 km/h.
Hướng di chuyển của máy bay trong 1 giờ là: \(\overrightarrow v = ( - 36;750;0)\).
Tọa độ của máy bay lúc 10h30 là: B = (150 – 36; 300 + 750; 9 + 0) = (114; 1050; 9).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tam giác ABC có \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\), và \(C\left( {{x_C},{y_C},{z_C}} \right)\)
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A B. Tìm tọa độ điểm M.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm G.
Phương pháp giải:
- Công thức trung điểm: Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng nối hai điểm \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\) được tính theo công thức:
\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
- Công thức trọng tâm: Tọa độ trọng tâm G của tam giác có các đỉnh \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right),B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\), và \(C\left( {{x_C},{y_C},{z_C}} \right)\) được tính theo công thức:
\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
a) Tọa độ điểm M là: \(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
b) Tọa độ điểm G là: \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(1;3; - 5)\), \(M\left( {\frac{3}{2};2; - \frac{1}{2}} \right)\), \(G\left( {2;\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).
a) Tìm tọa độ điểm B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
Phương pháp giải:
- Tọa độ điểm B: Sử dụng công thức trung điểm:
\({x_B} = 2{x_M} - {x_A},\quad {y_B} = 2{y_M} - {y_A},\quad {z_B} = 2{z_M} - {z_A}\).
Thay tọa độ A và M để tìm B.
- Tọa độ điểm C: Sử dụng công thức trọng tâm:
\({x_C} = 3{x_G} - ({x_A} + {x_B}),\quad {y_C} = 3{y_G} - ({y_A} + {y_B}),\quad {z_C} = 3{z_G} - ({z_A} + {z_B})\).
Thay tọa độ A, B, và G để tìm C.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có tọa độ điểm M là trung điểm của AB nên:
\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
Từ đó, tọa độ điểm B được xác định bằng cách giải phương trình:
\({x_B} = 2{x_M} - {x_A},\quad {y_B} = 2{y_M} - {y_A},\quad {z_B} = 2{z_M} - {z_A}\)
Thay toạ độ của điểm A, M vào:
\({x_B} = 2 \times \frac{3}{2} - 1 = 2,\quad {y_B} = 2 \times 2 - 3 = 1,\quad {z_B} = 2 \times \left( { - \frac{1}{2}} \right) - ( - 5) = 4\)
Vậy tọa độ điểm B là B(2; 1; 4).
b)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:
\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Từ đó, ta có hệ phương trình:
\({x_C} = 3{x_G} - ({x_A} + {x_B}),\quad {y_C} = 3{y_G} - ({y_A} + {y_B}),\quad {z_C} = 3{z_G} - ({z_A} + {z_B})\)
Thay toạ độ của điểm A, B, G vào:
\({x_C} = 3 \times 2 - (1 + 2) = 3, \quad {y_C} = 3 \times \frac{2}{3} - (3 + 1) = 0,\quad {z_C} = 3 \times \left( { - \frac{2}{3}} \right) - ( - 5 + 4) = - 3\)
Vậy tọa độ điểm C là C (3; 0; -3).
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 1 thường tập trung vào các kiến thức nền tảng của một chương mới, thường là về giới hạn, đạo hàm hoặc tích phân. Việc nắm vững kiến thức này là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài tập phức tạp hơn trong chương. Các bài tập trong mục này thường mang tính chất cơ bản, giúp học sinh làm quen với các khái niệm mới và rèn luyện kỹ năng tính toán.
Bài 1 thường yêu cầu học sinh vận dụng định nghĩa giới hạn để tính giới hạn của hàm số. Để giải bài này, cần xác định rõ hàm số và giá trị x tiến tới. Sau đó, áp dụng các quy tắc tính giới hạn để tìm ra kết quả.
Bài 2 có thể yêu cầu học sinh chứng minh một giới hạn nào đó. Để chứng minh, cần sử dụng định nghĩa giới hạn hoặc các định lý về giới hạn. Việc trình bày lời giải cần rõ ràng, logic và đầy đủ các bước.
Ví dụ, để chứng minh limx→a f(x) = L, ta cần chứng minh rằng với mọi ε > 0, tồn tại một δ > 0 sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì |f(x) - L| < ε.
Bài 3 thường là bài tập tổng hợp, yêu cầu học sinh vận dụng nhiều kiến thức khác nhau để giải quyết. Cần phân tích kỹ đề bài, xác định các kiến thức liên quan và lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
Một số phương pháp thường được sử dụng:
Khi giải bài tập mục 1 trang 74, 75, 76 SGK Toán 12 tập 1, cần lưu ý những điều sau:
Kiến thức về giới hạn có ứng dụng rất lớn trong nhiều lĩnh vực của Toán học và các ngành khoa học khác. Ví dụ, giới hạn được sử dụng để định nghĩa đạo hàm, tích phân, chuỗi vô hạn và nhiều khái niệm quan trọng khác. Ngoài ra, giới hạn còn được sử dụng để mô tả các hiện tượng vật lý, kinh tế và xã hội.
Để học tốt môn Toán 12, các em cần dành thời gian ôn tập lý thuyết, làm bài tập thường xuyên và tìm kiếm sự giúp đỡ của giáo viên hoặc bạn bè khi gặp khó khăn. loigiai.com.vn hy vọng sẽ là một người bạn đồng hành đáng tin cậy trên con đường chinh phục môn Toán của các em.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
