Giải bài 9.16 trang 88 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Giải bài 9.16 trang 88 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài 9.16 SGK Toán 10 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để chứng minh một số tính chất hình học. Để giải bài này, chúng ta cần nắm vững định nghĩa tích vô hướng, các công thức tính tích vô hướng và mối liên hệ giữa tích vô hướng và góc giữa hai vectơ.

Đề bài:

Cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh là D, E, F. Chứng minh rằng: AD, BE, CF đồng quy.

Lời giải:

Để chứng minh AD, BE, CF đồng quy, ta có thể sử dụng định lý Ceva hoặc phương pháp vectơ. Ở đây, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp vectơ.

1. Biểu diễn các vectơ:
• AD = AB + BD
• BE = BC + CE
• CF = CA + AF

Vì D, E, F là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB nên ta có:

• BD = DC = 1/2 BC
• CE = EA = 1/2 CA
• AF = FB = 1/2 AB
2. Thay thế vào các biểu thức vectơ:
• AD = AB + 1/2 BC
• BE = BC + 1/2 CA
• CF = CA + 1/2 AB
3. Tìm giao điểm của AD và BE:

Giả sử AD và BE cắt nhau tại điểm G. Khi đó, tồn tại các số thực m, n sao cho:

• AG = mAD = m(AB + 1/2 BC)
• BG = nBE = n(BC + 1/2 CA)

Ta cũng có AG = AB + BG. Thay các biểu thức trên vào, ta được:

m(AB + 1/2 BC) = AB + n(BC + 1/2 CA)

Sắp xếp lại, ta có:

mAB + 1/2 mBC = AB + nBC + 1/2 nCA

Để phương trình này đúng, ta cần:

• m = 1
• 1/2 m = n
• 0 = 1/2 n

Từ đó suy ra m = 1 và n = 1/2. Do đó, AG = AD và BG = 1/2 BE.

4. Chứng minh CF đi qua G:

Ta cần chứng minh rằng CG = kCF với k là một số thực. Ta có:

CG = CA + AG = CA + AD = CA + AB + 1/2 BC

Mặt khác, CF = CA + 1/2 AB. Để CG = kCF, ta cần:

CA + AB + 1/2 BC = k(CA + 1/2 AB)

So sánh các hệ số, ta thấy k = 1 thỏa mãn. Vậy CG = CF, suy ra G nằm trên CF.

Kết luận:

Vậy, AD, BE, CF đồng quy tại điểm G.

Lưu ý khi giải bài tập vectơ:

• Nắm vững định nghĩa và các tính chất của vectơ.
• Sử dụng các công thức tính tích vô hướng một cách chính xác.
• Biểu diễn các vectơ một cách hợp lý để đơn giản hóa bài toán.
• Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.

Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài 9.16 trang 88 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!