Giải bài 6.13 trang 16 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Giải bài 6.13 trang 16 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài 6.13 trang 16 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức thuộc chương 1: Vectơ trong mặt phẳng. Bài toán này yêu cầu học sinh áp dụng các kiến thức về phép cộng, trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và các tính chất của chúng để giải quyết.

Đề bài:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Gọi N là giao điểm của AM và BD.

1. Chứng minh rằng: overrightarrow{BN} = 2/3overrightarrow{BD}
2. Chứng minh rằng: overrightarrow{AN} = 1/3overrightarrow{AB} + 1/3overrightarrow{AD}

Lời giải:

a) Chứng minh overrightarrow{BN} = 2/3overrightarrow{BD}

Vì ABCD là hình bình hành nên overrightarrow{AB} =overrightarrow{DC} và overrightarrow{AD} =overrightarrow{BC}. M là trung điểm của BC nên overrightarrow{BM} = 1/2overrightarrow{BC} = 1/2overrightarrow{AD}.

Xét tam giác BCD, ta có: overrightarrow{BD} =overrightarrow{BC} +overrightarrow{CD} =overrightarrow{AD} -overrightarrow{AB}.

Xét tam giác ABM, ta có: overrightarrow{AM} =overrightarrow{AB} +overrightarrow{BM} =overrightarrow{AB} + 1/2overrightarrow{AD}.

Vì N là giao điểm của AM và BD, nên N thuộc AM và BD. Do đó, tồn tại số k sao cho overrightarrow{AN} = koverrightarrow{AM} và tồn tại số t sao cho overrightarrow{BN} = toverrightarrow{BD}.

Ta có: overrightarrow{AN} = k(overrightarrow{AB} + 1/2overrightarrow{AD}) = koverrightarrow{AB} + k/2overrightarrow{AD}.

Mặt khác, overrightarrow{AN} =overrightarrow{AB} +overrightarrow{BN} =overrightarrow{AB} + toverrightarrow{BD} =overrightarrow{AB} + t(overrightarrow{AD} -overrightarrow{AB}) = (1-t)overrightarrow{AB} + toverrightarrow{AD}.

Đồng nhất hệ số, ta được: k = 1-t và k/2 = t. Thay k = 1-t vào phương trình k/2 = t, ta được: (1-t)/2 = t => 1-t = 2t => 3t = 1 => t = 1/3.

Vậy overrightarrow{BN} = 1/3overrightarrow{BD}. (Có vẻ có lỗi trong đề bài, kết quả đúng phải là 1/3)

b) Chứng minh overrightarrow{AN} = 1/3overrightarrow{AB} + 1/3overrightarrow{AD}

Từ phần a, ta có t = 1/3. Thay t = 1/3 vào overrightarrow{AN} = (1-t)overrightarrow{AB} + toverrightarrow{AD}, ta được:

overrightarrow{AN} = (1-1/3)overrightarrow{AB} + (1/3)overrightarrow{AD} = 2/3overrightarrow{AB} + 1/3overrightarrow{AD}. (Có vẻ có lỗi trong đề bài, kết quả đúng phải là 2/3overrightarrow{AB} + 1/3overrightarrow{AD})

Kết luận:

Vậy, ta đã chứng minh được overrightarrow{BN} = 1/3overrightarrow{BD} và overrightarrow{AN} = 2/3overrightarrow{AB} + 1/3overrightarrow{AD}.

Lưu ý:

Để hiểu rõ hơn về bài toán này, các em nên ôn lại các kiến thức về vectơ, phép cộng, trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và các tính chất của chúng. Ngoài ra, việc vẽ hình minh họa sẽ giúp các em dễ dàng hình dung và giải quyết bài toán hơn.

Các bài tập tương tự:

• Bài 6.14 trang 16 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
• Bài 6.15 trang 16 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về bài 6.13 trang 16 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức. Chúc các em học tốt!