Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - một phần quan trọng trong chương trình SGK Toán 10 Kết nối tri thức.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản nhất về các khái niệm này, cùng với các công thức và ví dụ minh họa giúp bạn hiểu rõ hơn về cách áp dụng chúng vào giải các bài toán thực tế.
1. Hoán vị a) Định nghĩa
A. Lý thuyết
1. Hoán vị
a) Định nghĩa
| Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). |
b) Số các hoán vị
| Kí hiệu \({P_n}\) là số các hoán vị của n phần tử. Ta có \({P_n} = n(n - 1)...2.1\). |
Chú ý: Tích 1.2…n được viết là n! (đọc là n giai thừa), tức là n! = 1.2…n.
Quy ước: 0! = 1.
2. Chỉnh hợp
a) Định nghĩa
Trong thực tiễn, bên cạnh việc chọn ra một số đối tượng từ những đối tượng cho trước, ta còn cần sắp xếp thứ tự của những đối tượng được chọn ra.
| Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, \(1 \le k \le n\)). |
b) Số các chỉnh hợp
Kí hiệu \(A_n^k\) là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử \((1 \le k \le n)\). \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}} = n(n - 1)...(n - k + 1)\). |
Chú ý: \(A_n^n = {P_n}\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
3. Tổ hợp
a) Định nghĩa
| Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, \(1 \le k \le n\)). |
b) Số các tổ hợp
Kí hiệu \(C_n^k\) là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử \((1 \le k \le n)\). \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\). |
Chú ý: \(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}}\).
4. Ứng dụng hoán vị chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm
Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán đếm liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính \({P_n}\), \(A_n^k\), \(C_n^k\) sẽ được dùng rất nhiều.
5. Sử dụng máy tính cầm tay
Với một số máy tính cầm tay, ta có thể tính toán nhanh số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
Ví dụ 1: Tính \({P_8} = 8!\).
Ta được kết quả 40320.
Ví dụ 2: Tính C\(A_{12}^5\).
Ta được 95040.
Ví dụ 3: Tính \(C_{20}^{11}\).
Ta được 167960.
B. Bài tập
Bài 1: Bài đồ xe ô tô còn lại ba chỗ trống như hình vẽ. Có ba chiếc ô tô (kí hiệu A, B, C) đang đi vào bãi để xe ô tô.
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống?
b) Vẽ sơ đồ hình cây về các cách sắp xếp và kiểm tra kết quả tính toán ở trên.
Giải:
a) Mỗi cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là một hoán vị của ba chiếc xe. Do đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là \({P_3} = 3.2.1 = 6\) (cách).
b) Sơ đồ hình cây như hình dưới. Sơ đồ có ba cành lớn, mỗi cạnh lớn có hai cành vừa, mỗi cành vừa có một cạnh bé. Từ đó, số cạnh bé bằng 3.2.1 = 6. Từ đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là 6 cách.
Bài 2: Tính số cách xếp thứ tự đã luân lưu 11 m của 5 cầu thủ.
Giải:
Mỗi cách xếp thứ tự đã luận lưu 11 m của 5 cầu thủ là một hoán vị của 5 cầu thủ.
Vậy số cách sắp xếp là: \({P_5} = 5.4.3.2.1 = 120\).
Bài 3: Phần thi chung kết nội dung chạy cự li 1500 m của một giải đấu có 10 vận động viên tham gia. Có bao nhiêu khả năng về kết quả 3 vận động viên đoạt huy chương vàng, bạc và đồng sau khi phần thi kết thúc? Biết rằng không có hai vận động viên nào về đích.
Giải:
Mỗi kết quả về 3 vận động viên đoạt huy chương vàng, bạc và đồng của nội dung thi đấu là một chỉnh hợp chập 3 của 10 vận động viên. Do đó, số kết quả có thể là \(A_{10}^3 = 10.9.8 = 720\).
Bài 4: Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã cửa. Gia đình bạn Linh đặt mật mã của là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi gia đình bạn Linh có bao nhiêu cách để tạo mật mã?
Giải:
Mỗi mật mã của gia đình bạn Linh là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số.
Vậy có \(A_{10}^6 = 10.9.8.7.6.5 = 151200\) (cách để tạo mật mã).
Bài 5: Bạn Quân có 4 chiếc áo sơ mi khác màu là áo vàng, áo xanh, áo trắng và áo nâu. Bạn muốn chọn 2 chiếc áo để mặc khi đi du lịch. Viết các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo.
Giải:
Các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo là:
{áo vàng; áo xanh}, {áo vàng; áo trắng}, {áo vàng; áo nâu}, {áo xanh; áo trắng}, {áo xanh; áo nâu}, {áo trắng; áo nâu}.
Bài 6: Lớp 10A có 18 bạn nữ và 20 bạn nam.
a) Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ?
b) Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam?
c) Có bao nhiêu cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam?
Giải:
a) Mỗi cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ là một tổ hợp chập 3 của 18 phần tử, do đó có \(C_{18}^3\) cách chọn.
b) Mỗi cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam là một tổ hợp chập 5 của 20 phần tử, do đó có \(C_{20}^5\) cách chọn.
c) Số cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam là: \(C_{18}^3.C_{20}^5 = 816.15504 = 12651264\).
Bài 7: Tổ Một có 9 thành viên. Tuần tới là phiên trực nhật của tổ, nên cần phân công 4 bạn đi bề ghế của lớp cho buổi chào cờ. a) Tổ có bao nhiêu cách phân công 4 bạn đi bề ghế? b) Tổ có bao nhiêu cách chọn 5 bạn không phải đi bề ghế?
Giải:
a) Mỗi cách phân công 4 bạn từ 9 bạn là một tổ hợp chập 4 của 9 bạn. Do đó, số cách phân công 4 bạn của tổ đi bề ghế là \(C_9^4 = \frac{{9!}}{{4!5!}} = \frac{{9.8.7.6}}{{4.3.2.1}} = 126\) (cách).
b) Tương tự, số cách chọn 5 bạn từ 9 bạn không phải đi bề ghế là \(C_9^5 = \frac{{9!}}{{5!4!}} = 126\) (cách).
Trong chương trình Toán 10 Kết nối tri thức, phần Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề. Đây là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn trong các lớp học tiếp theo.
Trước khi đi sâu vào từng khái niệm, chúng ta cần hiểu rõ sự khác biệt giữa chúng. Cả ba đều liên quan đến việc sắp xếp và chọn lọc các phần tử từ một tập hợp, nhưng mỗi loại có những quy tắc và ứng dụng riêng.
Định nghĩa: Hoán vị của n phần tử là một cách sắp xếp n phần tử đó theo một thứ tự nhất định.
Công thức: Số hoán vị của n phần tử là Pn = n!
Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau trên một kệ sách?
Giải: Số cách sắp xếp là P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6
Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một cách sắp xếp k phần tử được chọn từ n phần tử theo một thứ tự nhất định.
Công thức: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Ank = n! / (n-k)!
Ví dụ: Từ một tập hợp gồm 5 người, cần chọn ra 3 người để làm ban cán sự (chủ tịch, phó chủ tịch, thư ký). Có bao nhiêu cách chọn?
Giải: Số cách chọn là A53 = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60
Định nghĩa: Tổ hợp chập k của n phần tử là một cách chọn ra k phần tử từ n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự của chúng.
Công thức: Số tổ hợp chập k của n phần tử là Cnk = n! / (k! * (n-k)!)
Ví dụ: Từ một lớp học có 20 học sinh, cần chọn ra 5 học sinh để tham gia đội tuyển học sinh giỏi. Có bao nhiêu cách chọn?
Giải: Số cách chọn là C205 = 20! / (5! * 15!) = 15504
Để củng cố kiến thức, chúng ta hãy cùng giải một số bài tập vận dụng:
Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là những kiến thức cơ bản và quan trọng trong Toán học. Việc nắm vững các khái niệm, công thức và kỹ năng giải bài tập sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc giải quyết các vấn đề liên quan đến việc sắp xếp và chọn lọc các phần tử. Hãy luyện tập thường xuyên để đạt được kết quả tốt nhất!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
