Giải bài 50 trang 69 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Đề bài

Cho biểu thức \(C = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\).

a) Rút gọn biểu thức C.

b) Tìm giá trị lớn nhất của C.

c) Tìm giá trị của \(x\) để C có giá trị là các số dương.

Lời giải chi tiết

a) \(C = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

\(= \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

\( = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {\frac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} - \frac{{x + \sqrt x - 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\\ = \frac{{x - \sqrt x - 2 - x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\\ = \frac{{ - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\\ = \frac{{ - \sqrt x {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \frac{{ - \sqrt x \left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}}\\ = - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\end{array}\)

Vậy \(C = - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\) với \(x \ge 0,x \ne 1\).

b) \(C = - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) = - \left( {x - \sqrt x } \right)\)

\( = - \left( {x - 2.\frac{1}{2}\sqrt x + \frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{4} = - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4}\)

Với \(x \ge 0,x \ne 1\) ta có \({\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) suy ra \( - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0\), do đó \( - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\)

Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0\) hay \(x = \frac{1}{4}\) (tmdk).

Vậy giá trị lớn nhất của C là \(\frac{1}{4}\) khi \(x = \frac{1}{4}\).

c) Ta có \(C = - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) = \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right)\)

Ta thấy \(\sqrt x \ge 0\) với \(x \ge 0\) nên \(C > 0\) khi \(\sqrt x > 0\) và \(1 - \sqrt x > 0\)

\(\sqrt x > 0\) hay \(x > 0\)

\(1 - \sqrt x > 0\) hay \(x < 1\)

Kết hợp với điều kiện xác định, ta có \(0 < x < 1\). Vậy \(0 < x < 1\) thỏa mãn đề bài.