Giải bài 5.2 trang 77 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Giải bài 5.2 trang 77 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 5.2 trang 77 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức thuộc chương trình học về Vectơ trong mặt phẳng. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và các ứng dụng thực tế.

Nội dung bài tập 5.2

Bài tập 5.2 bao gồm các câu hỏi trắc nghiệm và bài tập tự luận. Các câu hỏi trắc nghiệm thường kiểm tra khả năng hiểu và vận dụng các công thức về tích vô hướng. Các bài tập tự luận yêu cầu học sinh chứng minh các đẳng thức vectơ, tính góc giữa hai vectơ, hoặc xác định điều kiện để hai vectơ vuông góc.

Phương pháp giải bài tập 5.2

Để giải quyết bài tập 5.2 một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

• Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ: a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ a và b.
• Các tính chất của tích vô hướng: a.b = b.a, (ka).b = k(a.b), a.(b+c) = a.b + a.c
• Điều kiện vuông góc của hai vectơ: a ⊥ b khi và chỉ khi a.b = 0
• Công thức tính độ dài vectơ: |a| = √(x² + y²)

Lời giải chi tiết bài 5.2 trang 77 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Câu a)

Đề bài: Cho hai vectơ a = (2; 3) và b = (-1; 4). Tính a.b.

Lời giải:

a.b = (2)(-1) + (3)(4) = -2 + 12 = 10

Câu b)

Đề bài: Cho hai vectơ a = (1; -2) và b = (3; 1). Tính cosin của góc giữa hai vectơ a và b.

Lời giải:

a.b = (1)(3) + (-2)(1) = 3 - 2 = 1

|a| = √(1² + (-2)²) = √5

|b| = √(3² + 1²) = √10

cos(θ) = (a.b) / (|a||b|) = 1 / (√5 * √10) = 1 / √50 = 1 / (5√2) = √2 / 10

Câu c)

Đề bài: Cho hai vectơ a = (x; y) và b = (1; -1). Tìm x và y sao cho a vuông góc với b.

Lời giải:

a.b = (x)(1) + (y)(-1) = x - y

Để a vuông góc với b, ta cần a.b = 0, tức là x - y = 0, hay x = y.

Vậy, a = (x; x) với x là một số thực bất kỳ.

Ví dụ minh họa ứng dụng

Trong thực tế, tích vô hướng được ứng dụng rộng rãi trong việc tính công thực hiện bởi một lực, xác định góc giữa hai đường thẳng, hoặc kiểm tra tính vuông góc của các cạnh trong hình học.

Bài tập luyện tập

1. Cho a = (4; -1) và b = (2; 3). Tính a.b và góc giữa hai vectơ.
2. Tìm điều kiện để hai vectơ u = (m; 2) và v = (1; m) vuông góc với nhau.
3. Cho tam giác ABC với A(1; 2), B(3; 4), C(5; 1). Tính cosin của góc BAC.

Kết luận

Bài 5.2 trang 77 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ. Việc nắm vững phương pháp giải và luyện tập thường xuyên sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các bài tập tương tự và đạt kết quả tốt trong môn Toán.