loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 54 trang 57 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều. Bài giải này được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những tài liệu học tập chất lượng nhất, hỗ trợ học sinh học tập hiệu quả.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\)
Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\)
a) Viết sáu số hạng đầu của dãy số.
b) Chứng minh rằng \({u_{n + 6}} = {u_n}\) với mọi \(n \ge 1\)
c) Tính tổng 27 số hạng đầu của dãy số.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Thay \(n = 1\),\(n = 2\), \(n = 3\), \(n = 4\), \(n = 5\), \(n = 6\) vào biểu thức \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\) để tính \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_5},{u_6}\).
b) Thay \(n\) bởi \(n + 6\) vào biểu thức \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\) và chú ý rằng \(\cos \left( {x + k2\pi } \right) = \cos x\).
c) Sử dụng kết quả câu b.
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\({u_1} = \cos \left[ {\left( {2.1 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {3\frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{2} = 0\)
\({u_2} = \cos \left[ {\left( {2.2 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {5\frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\({u_3} = \cos \left[ {\left( {2.3 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {7\frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\({u_4} = \cos \left[ {\left( {2.4 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {9\frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{2} = 0\)
\({u_5} = \cos \left[ {\left( {2.5 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {11\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\({u_6} = \cos \left[ {\left( {2.6 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {13\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy sáu số hạng đầu của dãy số là \(0, - \frac{{\sqrt 3 }}{2}, - \frac{{\sqrt 3 }}{2},0,\frac{{\sqrt 3 }}{2},\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
b) Ta có:
\({u_{n + 6}} = \cos \left[ {\left( {2\left( {n + 6} \right) + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6} + 12\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right]\)
\( = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = {u_n}\)
Bài toán được chứng minh.
c) Theo câu b, ta có \({u_{n + 6}} = {u_n}\), nên vì vậy ta có:
\({u_1} = {u_7} = {u_{13}} = {u_{19}} = {u_{25}}\),
\({u_2} = {u_8} = {u_{14}} = {u_{20}} = {u_{26}}\),
\({u_3} = {u_9} = {u_{15}} = {u_{21}} = {u_{27}}\),
\({u_4} = {u_{10}} = {u_{16}} = {u_{22}}\),
\({u_5} = {u_{11}} = {u_{17}} = {u_{23}}\),
\({u_6} = {u_{12}} = {u_{18}} = {u_{24}}\).
Do đó, \({S_{27}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6}} \right) + {u_1} + {u_2} + {u_3}\)
\( = 4\left( {0 + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + 0 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 0} \right) + 0 + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} = - \sqrt 3 \)
Bài 54 trang 57 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và tính chất của tích vô hướng.
Bài 54 bao gồm các câu hỏi trắc nghiệm và bài tập tự luận. Các câu hỏi trắc nghiệm thường kiểm tra khả năng hiểu và vận dụng các công thức liên quan đến tích vô hướng. Các bài tập tự luận yêu cầu học sinh chứng minh các đẳng thức vectơ, tính góc giữa hai vectơ hoặc xác định các yếu tố hình học liên quan đến vectơ.
Để giải bài tập này hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi trong bài 54 trang 57 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều:
Đề bài: Cho hai vectơ a và b có độ dài lần lượt là 3 và 4, và góc giữa chúng là 60 độ. Tính a.b.
Lời giải:
a.b = |a||b|cos(θ) = 3 * 4 * cos(60°) = 12 * 0.5 = 6
Đề bài: Cho hai vectơ a = (1; 2) và b = (-2; 1). Tính a.b.
Lời giải:
a.b = 1*(-2) + 2*1 = -2 + 2 = 0
Đề bài: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 và góc BAC = 90 độ. Tính tích vô hướng của hai vectơ AB và AC.
Lời giải:
Vì góc BAC = 90 độ, nên hai vectơ AB và AC vuông góc với nhau. Do đó, AB.AC = 0.
Đề bài: Chứng minh rằng nếu a vuông góc với b thì a.b = 0.
Lời giải:
Nếu a vuông góc với b, thì góc giữa chúng là 90 độ. Do đó, cos(90°) = 0. Áp dụng công thức tích vô hướng, ta có a.b = |a||b|cos(90°) = |a||b| * 0 = 0.
Khi giải bài tập về tích vô hướng, học sinh cần chú ý:
Ngoài sách bài tập, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để nắm vững kiến thức về tích vô hướng:
Bài 54 trang 57 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập được trình bày ở trên, học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
